沪教版初中数学知识点精修订

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第一章数的整除1.1 整数和整除的意义

1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数

2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数

3. 零和正整数统称为自然数

4．正整数、负整数和零统称为整数

5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b

整除，或者说b能整除a。

1.2 因数和倍数

1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数

2．倍数和因数是相互依存的

3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身

1.3能被2,5整除的数

1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除

2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数

3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数

4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数

5．个位数字是0,5的数都能被5整除

6. 0是偶数

1.4 素数、合数与分解素因数

1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数

2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数

3. 1既不是素数也不是合数

4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数

5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数

6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。

7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法

1.5 公因数与最大公因数

1．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数

2．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数

3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数

4．如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是1

1.6公倍数与最小公倍数

1．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数

2．几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数

3．求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数

4．如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数

5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是；两个数的乘积

第二章分数

2.1分数与除法

1．一般地，两个正整数相除的商可用分数表示，即被除数÷除数= 被除数除数

用字母表示为p÷q= p

q

（p、q为正整数）

2．会用数轴上的点表示分数

2.2 分数的基本性质

1．分数的分子和分母同时乘以一个不为零的整数，分数的值不变

2．分子分母只有公因数1的分数叫做最简分数

3．把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分

2.3 分数的比较大小

1．同分母分数的大小只需要比较分子的大小，分子大的比较大，分子小的比较小

2．通分的一般步骤是：

（1）求公分母——求分母的最小公倍数；

（2）根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相同的分数。

3．异分母分数比较大小需要先通分成同分母分数再按照同分母分数比较大小2.4分数的加减法

1．同分母分数相加减，分母不变，分子相加减

2．异分母分数相加减，先通分成同分母分数，再按照同分母分数相加减

3．分子比分母小的分数,叫做真分数

4．分子大于或者等于分母的分数叫假分数

5．整数与真分数相加所成的分数叫做带分数

6．假分数化为带分数：分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数

7．列方程求未知数的一般书写步骤：（1）设未知数为x；（2）根据题意列出方程：（3）根据加减互为逆运算，表示出x等于那些数相加减；（4）计算出x的值，并写出上结论

2.5 分数的乘法

1．两个分数相乘，分子相乘作为分子，分母相乘作为分母

2．如果乘数是带分数，先化成假分数，再进行运算

2.6 分数的除法

1．一个数与其相乘的积为1的数为这个数的倒数；0没有倒数

2．除以一个分数等于乘以这个分数的倒数

3．被除数或除数中有带分数的先化成假分数再进行运算

2.7分数与小数的互化

1．一个分数能不能化为有限小数和分数的分母有关

2．从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的无限小数叫做循环小数

3．被重复的一个或一节数码称为循环小数的循环节

4．一个分数总可以化为有限小数或无线循环小数

2.8 分数、小数的四则混合运算

2.9 分数运算的应用

第三章比和比例

3.1比的意义

1．将a与b相除叫a与b的比，记作a：b，读作 a比b

2．求a与b的比，b不能为零

3．a叫做比例前项，b叫做比例后项，前项a除以后项b的商叫做比值

4．求两个同类量的比值时，如果单位不同，先统一单位再做比

5．比值可以用整数、分数或小数表示

3.2 比的基本性质

1．比的基本性质是比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变

2．利用比的基本性质，可以把比华为最简整数比

3．两个数的比，可以用比号的形式表示，也可以用分数的形式表示

4．三项连比性质是：如果a：b=m：n，b：c=n：k，那么a：b：c=m：n：k

如果k≠0，那么a：b：c=ak：bk：ck=a

k ：b

k

：c

k

5．将三个整数比化为最简整数比，就是给每项除以最大公约数；

将三个分数化为最简整数比，先求分母的最小公倍数，再给各项乘以分母的最小公倍数；

将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以10,100,1000等，化为整数比，再化为最简整数比

6．求三项连比的一般步骤是：（1）。寻找关联量，求关联量对应的两个数的最小公倍数

（2）根据毕的基本性质，把两个比中关联量化成相同的数

（3）对应写出三项连比

3.3 比例

1． a（第一比例项）：b（第二比例项）=c（第三比例项）：d（第四比例项）；其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项

2．如果两个比例内项（外项）相同，即a：b=b：c，那么b叫做a、c的比例中项

3．利用比例的基本性质，可以把比例方程转化化为我们常见的形式ad=bc，简单的说，就是内项之积等于外项之积

4．列方程解应用题的一般书写步骤分四步：（1）设未知数（2）列方程（3）解方程（4）答

5．列比例方程时，一定要注意对应关系，一定要注意同类量的单位要对应统一3.4 百分比的意义

1表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，表示 n ％，读作百分之……

2．把百分数化为小数

3．把小数化为百分数

3.5 百分比的应用

1．三个关键词：是，占，的

2．一条主线：求部分占全体的百分数；

三类情景：一般文字题，统计图和统计表，恩格尔系数

3．赢利问题的俩个基本公式：售价－成本=赢利，赢利率=赢利／成本×100％；在售价、成本和赢利三个量中，只要知道其中的两个量，就可以计算出赢利率

打折问题的一个基本公式：原（售）价×折数=现（售）价；在原价、现价和折数三个量中，只要知道其中两个量，就可以计算出第三个量

亏损时赢利意义相对的量：赢利=售价－成本，亏损=成本－售价

4．银行利息的结算和本金、利率和期数有关（注意：贷款利息不纳税）

利息=本金×利率×期数；利息税=利息×20％；

税后本息和=本金＋税后利息=本金＋利息－利息税=本金＋利息×（1－20％）

增长率=增长的量／原来的基数×100％

3.6等可能事件

1．从实际生活中感悟那些事件是可能事件，哪些事件是不可能事件

2．可能性的大小可以用一个真分数或百分数表示

第四章圆和扇形

4.1圆的周长

1．周长公式 C=πd=2πr ，其中π是一个无限不循环小数，通常取π=3.14

2．会根据题意，有其中2个量求第三个量的值

4.2弧长

1．如图，圆上A 、B 两点间的部分就是弧，记作 读作弧AB ，∠

2． 圆心角所对的弧长是圆周长的

3．设圆的半径为r ， 圆心角所对的弧长是 ，弧长公式：l = 180

n πr 4.3圆的面积

1． 圆的面积 S=π2r

2．环形的面积=大圆的面积－小圆的面积 S=π（ 2R －2r ）

4.4 扇形的面积

1． 扇形面积公式S 扇=360n π2r =12

lr 2．要求阴影部分面积，要善于抓住图形间的位置关系和数量关系进行适当的割补

第五章 有理数

5.1有理数的意义

1.整数和分数统称为有理数

2.有理数 整数：正整数、零、负整数

分数：正分数、负分数

B

5.2数轴

1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

2.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。

3.所有的数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个数的大小

4.在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数

3.零是正数和负数的分界。

4.只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数，零的相反数是零。

5.3绝对值

1.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值

2.一个正数的绝对值是它本身。

3.一个负数的绝对值是它的相反数。

4.零的绝对值是零。

5.两个负数，绝对值大的那个数反而小。

5.4~5.5有理数的加减

1.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为零，绝对值不相等时，其和的绝对值为较大绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号。（3）一个数同零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律：

（1）交换律：a+b=b+a

（2）结合律：（a+b）+ c=a+(b+c)

3.有理数的减法法则

（1）减去一个数，等于加上这个数的相反数

（2）a-b=a+(-b)

5.6~5.7有理数的乘除

1.两数相乘的符号法则：

正正得正，正负得负，负正得负，负负得正。

2.有理数的乘法法则

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数与零相乘，都得零。

3.注意连成的符号：

（1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定

（2）当负因数有奇数个时，积为负

（3）当负因数有偶数个时，积为正

（4）几个数相乘，有因数为零，积就为零

4.有理数除法法则：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）零除以任何一个不为零的数，都得零。

5.8有理数的乘方

1.求N个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘法的结果叫做幂。在a n中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方，a n看做是a的n次方结果时，读作a的n次幂。

5.9有理数的混合运算

1.正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

2.有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；统计运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号。

5.10科学计数法

1.把一个数写成a×10n (其中1≤a＜10，n是正整数），这种形式的计数方法叫做科学计数法

2.近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。

3.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字

第六章一次方程（组）

及一次不等式（组）

6.1列方程

1.用字母x、y、等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数。含有未知数的等式叫做方程。在方程中，所含的未知数又称为元。

2.为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。6.2方程的解

1.如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解

6.3一元一次方程及其解法

1.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程

2.等式性质：

（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或一个含有字母的式子，说得结果仍是等式。

（2）等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式。

3.去括号的法则是：

括号前带“+”号，去掉括号时括号内各项都不变符号。括号前带“—”号，去掉括号时括号内各项都改变符号。

4.解一元一次方程的一般步骤是：

（1）去分母；

（2）去括号；

（3）移项；

（4）化成ax=b（a≠0）的形式

（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解x=b/a

6.4一元一次方程的应用

1.列方程解应用题的一般步骤是：

（1）设未知数（元）；

（2）列方程；

（3）解方程；

（4）检验并作答。

6.4不等式及其性质

用不等号“＜”“＞”“≤”“≥”表示的关系式，叫做“不等式”。

不等式性质：

1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：

如果a＞b，那么a+m＞b+m

如果a＜b，那么a+m＜b+m

2.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

如果a＞b，且m＞0，那么am＞bm（或a/m＞b/m）

如果a＜b，且m＞0，那么am＜bm（或a/m＜b/m＝

3.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

如果a＞b，且m＜0，那么am＜bm（或a/m＞b/m）

如果a＜b，且m＜0，那么am＞bm（或a/m＜b/m）

6.6一元一次不等式的解法

1.在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2.一般情况下，一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。不等式的解的全体叫做不等式的解集。

3.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。

4.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似。

6.7一元一次不等式组

1.由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

2.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

3.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。

4.如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解。

5.解一元一次不等式组的一般步骤是：

（1）求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）在数轴上表示各个不等式的解集；

（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。

6.8二元一次方程