教材对比分析总体概述

教材对比分析总体概述

经典力学的基础是牛顿运动定律，在此基础上诞生的万有引力定律更是树立了人们对物理学的尊敬和兴趣。本章在教材中的地位可说是承前启后，承前是针对本模块第二主题“圆周运动”而言，是其涉及的基本概念和规律在天体运动中的应用，启后是指它是解决后续许多万有引力问题的理论依据。

本章我们将学习万有引力定律及其在天体运动中的应用。万有引力定律是在哥白尼、伽利略、开普勒等人的天文学研究成果的基础上，由牛顿运用动力学原理而发现的重要定律。它不仅能解释重力产生的原因，也能够解释行星和卫星的运动规律。它是天文学上研究各种天体运动规律的依据，它所揭示的万有引力是自然界中四种基本相互作用之一。

要理解和掌握万有引力定律，并能用它解决相关的一些实际问题，注意多结合航天技术、人造地球卫星等现代科技知识来认识万有引力定律的应用，理解天体的运动，掌握其重点公式。人造地球卫星和航天技术属于现代科技发展的重要领域，因而有关人造地球卫星和万有引力定律的考查每年都有相关题目，本章是近年高考的热点。

随着航天事业的飞速发展，人造地球卫星的应用也越来越广泛.从高考命题的指导思想来看，要求高考试题具有时代气息，反映现代科技的发展和动向，因此有关卫星的问题将继续是高考的热点问题。解决卫星的运动问题，其依据都是万有引力提供向心力，列出相应的方程，就可得出向心加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系.通过例题和练习，帮助学生掌握这一基本方法。

知识网络

考点预测

本专题包含两类问题或者说两大题型，无论是星体问题还是其他圆周运动的问题，往往

都要运用牛顿运动定律和功能关系进行求解，但由于在高考中地位重要，因`而单独作为一个专题进行总结、分类和强化训练．

航天与星体问题是近几年各地高考卷中的必考题型．由于对这个小模块每年都考，各类题型都有，考得很细，所以历年高考试题往往与近期天文的新发现或航天的新成就、新事件结合，我们在平时学习的过程中应多思考这类天文新发现和航天新事件中可能用于命题的要素．

在高考卷中，关于航天及星体问题的大部分试题的解题思路明确，即向心力由万有引力提供，设问的难度不大，但也可能出现设问新颖、综合性强、难度大的试题．如2008年高考全国理综卷Ⅱ中第25题，2009年高考全国理综卷Ⅱ第26题．

要点归纳

一、航天与星体问题

1．天体运动的两个基本规律

(1)万有引力提供向心力

行星卫星模型：F＝G r2(Mm)＝m r(v2)＝mrω2＝m T2(4π2)r

双星模型：G L2(m1m2)＝m1ω2r1＝m2ω2(L－r1)

其中，G＝6.67×10－11N·m2/kg2

（2）．万有引力等于重力

G R2(Mm)＝mg(物体在地球表面且忽略地球自转效应)；

G2(Mm)＝mg′(在离地面高h处，忽略地球自转效应完全相等，g′为该处的重力加速度)

2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系

F万＝G r2(Mm)＝F向＝.(4π2r3)

3．宇宙速度

(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v＝＝7.9_km/s，是卫星发射的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度．

(2)第二宇宙速度：v＝11.2km/s

(3)第三宇宙速度：v＝16.7km/s

注意：①三个宇宙速度的大小都是取地球中心为参照系；

②以上数据是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同．

4．关于地球同步卫星

地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星，它相对于地球表面是静止的，广泛应用于通信领域，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为六个“一定”：

(1)位置一定(必须位于地球赤道的上空)

地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合．

假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，而与某一纬线所在的平面重合，如图3－4所示．同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F的作用，绕地轴做圆周运动，F的一个分力F1提供向心力，而另一个分力F2将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F全部提供向心力)．

图3－4

(2)周期(T)一定

①同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致．

②同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即T＝24 h．

(3)角速度(ω)一定

由公式ω＝t(φ)知，地球同步卫星的角速度ω＝T(2π)，因为T恒定，π为常数，故ω也一定．

(4)向心加速度(a)的大小一定

地球同步卫星的向心加速度为a，则由牛顿第二定律和万有引力定律得：

G2(Mm)＝ma，a＝2(GM)．

(5)距离地球表面的高度(h)一定

由于万有引力提供向心力，则在ω一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性，而是唯一确定的．

根据G2(Mm)＝mω2(R＋h)得：

h＝ω2(GM)－R＝2(2π)－R≈36000 km．

(6)环绕速率(v)一定

在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速率也一定，且为v＝r(GM)＝R＋h(R2g)＝3.08 km/s．

因此，所有同步卫星的线速度大小、角速度大小及周期、半径都相等．

由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件：

①卫星运行周期和地球自转周期相同；

②卫星的运行轨道在地球的赤道平面内；

③卫星距地面高度有确定值．

热点、重点、难点

一、天体质量、密度及表面重力加速度的计算

1．星体表面的重力加速度：g＝G R2(M)

2．天体质量常用的计算公式：M＝G(rv2)＝GT2(4π2r3)

例2假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T，引力常量为G，那么() A．可以计算火星的质量

B．可以计算火星表面的引力加速度

C．可以计算火星的密度

D．可以计算火星的半径

【解析】卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：G r2(Mm)＝m T2(4π2)r 而火星的质量M＝ρ3(4)πr3

联立解得：火星的密度ρ＝GT2(3π)

由M＝GT2(4π2r3)，g＝G r2(M)＝T2(4π2)r知，不能确定火星的质量、半径和其的表面引

力加速度，所以C正确．

[答案] C

【点评】历年的高考中都常见到关于星体质量(或密度)、重力加速度的计算试题，如2009年高考全国理综卷Ⅰ第19题，江苏物理卷第3题，2008年高考上海物理卷1(A)等．同类拓展1我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为()

A．GT2(3π)B．GrT2(3πl)C．3GrT2(16πl)D．16GrT2(3πl)

【解析】设月球表面附近的重力加速度为g0．

有：T＝2πg0(l)

又由g0＝G r2(M)，ρ＝4πr3(3M)

可解得ρ＝GrT2(3πl)．

[答案] B

二、行星、卫星的动力学问题

不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、周期及向心加速度的关系．

●例32008年9月25日到28日，我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是[2009年高考·山东理综卷]()

A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度【解析】飞船点火变轨，反冲力对飞船做正功，飞船的机械能不守恒，A错误．飞船在圆形轨道上绕行时，航天员(包括飞船及其他物品)受到的万有引力恰好提供所需的向心力，处于完全失重状态，B正确．神舟七号的运行高度远低于同步卫星，由ω2∝r3(1)知，C正确．由牛顿第二定律a＝m(F引)＝G r2(M)知，变轨前后过同一点的加速度相等．

[答案] BC

【点评】对于这类卫星变轨的问题，特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式a＝r(v2)＝ω2r，因为变轨前后卫星在同一点的速度、轨道半径均变化，一般要通过决定式a＝m(F)来比较．

★同类拓展2为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16日13分成功撞月．图示为嫦娥一号卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G．根据题中信息()

A．可以求出月球的质量

B．可以求出月球对嫦娥一号卫星的引力

C．可知嫦娥一号卫星在控制点1处应减速

D．可知嫦娥一号在地面的发射速度大于11.2 km/s

【解析】由G R2(Mm)＝m T2(4π2)R可得月球的质量M＝GT2(4π2R3)，A正确．由于不知嫦娥一号的质量，无法求得引力，B错误．卫星在控制点1开始做近月运动，知在该点万有引力要大于所需的向心力，故知在控制点1应减速，C正确．嫦娥一号进入绕月轨道后，同时还与月球一起绕地球运行，并未脱离地球，故知发射速度小于11.2 km/s，D错误．[答案] AC

三、星体、航天问题中涉及的一些功能关系

1．质量相同的绕地做圆周运动的卫星，在越高的轨道动能E k＝2(1)m v2＝G2r(Mm)越小，引力势能越大，总机械能越大．

2．若假设距某星球无穷远的引力势能为零，则距它r处卫星的引力势能E p＝－G r(Mm)(不需推导和记忆)．在星球表面处发射物体能逃逸的初动能为E k≥|E p|＝G R(Mm)．

●例42008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运动周期为15.2年．

(1)若将S2星的运行轨道视为半径r＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A是太阳质量M S的多少倍．(结果保留一位有效数字)

(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有的势能为E p＝－G R(Mm)(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径．已知引力常量G＝6.7×10－11N·m2/kg2，光速c＝3.0×108m/s，太阳质量M S＝2.0×1030kg，太阳半径R S＝7.0×108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A与太阳半径R S之比应小于多少．(结果按四舍五入保留整数) [2009年高考·天津理综卷]

【解析】(1)S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T，则有：

G r2(MAmS2)＝m S2ω2r

ω＝T(2π)

设地球质量为m E，公转轨道半径为r E，周期为T E，则：

G rE2(MSmE)＝m E(TE(2π))2r E

综合上述三式得：MS(MA)＝(rE(r))3(T(TE))2

上式中T E＝1年，r E＝1天文单位

代入数据可得：MS(MA)＝4×106．

(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远处，此时粒子的势能为零．“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零．根据能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有：

2(1)mc2－G R(Mm)＜0

依题意可知：R＝R A，M＝M A

可得：R A＜c2(2GMA)

代入数据得：R A＜1.2×1010m

故RS(RA)＜17．

[答案] (1)4×106(2)RS(RA)<17

【点评】①“黑洞”问题在高考中时有出现，关键要理解好其“不能逃逸”的动能定理方程：2(1)mc2－G R(Mm)<0．

②E p＝－G R(Mm)是假定离星球无穷远的物体与星球共有的引力势能为零时，物体在其他位置(与星球共有)的引力势能，同样有引力做的功等于引力势能的减少．★同类拓展32005年10月12日，神舟六号飞船顺利升空后，在离地面340 km的圆轨道上运行了73圈．运行中需要多次进行轨道维持．所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间、推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行．如果不进行轨道维持，由于飞船在轨道上运动受摩擦阻力的作用，轨道高度会逐渐缓慢降低，在这种情况下，下列说法正确的是()

A．飞船受到的万有引力逐渐增大、线速度逐渐减小

B．飞船的向心加速度逐渐增大、周期逐渐减小、线速度和角速度都逐渐增大

C．飞船的动能、重力势能和机械能都逐渐减小

D．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小

【解析】飞船的轨道高度缓慢降低，由万有引力定律知其受到的万有引力逐渐增大，向心加速度逐渐增大，又由于轨道变化的缓慢性，即在很短时间可当做匀速圆周运动，由G r2(Mm)＝m r(v2)＝mω2r＝m T2(4π2)r知，其线速度逐渐增大，动能增大，由此可知飞船动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，由空气阻力做负功知机械能逐渐减少．

[答案] BD

四、双星问题

●例5天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)

[2008年高考·宁夏理综卷]

【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有：

ω1＝ω2

r1＋r2＝r

根据万有引力定律和牛顿定律，有：

G r2(m1m2)＝m1r1ω12

G r2(m1m2)＝m2r2ω22

联立解得：r1＝m1＋m2(m2r)

根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝T(2π)

联立解得：m1＋m2＝T2G(4π2r3)．

[答案] T2G(4π2r3)

【点评】在双星系统中，当其中一星体质量远远大于另一星体时，它们的共同圆心就在大质量星球内部且趋近于球心．