2020学年中考数学模拟试题(四)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

1．与－2的乘积等于1的数是( D )

A.21B．2 C．－2 D．－21

2．2016年1月24日，“贵广大庙会”在贵阳观山湖区正式面向市民开放，第一天就有近 5.6×104人到场购置年货， 5.6×104表示这一天到场人数为( D )

A．12 B．9 C．4 D．3

8．下表是某校合唱团成员的年龄分布

年龄/

岁

13 14 15 16

频数 5 15 x 10－x[来源:学,科,网]

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( B )

A．平均数，中位数B．众数，中位数

C．平均数，方差D．中位数，方差

9．a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c ＝0根的情况是( B )

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．无实数根D．有一根为0

10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc ＝0；②a ＋b ＋c>0；③a>b ；④4ac －b 2<0.其中，正确的结论有( C )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题(本大题共5个小题，每小题

4分，共20分) 11．计算：28＝__2__．

12．化简：x2－4x ＋4x ＋3÷（x －2）2x2＋3x ＝__x 1__．

13．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同

的小球．如果口袋中装有

3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为51，那么口袋中小球共有__15__个．

14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝31BD ，连接DM ，DN ，MN.若AB ＝6，则DN ＝__3__．

15．在△ABC 中，AB ＝13 cm ，AC ＝20 cm ，BC 边上的高为12 cm ，则△ABC 的面积为__126或66__cm 2.

三、解答题(本大题共10个小题，共100分)

16．(6分)先化简，再求值：

已知[4(xy －1)2－(xy ＋2)(2－xy)]÷41

xy ，其中x ＝－2，y ＝0.5.

解：原式＝[4(x 2y 2－2xy ＋1)－(4－x 2y 2)]÷41xy ＝[4x 2y 2－8xy ＋4－4＋

x2y2]÷41xy＝(5x2y2－8xy)÷41xy＝20xy－32；当x＝－2，y＝0.5时，原式＝－52.

17．(10分)某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的

训练情况，让体育老师随机抽查了该年级若干名女生，并严格地对她们进

行了1分钟“仰卧起坐”测试，同时统计了每个人做的个数(假设这个个数为x)，现在我们将这些同学的测试结果分为四个等级：优秀(x≥44)、良好(36≤x≤43)、及格(25≤x≤35)和不及格(x≤24)，并将统计结果绘制成如下两幅

不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；

(2)被测试女生1分钟“仰卧起坐”个数的中位数落在________等级；

(3)若该年级有650名女生，请你估计该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数．

解：(1)补全的两幅统计图如图所示；(2)良好；(3)650×26%＝169(人)，∴该年级女生中1分钟“仰卧起坐”个数达到优秀的人数为169人．

18．(10分)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC 上的点N处．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，由折叠的性质可知：∠BAE＝∠CAE＝21∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝21

∠ACD.∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠BAE ＝∠DCF.在△BAE 和△DCF 中．∵∠BAE ＝∠DCF ，AB ＝CD ，∴△BAE ≌△DCF ，∴AE ＝CF.又∵∠EAC ＝∠FCA ，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形；(2)在Rt △ABC 中，BC ＝＝＝8.设CE ＝x ，由折叠可知：BE ＝EM ＝8－x ，AB ＝AM ＝6，∴CM ＝AC －AM ＝10－6＝4，在Rt △CEM 中．∵EM 2＋CM 2＝CE 2，∴(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5，∴CE ＝5，∴Ｓ?AECF ＝AB ×

CE ＝6×5＝30. 19．(10分)甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有

3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从

乙口袋摸出一个小球记下数字．

(1)请用列表或画树状图的方法

(只选其中一种)，表示出两次所得数字

可能出现的所有结果；

(2)求出两个数字之和能被

3整除的概率．解：(1)列表如下：

甲口袋

乙口袋

1 2 3 4

(1，4) (2，4) (3，4) 5

(1，5) (2，5) (3，5) 或画树状图如下：可能出现的结果共有

6种，他们出现的可能性相同；(2)两个数字之和能被3整除的情况有

2种可能：(1，5)，(2，4)，∴P(两个数字之和能被3

整除)＝62＝31. 20．(10分)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大

桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引伸出的平面图，假设你

站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为 2 m，两拉索底端距离AD为20 m，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1 m，≈1.732)

解：设DH＝x m，在Rt△CDH中，tan60°＝DH CH＝，∴CH＝DH＝x.在Rt△AHB中．∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴AH＝

BH，∴20＋x＝(2＋x)，∴x＝10－，∴CH＝x＝(10－)＝10－3，∴BH＝BC＋CH＝2＋10－3＝10－1≈10×1.732－1≈17.32－1≈16.3(m)，∴立柱BH的长约为16.3 m.

21．(10分)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD，现将四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(6，0)，D(0，3)，反比例函数y＝x k(k≠0)的图象经过点 C.

(1)求C点坐标和反比例函数的表达式；

(2)将四边形ABCD向上平移m个单位长度后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．

解：(1)过点C作CE⊥AB于点 E.∵AD＝BC，AB∥CD.又∵DO⊥AB，

E C，∴AO＝BE＝2.∵BO＝6，∴DC CE⊥AB，∴DO＝CE＝3，∴△AOD≌△Ｂ

＝OE＝4，∴C(4，3)．∵y＝x k(k≠0)，∴3＝4k，解得k＝12，∴反比例函数的表达式为y＝x12；(2)将四边形ABCD向上平移m个单位长度后得到四边形B′(6，m)．∵点B′(6，m)恰好落在双曲线y＝x12上，∴当x＝6 A′B′C′D′，∴点

时，m＝612＝2，即m＝2.

22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点 D.以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.

(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AC＝3，∠B＝30°.

①求⊙O的半径；

②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．(结果保留根号和π)

解：(1)直线BC与⊙O相切；理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠OD A.∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD ＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切；(2)①设OA＝OD＝r，在Rt△BDO 中，∠B＝30°，∴OB＝2r.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r

S扇形ODE＝32＝6，解得r＝2；②在Rt△OBD中，∠B＝30°.∴∠BOD＝60°.∴

π.S△ODB＝21DB·OD＝21×2×2＝2，∴所求图形面积为：S阴影＝S△BOD－S扇形

2π.

ODE＝2－3

23．(10分)在“绿满贵阳”行动中，某社区计划对面积为 1 800 m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成

绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为

400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.

(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；

(2)设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求

y与x的函数表达式；[来源:学+科+网Z+X+X+K]

(3)若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工

的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．

解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2，则甲队每天绿化

2x m2，根据题意得：x400－2x400＝4，解得x＝50，经检验，x＝50是原方程

的根，∴2x＝100.答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m2、50 m2；(2)根据题意，得：100x＋50y＝1 800，∴ｙ与x的函数表达

式为y ＝36－2x ；(3)∵甲乙两队施工的总天数不超过

26天，∴x ＋y ≤26，∴x ＋36－2x ≤26.解得x ≥10.设施工总费用为w 万元，依题意，得：

w ＝0.6x ＋0.25y ＝0.6x ＋0.25×(36－2x)＝0.1x ＋9.∵k ＝0.1＞0，∴ｗ随x 增大而增大，当x ＝10时，w 的最小值为10.此时y ＝36－20＝16.答：安排甲

队施工10天，乙队施工

16天时，施工总费用最低．最低费用为

10万元．24．(12分)如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点E ，直线BM ，NC 交于点F ，连接EF.

(1)求证：AN ＝BM ；

(2)求证：△CEF 为等边三角形；

(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转

90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断第

(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立．

(不要求证明) 证明：(1)∵△ACM ，△CBN 是等边三角形，∴

CM ＝CA ，CN ＝CB ，∠MCA ＝∠NCB ＝60°，∴∠MCA ＋∠MCN ＝∠NCB ＋∠MCN ，即∠MCB ＝∠ACN ，在△BCM 和△NCA 中，CM ＝CA ，∠MCB ＝∠ACN ，∴△BCM ≌△NCA(SAS )，∴BM ＝

NA ；(2)∵△ACM ，△CBN 是等边三角形，∴AC ＝MC ，∠MCA ＝∠NCB ＝60°，∴∠MCN ＝180°－∠MCA －∠NCB ＝180°－60°－60°＝60°＝∠MCA.又由(1)△BCM ≌△NCA ，∴∠NAC ＝∠BMC ，在△ACE

和△MCF 中，∠ACE ＝∠MCF ，AC ＝MC ，∴△ACE ≌△MCF(ASA )，∴CE ＝CF ，∴△CEF 为等边三角形；(3)连接BM 交AC 于点F ，连接AN 交BC 于点E.此时第(1)小题的结论仍然成立，第(2)小题的结论不成立．

25．(12分)如图，已知抛物线

y ＝31x 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点P 且与y 轴平行的直线

l 与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；

(3)当点P 为抛物线的顶点时，在直线

AC 上是否存在点Q ，使得以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点

Q 的坐标；若

不存在，请说明理由．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入

y ＝31x 2＋bx ＋c ，得×（－9）2－9b ＋c.1解得c ＝1.b ＝2，∴抛物线的表达式是

y ＝31x 2＋2x ＋1；(2)∵

AC ∥ｘ轴，A(0，1)，由31x 2＋2x ＋1＝1，解得x 1＝－6，x 2＝0，∴C(－6，1)，设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b(k ≠0)，由10＝－9k ＋b.1＝b ，

解得b ＝1.k ＝－1，则

直线AB 的表达式是y ＝－x ＋1.设点P 的坐标为(m ，31m 2＋2m ＋1)，则点E 的坐标为(m ，－m ＋1)．则EP ＝－m ＋1－(31m 2＋2m ＋1)＝－31m 2－3m.

∵AC ⊥EP ，AC ＝6，∴Ｓ四边形

AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝21AC ·EF ＋21AC ·PF ＝21AC ·(EF ＋PF)＝21AC ·EP ＝21

×6×(－31m 2－3m)＝－m 2－9m ＝－(m ＋29)2＋481.又∵－6

P 的坐标是(－29，－45)；(3)由y ＝31x 2＋2x ＋1＝31(x ＋3)2－2，得顶点P 的坐标是(－3，－2)，此时PF ＝y F －y P ＝3，CF ＝x F －x C ＝3，则在Rt △CFP 中，PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45°，同理可求∠EAF ＝45°，∴∠PCF ＝∠EAF ，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q 1，Q 2，使△CPQ 1∽△ABC 或△CQ 2P ∽△ABC.可求AB ＝9，AC ＝6，CP ＝3，①当△CPQ 1∽△ABC 时，设Q 1(t 1，1)，由AC CQ1＝AB CP ，得6t1＋6＝22，解得t 1＝－4.②当△CQ 2P ∽△ABC 时，设Q 2(t 2，1)，由AB CQ2＝AC CP ，得2t2＋6＝26，解得t 2＝3.综上，满足条件的点Q

有两个，坐标分别是Q 1(－4，1)或Q 2(3，1)．