动态电路的运算分析法2

第11章动态电路的运算分析法 (315)

学习要点 (315)

11.1 拉普拉斯变换的定义及性质 (315)

11.1.1拉氏变换的定义 (315)

11.1.2拉氏变换的条件 (316)

11.1.3拉氏变换的基本性质 (316)

11.2 拉氏反变换——分解定理 (320)

11.3 线性动态电路的复频域模型 (324)

11.3.1 KL的运算形式 (324)

11.3.2 VCR的运算形式 (324)

11.4 用复频域分析法计算线性电路 (326)

11.5 网络函数及其零点、极点 (336)

11.6 零、极点与冲激响应的关系 (338)

11.7 零、极点与频率响应的关系 (339)

习题十一 (343)

314

315

第11章 动态电路的运算分析法

学习要点

(1) 拉普拉斯变换定义及性质。

(2) 拉普拉斯反变换-部分分式展开方法。 (3) 动态电路的复频域模型---运算电路。 (4) 动态电路的拉普拉斯变换法—运算法。 (5) 用运算法分析动态电路。

本章的核心是如何用数学工具“拉普拉斯变换”解决电路的动态分析问题。因此，学习本章首先应掌握“拉普拉斯变换”的定义、性质和反变换问题，在此基础上掌握如何用“拉普拉斯变换”解决动态电路分析的问题，即运算法的有关问题。

第5章用时域分析法分析一阶电路比较方便，但对于二阶和高阶或交流的动态电路，列写和求解方程很繁琐 (例题5-12)。本章复频域分析法（运算法）对分析复杂的电路将更为有效。

11.1 拉普拉斯①变换的定义及性质

拉普拉斯变换是分析线性非时变网络的一种有效而重要的工具，它在其他技术领域中也同样得到了广泛的应用，尤其是在各种线性定常系统中，拉氏变换方法作为基本的数学工具受到了人们的普遍重视。

为了说明拉氏变换在电路理论中的地位，我们首先简单的回顾以下，在一阶、二阶电路里，我们用微分方程求解动态电路时，虽然能较满意的结合电路中的物理过程分析一些简单的信号输入的时域响应特性，而且对于一阶、二阶电路而言，微分方程也不难求解。但是，若输入信号较为复杂，或是高阶电路，微分方程的求解就会很麻烦，甚至在有些情况下，人工解答已很难实现。在分析正弦稳态电路时，我们采用的是相量法，将求解微分方程的过程，变换为相量的代数方程，从而简化了数学运算，从本质上讲，相量分析也是一种数学变换，它只适用于正弦稳态电路的分析。利用傅立叶分析方法，能够有效地揭示出一些较为复杂的非正弦周期信号的频率特性，而且傅立叶变换作为一种数学变换方法也可以应用于线性电路的分析。然而傅立叶变换方法有着明显的局限性：其一，因为周期信号的傅立叶级数是无穷级数，因此对于周期信号输入的电路，利用傅立叶级数，不易求得封闭形式的解，只能取有限项的近似解；其二，工程上很多有用的信号，不满足绝对可积的条件，傅立叶变换就不能直接应用。特别是对于具有初始条件的电路，利用傅立叶变换法求全响应是比较麻烦的。由以上事实可以看出，探索分析任意信号输入时线性电路的响应问题，是非常必要的。拉氏变换方法是解决此类问题的工具之一。

11.1.1拉氏变换的定义

一个定义在),0[∞-区间上的函数)(t f 的拉氏变换记作

0[()]()()st L f t F s f t e dt -

∞

-==? （11-1）

上式是单边拉普拉斯变换的数学定义。)(s F 称为)(t f 的拉氏变换或象函数，)(t f 是)(s F 的原函数。如果把上式中的积分下限取∞-，则称为双边拉氏变换，本书只讨论单边拉氏变换。应当指出，为了顾及函数)(t f 在0=t 处可能存在冲激的情况，上式中的积分下限取-0。在电路原理中，把式（11-1）称为拉氏变换的-0系统，把积分下限取为+0的拉氏变换，称为+0系统。在+0系统中，函数的初始值为)0(+f ，

①

拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。

316

在-0系统中，函数的初始值为)0(-f 。若)0()0(-+=f f ，两者并无区别，若)0(+f ≠)0(-f ，对电路的求解，两者会得到不同的结果。

如果)(s F 已知，要求出与之对应的原函数，由)(s F 到)(t f 的变换称为拉氏反变换，它定义为

11

[()]()()2c j st c j L F s f t F s e ds j π+∞

--∞

==

? （11-2）

式(11-1)与(11-2)称为拉普拉斯变换对。理论上可以证明，单值函数的拉式变换具有唯一性。

11.1.2拉氏变换的条件

拉氏变换是一个积分变换，此变换要想存在，)(t f 必须满足以下三个条件：

（1）0

→t

t e

t f α，0>α。其中t e α-称为收敛因子。在拉氏变换时，将

)(t f 乘以收敛因子，只要]Re[s =α足够大，总能使)(t f 较快的衰减。

大多数函数均满足以上条件，其拉氏变换积分是收敛的。

例11-1求以下函数的象函数 ① 单位阶跃函数 ② 单位冲激函数 ③ 指数函数 解 单位阶跃函数的象函数：)()(t t f ε=

0001

1()()st st st

F s t e dt e dt e s

s

ε--

-

∞

∞

∞

---===-=

??

单位冲激函数的象函数：)()(t t f δ=

0000()()()1st

st F s t e dt t e dt e δδ+

-

-

∞

--====??

指数函数的象函数： at

e t

f =)(

()()0001

1()()

at st s a t s a t

F s e e dt e dt e s a s a

-

-

-

∞∞

∞-----===

=

---?? 11.1.3拉氏变换的基本性质

1. 线性性质

设)(1t f 和)(2t f 是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为)(1s F 和)(2s F ，1A 和2A 是两个任意的实常数，则有：)()()]()([22112211s F A s F A t f A t f A L +=+

证明 112211220[()()][()()]st L A f t A f t A f t A f t e dt -∞-+=+?

112200()()st st A f t e dt A f t e dt -

-

∞

∞--=+??

)()(2211s F A s F A +=

例11-2 设下面两个函数的定义域为),0[∞，求其象函数。 ⑴ )sin()(t t f ω= ⑵ )sinh()(t t f ω=

解 ⑴ 22)11(21)](21[)][sin(ωωωωωωω+=+--=-=-s t j s t j s j e e j L t L t j t j ⑵ 2

2)11(21)](21[)][sinh(ω

ωωωωωω-=+--=-=-s s s e e L t L t

t 2. 时域微分性质

317

设)(t f 的象函数为)(s F ，其导数dt

t df t f )

()(='则 )0()()]([--='f s sF t f L 证明 0[()]

()st L f t f t e dt -

∞-''=?

利用分部积分，设st

e u -=，dt t

f dv )('=，dt se

du st

--=，)(t f v =，

由于?

?

-=vdu uv udv ，所以

0000()()()() (0)()()(0)

st st

st st

f t e dt f t e f t se dt

f s f t e dt sF s f -

-

--

∞∞

∞---∞

---'=--=-+=-?

??

例11-3 利用微分的性质求下列函数的象函数 ⑴ )cos()(t t f ω= ⑵ )()(t t f δ=

解 ⑴ 由于1[sin()]

()cos()d t f t t dt

ωωω==

所以2222

1[sin()]1()[sin(0)]d t s s

F s L dt s s ωωωωωω==-=++

⑵ 由于 dt

t d t t f )

()()(εδ==

所以 1)0(1

)(=-?=-εs

s s F

3. 时域积分性质

设)(t f 的象函数为)(s F ，则0()

[()]t F s L f d s

ξξ-

=

?

证明 设0()()t g t f d ξξ-

=

?

，则 )]([)(t g L s G =

由于0)0(=-g ，且dt

t dg t f )

()(=，所以 )()0()()(s sG g s sG s F =-=- 故 s

s F s G )

()(=

例11-4 利用积分性质求t t f =)(和n t

t f 1

)(=的象函数 解 由于0()()t f t t d εξξ-==?， 所以 21

11][s

s s t L =?=

同理 2

02t t d ξξ-=? 则 3222112][s

s s t L =??=

依次类推 1!][+=n n

s

n t L

4. 时域延迟性质

设)(t f 的象函数为)(s F ，)(0t t f -是)(t f 的延迟函数，则0

0[()]()st L f t t e F s --=

证明 由于0t t <时0)(=t f 。令0t t -=τ 则

00000[()]()() ()()

st

st

t st st s L f t t f t t e dt f t t e dt

f e

e

d e F s τ

ττ--

-∞∞-∞----=-=-==???

318

例11-5 求如图11-1中波形的象函数 解 )()()(a t t t p --=εε 由延迟性质可得：

)1(1

11)(sa sa e s

s e s s G ---=-=

5. 频域微分性质

设)(t f 的象函数为)(s F ，则)()]([s F ds

d

t tf L -= 证明 0()()st

F s f t e dt -

∞-=

?

，两边对s 求导得：

00()[()]()()[()]st

st d d F s f t e dt t f t e dt L tf t ds ds -

-

∞∞--==-=-??

所以：)()]([s F ds d t tf L -=，多次使用此性质，可得：)()1()]([s F ds

d t f t L n n

n n -= 例11-6 利用频域微分性质求)sin(bt t 的象函数

解 由于22))(sin(b s b

bt L +=

所以2

2222)

(2)())sin((b s bs

b s b ds d bt t L +=+-= 6 . 频域积分性质

设)(t f 的象函数为)(s F ，则()

[]()s f t L F u du t

∞=?

证明

000()

()[()]()()[]st ut

ut

s

s

s

e f t F u du f t e dt du f t e dudt f t dt L t t

-

-

--∞∞∞

∞∞∞

--====?

???

?

?

例11-8 求

t

t )

sin(的象函数 解 由于11

)][sin(2+=s t L

所以 2sin()1

[

]1s t L du t

u ∞=+? 设u

v 1

= ， 则

122011111s

s

du dv arctg u v s

∞==++?

? 7. 频域延迟性质

设)(t f 的象函数为)(s F ，则)()]([a s F t f e L at +=- 证明 ()00[()]()()()at at st s a t L e f t f t e e dt f t e dt F s a -

-

∞∞

----+=

==+?

?

例11-9 利用频域延迟性质求)sin()(t e t f at

ω-=的象函数

解 由于 2

2

)][sin()(ω

ω

ω+==s t L s F

所以 2

2)()()]sin([ωω

ω++=

+=-a s a s F t e

L at

8. 尺度变换性质

设)(t f 的象函数为)(s F ，则)(1)]([a

s

F a at f L = 证明 0[()]

()st

L f at f at e dt -

∞-=?

图11-1 例11-5图

319

设at =τ ， 则 0011()()()s st

a

s f at e dt f e d F a a a

τττ-

--∞

∞-==??

例11-10 已知2)2()(-=t t f 的象函数是3

2244)(s

s s s F +-=，求2

)2()(-=at t g 的象函数 解 )()2()(2

at f at t g =-=

所以 3

2

232244)(24)(41)(1)(s

a as s a s a s a s a a s F a s G +-=+?-?== 9. 卷积定理

设有两个定义在),0[∞-区间的函数)(1t f 和)(2t f ，它们的卷积定义为：

?∞

-

-=02121)()()(*)(ξξξd f t f t f t f

卷积定理：如设)(1t f 和)(2t f 的象函数分别为1()F s 和2()F s ，则 )()()](*)([2121s F s F t f t f L = 证明 1212

00[()*()]()()st L f t f t f t f d e dt ξξξ-

-

∞∞-=-??

由于??

?><=-t ξ

t ξ

10)(ξεt 故

121200()()()()()f t f d f t t f d ξξξξεξξξ-

-

∞

∞

-=--?

?

121200[()*()]()()()st L f t f t f t t f d e dt ξεξξξ-

-

∞∞-=--?

?

设 ξ-=t x 则

()12210000()()()()()st x s f t t f d e dt f f x e dxd ξξεξξξξξ-

-

-

-

∞∞∞

∞

--+--=??

??

)()()()(210012s F s F dx e x f d e

f sx s ==

?

?∞

-∞

--

-

ξξξ

由于)()()()(1221s F s F s F s F =，所以 )(*)()(*)(1221t f t f t f t f =

根据以上介绍的拉氏变换的定义和它的一些性质，可以很方便地求出一些常用的时间函数的象函数，表11-1为常用函数的拉氏变换表。

320

11.2 拉氏反变换——分解定理

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的象函数反变换为时域函数。拉氏反变换可以直接用定义积分求得，但涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。如果象函数比较简单，往往能够从拉氏变换表中查出其原函数。对于不能从表中查出原函数的情况，如果能设法把象函数分解成若干个简单的能从表中查到的项，就可以查出各个项所对应的原函数，而它们的代数和即是所求的原函数。这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。另外，也可以用工程数学上的围线积分和留数定理来求拉氏反变换。下面重点介绍拉氏反变换的部分分式展开法。

对于有理函数)(s F 可以表示为以下形式

110

11)()()(b s b s b a s a s a s D s N s F n n n n m m m m +???+++???++=

=---- （11-3） 其中 i a ，j b 为实数，m 和n 为正整数，且n m ≤。

用部分分式展开有理分式)(s F 时，要求)(s F 为真分式，即n m <，如果n m =，可先将)(s F 化为真

分式，再进行分解，当n m =，则 )

()()()

()(0

s D s N A s D s N s F +==。在电路分析中，通常不会出现m >n 的情况。

上式中A 是一个常数，其对应的时间函数为)(t A δ，余数项

)

()

(0s D s N 即是真分式。 由数理理论知，在式（11-3）中，使)(s F 为零的s 值，称为)(s F 的零点，使)(s F 为无穷大的s 值，称为)(s F 的极点。显然，多项式0)(=s N 的根就是)(s F 的零点，而多项式0)(=s D 的根就是)(s F 的极点。一般来说，多项式0)(=s D 的根可以分为四种类型。

1. 0)(=s D 具有n 个单根

)(s F 的分母0)(=s D 的根，是不相等的实数根，此时，极点分别为1p ，n p p ???,2，于是)(s F 可以

展开为

12

12()n n

K K K F s s p s p s p =

++???+

--- （11-4a ） 其中1K ，n K K 2???为待定系数。 将上式两边同乘以)(1p s -，得

))(

()()(22

111n

n p s K p s K p s K s F p s -+???+--+=-