立体几何证明垂直专项知识点及练习

立体几何证明------垂直

一.复习引入

1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。

2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________.

3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行

5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

个平面相交，那么_________________________.

6.两个平面的位置关系:_________,_________.

7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两

个平面平行.

8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________.

9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行.

10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理

知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义判定

语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直

线都垂直，我们就说直线l与平面

互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.

图形

条件b为平面α内的任一直线，而l对这

一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α

结论l⊥αl⊥α

要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）

性质

语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条

直线垂直于这个平面内的所有直线

垂直于同一个平面的两条直线平行.

图形

E

D

A

条件

结论

知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二

面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）

二面角的平面角的三个特征:

ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ.

与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定

定义 判定 文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.

一个平面过另一个平面的垂线，则这

两个平面垂直 图形

结果

α∩β=l α-l-β=90o α⊥β

（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 三．常用证明垂直的方法

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用直径所对的圆周角是直角

(1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α

1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2

1

DC ，中点为PD E . 求证：AE ⊥平面PDC.

O A C

B P

.

2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ， ∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ；

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

3、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，

PC AC ⊥．

（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（3）利用勾股定理

4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1

的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥==

求证:PA ⊥平面ABCD ；

（4）利用直径所对的圆周角是直角

5、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC .

（1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；

_ D

_ C

_ B

_ A

_ P

（第2题

A

C

B

P

课堂及课后练习题：

1.判断下列命题是否正确，对的打“√”，错误的打“×”。 （1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （ ） （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （ ）

（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（ ）

2.已知直线

a,b

和平面α

，且,,a b a α⊥⊥则

b

与α

的位置关系是

________________________________________________.

3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且1

2

DF AB =

,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面；

4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形

,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,

E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面;

5.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠

PBC =90 o 证明：AB ⊥PC

C

A

D

B

O

E

6.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

7.如图，四棱锥S ABCD -中，BC AB ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．证明：SD SAB ⊥平面;

8.如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC ;

课堂及课后练习题答案： 1

（1） √ （2） √ （3）√ 2.b//b αα?或者 3.

证明：因为PH 为PAD ?中AD 边上的高，所以PH AD ⊥，又因为AB PAD ⊥平面，所以AB PH ⊥，

=AB AD A I ，所以PH ABCD ⊥平面

4.分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC ，从而BE PDC ⊥平面 .

5.证明：因为PAB ?是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=?, 所以Rt PBC Rt PAC ???,可得AC BC =。 如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,

所以AB PC ⊥。 6.（1）证明：连结OC

,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥Q 在AOC ?中，由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC =

222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥

,BD OC O =Q I AO ∴⊥平面BCD

7.

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为

矩形，DE=CB=2，连结SE ，则, 3.SE AB SE ⊥=

又SD=1，故222

ED SE SD =+，

所以DSE ∠为直角。

由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=I ， 得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。