(文章)函数及其表示法要点归纳
函数及其表示法要点归纳
一、 学习目标
1.理解函数概念,明确函数的三个要素,会求简单的函数的定义域和值域;
2.了解映射的概念,理解和熟悉映射的表示方法;
3.掌握函数的三种表示方法,能利用这些方法表示函数。
二、重难点归纳
1.学习函数概念一定要注意理解其实质.
⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。按照函数定义,可以是“一对一”的,即不同的自变量的值,有不同的函数值与之对应,例如“y = 2x +1 ”,“y = x 3-3”等;也可以是“多对一”的,即多个自变量的值,有同一个函数值与它们对应,例如“y = x 2,x ∈R ”,“y = 5,x ∈R ”等等.但决不允许有“一对多”的情况出现,即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应,例如“y =±x ,x >0”就不是函数关系式,因为它不满足对于定义域内任意一个..实数x ,在函数值的集合中都有唯一..
确定的数()f x 与之对应,比如,当x = 4时,(4)f =2或(4)f =-2.
⑵函数的实质取决于定义域和对应法则,函数的核心是对应关系.在函数符号y =()f x 中,f 是表示函数的对应关系,等式y =()f x 表明,对于定义域中的任意x ,在“对应法则f ”的作用下,即可得到y .因此,f 是使“对应”得以实现的方法和途径,也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。()f x 可以是解析式,也可以是图象或数表.符号()f x 与()f a 既有区别又有联系.()f a 表示当自变量x = a 时函数f (x)的值,是一个常量;而()f x 是自变量x 的函数,在一般情况下,它是一个变量.()f a 是()f x 的一个特殊值.
⑶等式y =()f x 还表明,对于定义域中的任意x ,在对应关系f 的作用下,可得到y .因此,f 是使“对应”得以实现的方法和途径.所以,给定一个函数,
若给定了该函数的定义域和对应法则,其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定.所以,对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素.如果两个函数的定义域和对应法则完全相同,它们就表示一个函数,而与自变量和因变量用什么字母表示无关;反之,如果两个函数表示同一种函数关系,则它们的定义域和对应法则也相同.
2.函数的表示方法
表示一个函数可用三种方法:解析法、图象法、列表法,它们各有特点,其中解析法是用解析式y =()
f x表示两个变量x、y的函数关系的方法,在理论研究方面尤为重要,但并不是每个函数的都有解析式,有时就是有解析式也不一定容易求出来。用列表的方法解决某些问题时,简明扼要,是解决一些相关数学问题的有效方法。函数图象是函数关系的直观表达形式,其中蕴涵了函数的一切信息,函数的图象为数形结合带来了便利条件,从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键.
3.函数定义域常见问题
求函数定义域一般有三类问题:第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;第二类是实际问题或几何问题,此时除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题或几何问题有意义;第三类是不给出函数的解析式,而由()
f g x
f g x的定义域或由[()]
f x的定义域确定函数[()]
的定义域确定函数()
f x的定义域。其中熟练掌握一些基本初等函数(一次函数、二次函数、分式函数)的定义域是求函数定义域的关键。
4.刻理解对应
..两个概念
..与映射
映射是两个集合之间的一种对应
..关系,对应与集合一样,是一个原始概念,
不能用更基本的概念映射是两个集合之间的一种对应
..关系,对应与集合一样,是
一个原始概念,不能用更基本的概念来定义它.理解对应
..概念应注意下列三点:
⑴A的元素都能在f下确定至少一个元素属于B,即A 的元素都“参加”;
⑵A的元素在f下确定的元素存在即可,个数不限;
⑶“两允许两不允许”,即允许集合B中有剩余元素,不允许集合A中有剩余元素,允许多对一,不允许一对多.
5.函数是特殊的映射
用映射观点这样解释函数的定义,说明函数就是映射,是一类特殊的映射,而映射并不一定是函数,这一点可以从函数定义的三个“都.
”中反映出来.所以,每一个函数都要有映射的三大件:对应法则,原象集和象集.
三、例题精析
例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求)(x f 的定义域.
解:由)(2x f 的定义域是[1,2],是指1≤x ≤2,所以1≤x 2≤4,
即函数)(x f 的定义域是[1,4].
评析:一般地,已知函数))((x f ?的定义域是A ,求)(x f 的定义域问题,相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ,据此求)(x ?的值域问题.
例2 已知函数)(x f 的定义域是[1,4],求函数)(2x f 的定义域.
解:由)(x f 的定义域是[1,4],意思是凡被f 作用的对象都在[1,4]中,即要使)(2x f 有意义,
则有1≤x 2≤4 ? 1≤x ≤2或-2≤x ≤-1.
∴函数)(2x f 的定义域是[1,2][-2,-1].
评析:这类问题的一般形式是:已知函数)(x f 的定义域是A ,求函数))((x f ?的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键.一般地,若函数)(x f 的定义域是A ,则x 必须是A 中的元素,而不能是A 以外的元素,否则,)(x f 无意义.因此,如果)(0x f 有意义,则必有x 0∈A .所以,这类问题实质上相当于已知)(x ?的值域是A ,据此求x 的取值范围,即由)(x ?∈A 建立不等式,解出x 的范围.例2和例1形式上正相反.