三角函数求值-学生版 (1)
三角函数式的求值
【知识点精讲】
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形
三角函数式的求值的类型一般可分为:
(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角
（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解
（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次
注意点：灵活角的变形和公式的变形
重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
【例题选讲】
一、“给角求值”
例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习1:tan20°+4sin20°
练习2、（1）化简;?--??
?-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；
（2）求值： .
练习3：求()0000
1tan21tan24tan21tan24++? ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+?+++
练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值
二、“给值求值”：
例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值
练习:)6
sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0 [点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-π π ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。 ??+?+?50tan 10tan 350tan 10tan 常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4 ()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4 (24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。 练习1：设cos(α2β-)=91-，sin(βα-2)=32,且,022 ππαπβ<<<<，求cos(α+β) 练习 2：已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值 练习3：已知51sin(),tan ,(0,),(0,2),1322 βαβαπβπ+= =∈∈ （1） 求sin ,cos .ββ （2）求sin α. 例4、若,31)6sin(=α-π 则=α+π)232cos( . 练习4.已知sin （ ﹣α）﹣cosα=，则cos （2α+）=（ ） A ． B ．﹣ C ． D ．﹣ 三、“给值求角”： 例5、已知,0,2παβ? ?∈ ???，且5cos 5 α=，tan 3β= ，求αβ+的值。 [点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。 练习1:已知α，β为锐角，tanα=1/7 sinβ= 1010,求2α+β的值 练习2:已知11tan(),tan ,27 αββ-==-且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值. 练习3：若),0(,πβα∈，31tan ,507cos -=- =βα，求α+2β. 练习4：已知,0cos cos cos ,0sin sin sin =-+=+-γβαγβα且α、β、γ均为钝角，求角βα+的值. 四、 “给式求值” 例6、已知3 1)sin(,21)sin(=-= +βαβα，求tanα:tanβ的值。 练习1: 若cos α+cos β=21,sin α+sin β=31,求 cos(α-β)的值; 练习2: 已知sinα+sinβ= m 已知cosα+cosβ= n(mn≠0). 求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β) 三角函数的图像及性质 【知识要点】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 】 π, 2.求周期：()sin y A x k ωα=++，2T π ω = 【课前小练】 1. 函数tan 4y x π?? =- ??? 的定义域是____________ 2. 函数()sin 10y A x A =+>的最大值是3，则它的最小值是____________ 3. 函数2cos y x =在区间[],0π-上是________函数，在区间[]0,π上是_________函数。 4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ） A. cos 2y x = B. sin 2y x = C. tan 2y x = D. sin 22y x π? ? =- ?? ? | 【例题解析】 考点一 三角函数的定义域与值域 例1：函数()2sin 2-= x x f 的定义域（以下Z k ∈）是（ ） A.????? ?++22,42ππππk k B. ??????++-22,42ππππk k C.?? ? ?? ?+ + 432,4 2πππ πk k D. R 例2：求下列函数的值域： 1）2sin 3y x =- 2）()sin ,,;36f x x x ππ??=∈- -??? ? [ 3）()()2sin 2,,;63f x x x ππ??=∈? ??? 4）sin 2sin x y x = + ) 变式1： 求下列函数的定义域 1）函数x x y tan 1)1sin 2lg(-++=的定义域为____________ 2）函数()lg sin y x =+____________ 3）函数 ()sin tan f x x x =++ 的定义域为____________ 变式2：求下列函数的值域 1）()3sin ,,;44f x x x ππ?? =∈- ???? 三角函数数学试卷 一、 选择题1、 600sin 的值是（ ） )(A ;21 )(B ;23 )(C ;23- )(D ; 21 - 2、),3(y P 为α终边上一点， 53 cos = α，则=αtan （ ） )(A 43- )(B 34 )(C 43± )(D 34 ± 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于（ ） A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ） 5、函数 的递增区间是( ) 6、函数) 62sin(5π +=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） ) (A ;12π - =x )(B ;0=x ) (C ;6π = x ) (D ; 3π = x 7、函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标 压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为( ) 8、函数|x tan |)x (f =的周期为( ) A. π2 B. π C. 2π D. 4π 9、锐角α，β满足 41sin sin - =-βα，43 cos cos = -βα，则=-)cos(βα（ ） A.1611- B.85 C.85- D.1611 10、已知tan(α＋β)=2 5，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ） A ．15 B ．1 4 C ．1318 D ．1322 11．sin1,cos1,tan1的大小关系是（ ） A.tan1>sin1>cos1 B.tan1>cos1>sin1 C.cos1>sin1>tan1 D.sin1>cos1>tan1 12．已知函数f (x )=f (π-x ),且当)2 ,2(ππ-∈x 时，f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则（ ） A.a 三角函数 一、基本内容串讲 本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()?ω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。 1．任意角和弧度制 从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800 ，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900 +k ·18000 ，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 2 1R 2 1S 2α== ，其中α为 弧所对圆心角的弧度数。 2．任意角的三角函数 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =α，r x cos = α，x y tan = α。 3．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = 4．三角函数的诱导公式 利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2 k +与α之间函数值的关系（k ∈Z ）， 其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。 5．三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R },2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π 2020北京各区一模数学试题分类汇编—三角函数 （2020海淀一模）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3,2 π则点M '到直线BA '的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 12 （2020西城一模）函数()24f x sin x π? ?=+ ???的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________. （2020西城一模）已知函数()sinx 12sinx f x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ） ①绕着x 轴上一点旋转180?; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称; ④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④ （2020东城一模）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋 转6π后经过点(-，则sin α=______________. （2020丰台一模）将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移 2 π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数 B. 02g π-=?? ??? C. 当5ω=时，()g x 在0, 2π??????上有3个零点 D. 若()g x 在0,5π?????? 上单调递减，则ω的最大值为9 （2020朝阳区一模）已知函数()=)(>0)f x ωx φω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=?”是“()f x 的图象关于直线3x π= 对称”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 三角函数 知识要点: 定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=, 2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为= 第二象限角的集合为= 第三象限角的集合为=_________________ 任意角 的概念 弧长与扇形 面积公式 角度制与 弧度制 同角三函数 的基本关系 任意角的 三角函数 诱导公式 三角函数的 图象和性质 计算与化简 证明恒等式 已知三角函 数值求角 和角公式倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用 三角函数知识框架图 P x y A O M T 第四象限角的集合为=___________ 终边在轴上的角的集合为=____________________ 终边在轴上的角的集合为=_________________ 终边在坐标轴上的角的集合为=__________________ 3 、 与 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为 =__________________ 4、已知 是第几象限角，确定 所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半 轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为 终边所落 在的区域． 5、弧度制与角度制的换算公式：， ， ． 6、若扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为，周长为 ，面积为，则 ， ， ． 7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦) 8、三角函数线： ， ， ．若 ，则s inx 科 目： 数学 适用年级: 高一、高二 资料名称: 新课标高中数学（必修4） 第一章三角函数（1） （基础训练）答案 一、选择题 1.C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Z π π α π παππππ+<<+∈+<<+∈ 当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2 α在第三象限； 而cos cos cos 0222α αα =-?≤，2α∴在第三象限； 2.C 00sin(1000)sin 800-=>；000cos(2200)cos(40)cos 400-=-=> tan(10)tan(310)0π-=-<；77sin cos sin 7171010,sin 0,tan 01717109tan tan 99 πππππππ-=>< 3.B 0sin1202 == 4.A 43sin 4sin ,cos ,tan 55cos 3ααααα= =-==- 5.C πααπ-=-+，若α是第四象限的角，则α-是第一象限的角，再逆时针旋转0180 6.A 32,sin 20;3,cos30;4,tan 40;sin 2cos3tan 40222 ππ ππππ<<><<<<<>< 二、填空题 1.四、三、二 当θ是第二象限角时，sin 0,cos 0θθ><；当θ是第三象限角时， sin 0,cos 0θθ<<；当θ是第四象限角时，sin 0,cos 0θθ<>； 2.② 1717sin 0,cos 01818 MP OM ππ=>=< 3.2k αβππ+=+ α与βπ+关于x 轴对称 4.2 21(82)4,440,2,4,22l S r r r r r l r α=-=-+===== 5.0158 0000020022160158,(21603606)-=-+=? 三、解答题 1. 解：21tan 31,2tan k k αα?=-=∴=±，而παπ273<<，则1tan 2,tan k αα +== 得tan 1α=，则sin cos αα==cos sin αα∴+= 2.解：cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12 x x x x x x +++===---- 3.解：原式=000sin(180)1cos tan()tan(90)tan(90)sin() x x x x x x -??---- sin 1tan tan ()sin tan tan x x x x x x =??-=- 4.解：由sin cos ,x x m +=得212sin cos ,x x m +=即21sin cos ,2 m x x -= （1）23 3313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22m m m x x x x x x m --+=+-=-= （2）2424422 2121sin cos 12sin cos 12()22m m m x x x x --+++=-=-= 必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于 ( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于 ( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是 ( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于 ( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于 ( ) A ．－π2 B ．2k π－π 2 (k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π 2(k ∈Z ) 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是 ( ) A ．－310 B.310 C ．±310 D.34 7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ? ???2x －π10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ????12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π 20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ????x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1 2的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝???? ??x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π 2，k ∈Z }．则 ( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N M D ．M ∩N ＝? 三角函数（理） 考查内容：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角的函数值、 诱导公式、函数sin()y A x ω?=+图象及其性质、两角和与差公式、 倍角公式、正余弦定理等基础知识，考查基本运算能力。 1、已知函数()??? ??+=42tan πx x f 。 （1）求()x f 的定义域与最小正周期； （2）设0,4πα? ? ∈ ???，若αα2cos 22=??? ??f ，求α的大小。 2、已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈。 （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π?? ????上的最大值和最小值； （2）若006 (),,542f x x ππ?? =∈????，求0cos 2x 的值。 3、在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===。 （1）求AB 的值； （2）求πsin 24A ?? - ???的值。 4、已知函数2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，)0,(>∈ωR x 的最小正周期是2π 。 （1）求ω的值； （2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合。 5、已知cos 410x π?? -= ???，324x ππ?? ∈ ???，。 （1）求sin x 的值； （2）求sin 23x π?? + ???的值。 6、在ABC ?中，已知2AC =，3BC =，4 cos 5A =-。 （1）求sin B 的值； （2）求sin 26B π?? + ???的值。 7、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，，R x ∈。 任意角的三角函数及诱导公式 【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600 Z k k ∈?+α． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，r l =||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值 r l 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0180弧度． % ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2 1 21r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α= cos α= tan y x α= 特别地，当2 2 1x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即 ()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向AT MP 、叫做α的余弦线、正弦线、正切线. ： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线 (1)平方关系：()2 22222sin cos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-． 三角函数数学试卷 一、 选择题1、ο 600sin 的值是（ ） )(A ;21 )(B ;23 )(C ;23- )(D ; 21 - 2、),3(y P 为α终边上一点， 53 cos = α，则=αtan （ ） )(A 43- )(B 34 )(C 43± )(D 34± 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于（ ） A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ） 5、函数 的递增区间是( ) 6、函数) 62sin(5π +=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） ) (A ;12π - =x )(B ;0=x ) (C ;6π = x ) (D ; 3π = x 7、函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标 压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为( ) 8、函数|x tan |)x (f =的周期为( ) A. π2 B. π C. 2π D. 4π 9、锐角α，β满足 41sin sin - =-βα，43 cos cos = -βα，则=-)cos(βα（ ） A.1611- B.85 C.85- D.1611 10、已知tan(α＋β)=2 5，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ） A ．15 B ．1 4 C ．1318 D ．1322 11．sin1,cos1,tan1的大小关系是（ ） A.tan1>sin1>cos1 B.tan1>cos1>sin1 C.cos1>sin1>tan1 D.sin1>cos1>tan1 12．已知函数f (x )=f (π-x ),且当)2 ,2(ππ-∈x 时，f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则（ ） A.a 4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一、教学内容分析 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学生学习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 高一数学必修4第一章三角函数单元测试 班级 姓名 座号 评分 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48 分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A C D ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ．3 π B ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos αα ααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－2316 4、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上 C ．在y 轴上 D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于 ( ) A ．3 2- B ．3 2 C ．1 2 D ． 12- 6、要得到)42sin(3π+ =x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移 4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8 π个单位 7、如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x | C ．y=－sin|x | D ．y=－|sin x | 8、化简1160-?2sin 的结果是 ( ) A ．cos160? B ．cos160-? C ．cos160±? D ．cos160±? 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25 A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π +=x y 的图象 （ ） 上海专题复习 题型二 ：三角函数复习 1.（浦东区2018年模拟11题）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已 知(2,1)m =u r ，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+r ，且m n ⊥u r r . 若227c b = ，且ABC S ?=b . 2. （崇明区2018年模拟题）已知1cos 2cos sin 32)(2 -+=x x x x f ，在ABC ?中， c b a 、、分别是角A ，B ，C 所对的边，若7=a ，3=b ，且3)2 (=A f ，求边 c . 3.（普陀区2017二模7）若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间?? ? ???2,0π上有 解，则实数m 的取值范围是 . 4. （徐汇区2017二模9）若行列式1 24 cos sin 022sin cos 8 2 2 x x x x 中元素4的代数余子式的值为1 2，则实数x 的取值集合为____________． 5.如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ） A. ::a b c B. 111 ::a b c C. sin :sin :sin A B C D. cos :cos :cos A B C 6.（奉贤区2017二模19）如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且2OA =，AOB ∠的角平分线交半圆于点C ． （1）若3=?，求cos AOC ∠的值； （2）若,,A B C 三点共线，求线段AC 的长． 7. 已知定义在(, )2 2 π π - 上的函数()f x 是奇函数，且当(0, )2 x π ∈时， tan ()tan 1 x f x x = +． （1）求()f x 在区间(, )2 2 π π - 上的解析式； （2）当实数m 为何值时，关于x 的方程()f x m =在(, )2 2 π π -有解． O C B A M N 人教A版必修4 第一章三角函数教学设计 一、教材分析 三角函数是基本初等函数，它是用来描述客观世界的周期现象，也，是刻画这种现象的重要数学模型。本章是解决实际问题的有利工具，在数学和其他领域中都具有重要的作用。学生将通过单位圆的性质，归纳、学习三角函数、图象及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用。 1. 本单元教学内容的范围 1.1 任意角和弧度制； 1.2 任意角的三角函数； 1.3 三角函数的诱导公式； 1.4三角函数的图象与性质； 1.5 函数 y = Asin(ωx+φ) 的图象； 1.6 三角函数模型的应用 本章知识结构如下: 2．本单元教学内容在模块体系中的地位与作用 本单元学习的主要内容是三角函数的定义、图象、性质及应用。 “三角函数”、“三角恒等变换”和“解三角形”构成高中“三角”知识的主 体。“三角”部分的知识是基础知识和工具性知识，三角函数是基本初等函数，学习三角函数是对函数模型的丰富、函数概念的深化。 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，是高中函数知识的重要组成部分，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本单元中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 3．本单元教学内容的特点 （1） 突出单位圆与三角函数的密切关系，体现数形结合思想的重要作用。 （2） 通过信息技术的使用，增强了对三角函数图象的直观性认识。 （3） 重视三角函数的应用，体现数学的应用价值。 （4） 提供积极思考、自主探索的空间，使学生主动地学习 。 4．本单元教学内容总体教学目标 （1） 任意角和弧度制 了解任意角的概念。 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2） 任意角的三角函数 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 理解同角三角函数的基本关系式： 1cos sin 22=+x x ，x x x tan cos sin = （3） 三角函数的诱导公式 能利用单位圆中的三角函数线推导出 απ±2，απ± 的正弦、余弦、正切 的诱导公式。 （4） 三角函数的图像和性质 能画出 x y sin =，x y cos =，x y tan = 的图像，了解三角函数的周期性。 借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π，正切函数在区间 三角函数专题 1．在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知0)sin 33(cos sin sin =+ -B B C A . （1）求角C 的大小； （2）若2=c ，且ABC ?的面积为3，求b a ,的值. 2．函数2()sin cos f x x x x =+ （1）求函数f （x ）的递增区间； （2） 当]2, 0[π∈x 时，求f （x ）的值域。 3．已知函数()2sin 22cos 16f x x x π? ?=-+- ??? . （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()11,2,2 a b c f A =+==，求ABC ?的面积. 4．已知函数()()?ω+=x A x f sin (其中20,0,0π?ω< <>>A )的周期为π，其图象上一个最高点为??? ??2,6πM . （Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）当?? ????∈4, 0πx 时，求()x f 的最值及相应的x 的值. 5．已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ABC ? 的面积 cos 2S ac B =. （1）求角B 的大小； （2）若2a =，且 43A ππ≤≤，求边c 的取值范围. 6．在ABC ?中，若28sin 2cos 272 B C A +-=． （1）求角A 的大小； （2 ）如果3a b c =+=，求ABC ?的面积． 7．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知C c A a sin cos 3=． （1）求A 的大小； （2）若6=a ，求c b +的取值范围. 8．已知函数)2||,0,0)(sin()(π?ω?ω< >>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 在区间]2 1,21[- 上的最大值与最小值. 9．已知向量()sin ,1a x =-，13cos ,2b x ? ?=- ?? ?，函数()()2f x a b a =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期T ； （2）已知,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，23,4a c ==，且()1f A =，求ABC ?的面积S ． 10．已知函数b x a x x x f ++-++=cos )6sin()6sin()(π π（R b a ∈,，且均为常数）. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在区间]0,3[π- 上单调递增，且恰好能够取到)(x f 的最小值2，试求b a ,的值. 解答题（共16小题） 1．（1）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x ，），且cosα=x，求sinα与tanα的值； （2）已知角θ的终边上有一点P（x，﹣1）（x≠0），且tanθ=﹣x，求sinθ，cosθ． 2．已知角α=45°； （1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； （2）集合，，那么两集合的关系是什 3．填写下表 4．已知α=． （1）写出所有与α终边相同的角； （2）写出在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角；（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？ 5．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 6．（2005?黑龙江）已知α为第二象限的角，，β为第一象限的角，．求tan（2α﹣β）的值． 7．（难）已知sin=，cos=﹣，试确定θ的象限． 8．把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1）﹣135°（2）． 9．已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°．（1）在上取一点P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数； （2）设f（θ）=PA+PB+PC，当θ为何值时f（θ）有最大值，最大值是多少？ 10．（2008?上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C 处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米） 11．如图所示动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向 每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q点各自走过的弧长． 任意角的三角函数及诱导公式 【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600Z k k ∈?+α． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，r l =||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值r l 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0 180弧度． ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2 1 21r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是： 22 sin y x y α= +，22 cos x x y α= +，tan y x α= 特别地，当221x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于 x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即 ()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ， 单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向线段AT MP OM 、、叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线 （数学4必修）第一章 三角函数（上）[基础训练A 组] 一、选择题 1 设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200c o s (0-；③)10tan(-；917tan cos 107sin πππ 其中符号为负的有（ ） A ① B ② C ③ D ④ 3 02120sin 等于（ ） A 23± B 23 C 23- D 21 4 已知4sin 5α= ，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A 43- B 34- C 43 D 34 5 若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角 6 4t a n 3c o s 2s i n 的值（ ） A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 不存在 二、填空题 1 设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限 2 设MP 和OM 分别是角18 17π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0< 5 与0 2002-终边相同的最小正角是_______________ 三、解答题 1 已知1tan tan αα ，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值 2 已知2tan =x ，求x x x x sin cos sin cos -+的值 3 化简：)sin()360cos() 810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --?--?-- 4 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且， 求（1）x x 3 3cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值 云阳中学高一数学必修4第一章三角函数单元测试 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A C D ．A=B=C 2、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是 （ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－2316 4、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上 C ．在y 轴上 D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于 ( ) A ．3 2- B ．3 2 C ．1 2 D ． 12- 6、要得到)42sin(3π+ =x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8 π个单位 7、如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x | C ．y=－sin|x | D ．y=－|sin x | 8、化简1160-?2sin 的结果是 ( ) A ．cos160? B ．cos160-? C ．cos160±? D ．cos160±? 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25 A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π +=x y 的图象 （ ）三角函数的图像及性质(学生版)
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