高中数学分层抽样 教案

高中数学分层抽样教案

教学分析

教学通过实例介绍了分层抽样的实施步骤．值得注意的是分层抽样在内容上与系统抽样是平行的，在教学过程中强调：分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况；在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；分层抽样也是等可能抽样．

三维目标

1．通过对实例的分析，了解分层抽样方法．

2．使学生经历较为系统的数据处理过程，体会统计思维过程．

3．了解数学应用的广泛性，提高学生的归纳、总结能力．

重点难点

教学重点：分层抽样及其实施步骤．

教学难点：确定各层的入样个体数目．

课时安排

1课时

导入新课

思路1.中国共产党第十七次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的，并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素．按照这一分配办法，各选举单位的代表名额，比十六大时都有增加．另外，按惯例，中央将确定一部分已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会．这种产生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样？教师点出课题：分层抽样．

思路2.我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，本节课我们学习分层抽样．

推进新课

1．假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人，此地区教育部门为了了解本地区学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

2．想一想为什么这样取各个学段的个体数？

3．请归纳分层抽样的定义．

4．请归纳分层抽样的步骤．

5．分层抽样时应如何分层？其适用于什么样的总体？

讨论结果：

1．分别利用系统抽样在高中生中抽取2 400×1%＝24人，在初中生中抽取10 900×1%＝109人，在小学生中抽取11 000×1%＝110人．这种抽样方法称为分层抽样．

2．含有个体多的层，在样本中的代表也应该多，即样本从该层中抽取的个体数也应该多．这样的样本才有更好的代表性．

3．当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样．将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．

4．分层抽样的步骤

(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)；

(2)按抽样比确定每层抽取个体的个数；

(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；

(4)综合每层抽样，组成样本．

5．分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

(1)分层时将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则，即保证样本结构与总体结构一致性．

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．

(3)当总体个体差异明显时，采用分层抽样．

思路1

例1一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

分析：由于职工年龄与这项指标有关，所以应选取分层抽样来抽取样本．

解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工．

(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15

，则在不到35岁的职工中抽125×15＝25人；在35岁至49岁的职工中抽280×15

＝56人；在50岁以上的职工中抽95×15

＝19人．

(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．

(4)综合每层抽样，组成样本．

点评：本题主要考查分层抽样及其实施步骤．如果总体中的个体有差异时，那么就用分层抽样抽取样本．用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个

例2某学校有2 000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则样本中高三学生的人数为________．

解析：抽样比是200

2 000＝

1

10

，则样本中高三学生的人数为500×

1

10

＝50.

答案：50

点评：如果A、B、C三层含有的个体数目分别是x、y、z，在A、B、C三层应抽取的个体数目分别是m、n、p，那么有x∶y∶z＝m∶n∶p；如果总体有N 个个体，所抽取的样本容量为n，某层所含个体数目为a，在该层抽取的样本数

目为b，那么有n

N

＝

b

a

.

思路2

例某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要对这个地区的农作物产量进行调查，应当采用什么抽样方法？

解：显然不同类型的农田之间的产量有较大差异，应当采用分层抽样的方法，对不同类型的农田按其总数的比例来抽取样本．

点评：在每个层中进行抽样时，大多数情况下是采用简单随机抽样，有时也

1．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示．

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人．

解析：在抽取的500人中，生活不能自理的老人中男性比女性约多23－21

＝2(人)．占抽取的500的人比例为

2

500

＝

1

250

，所以该地区生活不能自理的老人

中男性比女性约多15 000×

1

250

＝60(人)．

答案：60

2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是__________．

解析：抽样比为20

300＝

1

15

，则抽取的中型商店的数目是75×

1

15

＝5.

答案：5

3．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本，怎样抽取样本？

分析：由于研究血型与色弱的关系，按血型分层，用分层抽样抽取样本．利用抽样比确定抽取各种血型的人数．

解：用分层抽样抽取样本．

∵

20

500

＝

2

50

，即抽样比为

2

50

.∴200×

2

50

＝8,125×

2

50

＝5,50×

2

50

＝2.

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．抽样步骤：

(1)确定抽样比

2

50

＝

1

25

；

(2)按比例分配各层所要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人；

(3)用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本，抽出容量为20的样本．

某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是( )

A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样

C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样

解析：如果按分层抽样时，在一年级抽取108×

10

270

＝4人，在二、三年级各

抽取81×

10

270

＝3人，则在号码段1,2，…，108抽取4个号码，在号码段

109,110，…，189抽取3个号码，在号码段190,191，…，270抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样．

答案：D

点评：根据样本的号码判断抽样方法时，要紧扣三类抽样方法的特征．利用简单随机抽样抽取出的样本号码没有规律性；利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性，即在每一层抽取的号码个数m等于该层所含个体数目与抽样比的积，并且应该恰有m个号码在该层的号码段内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是：l，l＋k，l＋2k，…，

l＋(n－1)k.其中，n为样本容量，l是第一组中的号码，k为分段间隔＝总体容量样本容量

.

本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤．

本节练习B.

本节课重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学．首先为教材内容选择生活背景，让学生体验数学问题来源于生活实际；其次，大胆调用学生熟知的生活经验，使数学学习变得易于理解掌握；第三，善于联系生活实际有机改编教材习题，让学生在实践活动中理解掌握知识，变“学了做”为“做中学”．

被抽取的可能性相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉起来应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样．