高等飞行动力学试题解答

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目录

1.请推导飞机小扰动运动方程，并分析其使用条件。 (2)

2.什么是驾驶员操纵期望参数，分析其含义。 (13)

3.请列写敏捷性尺度并对其含义进行分析说明。 (14)

4.试说明评估飞机飞行性能的基本内容和基本方法。 (18)

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1.请推导飞机小扰动运动方程，并分析其使用条件。

一、小扰动法简介

（1）基本概念

研究飞行器的稳定性和操纵性问题时，一般把飞机运动分为基准

运动和扰动运动。基准运动（或称未扰动运动）是指在理想条件下，

飞行器不受任何外界干扰，按预定规律进行的运动，如定直平飞、定常盘旋等。基准运动参数用下标“*”表示，如

V、*α、*θ等。

*

由于各种干扰因素，使飞行器的运动参数偏离了基准运动参数，

因而运动不按预定的规律进行，这种运动称为扰动运动。受扰运动的参数，不附加任何特殊标记，例如V、α、θ等。与基准运动差别甚小的扰动运动称为小扰动运动。

（2）基本假设

在小扰动假设条件下，一般情况就能将飞行器运动方程进行线性

化。但为了便于将线性扰动运动方程组分离为彼此独立的两组，即纵

向和横侧小扰动方程组，以减少方程组阶次而解析求解，还需要做下

列假设：

1）飞行器具有对称平面（气动外形和质量分布均对称），且略去机体内转动部件的陀螺力矩效应。

2）在基准运动中，对称平面处于铅垂位置（即0

φ=），且运动所在平

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面且运动所在平面与飞行器对称平面相重合（即0β=）。

在满足上述条件下，可以认为，在扰动运动中，纵向气动力和力矩只与纵向运动参数有关，而横侧向气动力和力矩也只与横侧运动参数有关。有了这些推论，就不难证明扰动运动方程可以分离为彼此独立的两组。其中一组只包含纵向参数，即飞行器在铅垂平面内作对称飞行时的运动参数,,,,,,,,,g g e p u w q x z αθγδδ等，称为纵向扰动运动方程组；另一组只包含横侧参数，即飞行器在非对称平面内的运动参数

,,,,,,,,,,g a r v p r y βψχφμδδ等，称为横侧向扰动运动方程组。

（3）线性化方法

飞行器的任何一个运动方程可以表示成如下的一般形式：

()12,,,0n f x x x = （1.1）

式中变量(1,2,...,)i x i n =可以是运动参数或它们的导数。根据前述，运动参数可以表示成基准运动参数*i x 和偏离量i x ?之和：

*i i i x x x =+?

于是方程式（1.1）可写成

()1*12*2*,,,0n n f x x x x x x +?+?+?= （1.2）

在基准点()1*2**,,,n x x x 处展开成Taylor 级数，并根据小扰动假设，略去二阶及以上各阶小量，得到

()1*2**1212***

,,,...0n n n f f f f x x x x x x x x x ?????????+?+?++?=

? ? ?????????? （1.3） 显然，基准运动也应满足运动方程式（1.1），即

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()1*2**,,,0n f x x x = （1.4）

将式（1.3）减去式（1.4），得到

12

12***

...0n n f f f x x x x x x ??????

????+?++?= ? ? ?????????? （1.5） 这是由非线性方程式（1.1）简化得到的一个线性化方程，或称线性化

小扰动方程。方程中12,,...,n x x x ???为变量。*

(1,2,...,)i f i n x ??

?= ????为由基准运

动状态确定的导数，一般是通过理论或实验的方法已经确定的物理量。 二、外力和外力矩的线性化

在线性化运动方程过程中，会遇到扰动运动相对基准运动的力和力矩附加偏量。这些偏量可根据其与飞行器运动参数的关系，在小扰动条件下，用线性关系来表示。

设某个力或力矩A 是若干个变量的函数，即

12(,,...,)n A A x x x =

一般来说，A 的偏量应为

12

12***

...n n A A A A x x x x x x ??????????=?+?++? ? ? ?????????? 或写成

1212...n x x x n A A x A x A x ?=?+?++? （1.6）

式中的偏导数均由基准运动状态确定，即

1*2**(,,...,)i x n i i A A A x x x x x ????==

?????

(1,2,...,i n = （1.7）

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（1）力和力矩线性表达式

关于外力偏量的线性表达式，由已有知识可知，发动机推力T 可表示成

(,,)p T T V H δ=

因此其偏量为

p V H p T T V T H T δδ?=?+?+? （1.8）

式中p δ代表油门杆位置，不同油门杆位置对应发动机的不同转速，故

p p T δδ?代表油门杆位置变化所引起的推力变化量。实际上由油门杆位置

变化到推力变化有时间延迟，此处暂未考虑。

飞行器阻力D 特性可表示为

(,,,,)e D D V H αβδ=

并利用前面假设，横侧扰动参数对纵向气动力的影响可以忽略，即

*

0D D ββ???== ????，则其偏量为

e V H e D D V D H D D αδαδ?=?+?+?+? （1.9）

飞行器升力L 特性，同样利用前面的假设；为完整起见，还引入

了迎角变化率α

和俯仰角速度q 的影响因素，得出其偏量表达式为 e V H e q L L V L H L L L L q αδααδα

?=?+?+?+?+?+? （1.10） 飞行器侧力C 特性可表示为

(,,,,,)r C C V H p r βδ=

利用前面的假设，纵向扰动参数对横侧气动力的影响可以忽略，即

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**

0,0V H C C C C V H ??????==== ? ???????，则其偏量为

r p r r C C C p C r C βδβδ?=?+?+?+? （1.11）

关于外力矩偏量的线性表达式，在了解影响各气动力矩后，并考虑了前面的假设纵向扰动只影响纵向力矩，横侧向扰动只影响横侧向扰动力矩，于是其偏量表达式可写成

a r e a r p r a r

V H q e p r a r L L L p L r L L M M V M H M M M q M N N N p N r N N βδδααδβδδβδδαα

δβδδ?

?=?+?+?+?+???

?=?+?+?+?+?+???

?=?+?+?+?+??? （1.12） （2）各类力和力矩导数 1）对速度的导数

,,,V V V V T D L M

2）对高度的导数

,,,H H H H T D L M

3）对角度的导数

纵向部分有：,,,,,e

e e

D L M D L M αααδδδ

横侧向部分有：,,,,,,,r

r

r

a

a

C L N C L N L N βββδδδδδ

4）对角速度的导数 纵向部分有：,,,q q L M L M αα 横侧向部分有：,,,,,p p p r r r C L N C L N 三、未线性化的飞机运动方程

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（1）航迹坐标系中质心动力学方程

()()()()()cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos dV m

T D mg dt

d mV T C L dt d mV T C L mg dt α?βγχγα?μα?βμμμγα?μα?βμμμγ?

=+--??

?

=+-+++??????

?-=-+-++-+??????（1.13）

（2）机体坐标系中绕质心转动的动力学方程

()()()()22x

z y zx y x z zx z y x dp dr I I I qr I pq L dt dt dq I I I rp I p r M dt dr I I I pq N dt ??

?+--+= ??????+---=???+-=?? （1.14） （3）飞行器质心运动学方程

cos cos cos sin sin g g g dx V dt dy V dt dz V dt

γχγχγ?

=?

??

=???

=-?

?

（1.15）

（4）飞行器绕质心转动运动学方程

()()tan sin cos cos sin 1sin cos cos d p q r dt

d q r dt d q r dx φθφφθφφψφφθ?=++??

?=-???

=+??

（1.16） 四、飞机运动方程的线性化

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按习惯，研究飞行器的稳定性和操纵性所用的小扰动线性化方程常选用两种坐标体系的方程组形式。其中质心运动中的升力和阻力方程在风轴系（在对称定直飞行情况下也就是航迹坐标系）上建立；而质心运动中侧力方程和绕质心运动中的力矩方程均在机体轴系中建立。由于在两种坐标系中所得出的俯仰力矩方程是相同的，因此可以这样说，纵向小扰动运动方程是相对风轴系的，而横侧小扰动运动方程是相对体轴系的。下面就具体线性化这些方程。 （1）质心动力学方程的线性化

首先对阻力方程，即式（1.13）中的第一式进行线性化。按线性化的一般公式（1.5）处理并注意m 和?是常数，则有

()()()*********cos cos sin cos cos sin cos d V

m

T T dt T D mg α?βα?βαα?ββγγ?=?+-+?-+?-?-? 利用小扰动法的假设，其基准状态*0β=，且把T ?和D ?表达式（1.8）、（1.9）代入，得到

()

()()()

****cos sin cos p e V H p V

H

e d V

m

T V T H T T dt D V D

H D D mg δαδδα?α?ααδγγ

?=?+?+?+-+?-?+?+?+?-? （1.17）

用同样的方法对升力方程，即式（1.13）中的第三式进行线性化。利用假设，考虑到****

0,0,0,0,d C dt γβμ??

====

??? 并将T ?和L ?的表达式即式（1.8）、式（1.10）代入，最后得到

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()

()()(

)

*

****sin cos sin p e V H p V H q e d mV T V T H T T dt L V L H L L L q L mg δααδγ

δα?α?ααα

δγγ?=?+?+?+++?+?+?+?+?+?+?+? （1.18）

对侧力方程进行线性化，即式（1.13）中的第二式进行线性化，有

**************sin cos cos sin sin sin cos cos dv m r u u r p w w p D D dt C C mg mg ββββββφθθφθφ

??

+?+?-?-?=-?-?+

???

?-?-?+? 利用假设，*****0,0,p r C βφ=====于是上式为

****cos d V m u r w p D C mg dt βθφ???+?-?=-?+?+? ???

再利用关系式

cos cos sin sin cos u V v V w V αββαβ=?

?

=??=?

和其对时间的导数式

cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin du dV d d V V dt dt dt dt

dv dV d V dt dt dt dw dV d d V V dt dt dt dt αβαβαβαββββαβαβαβαβ?=--??

?=+???=+-??

有

******,,d V d V u V w V dt dt

β

α?=== 并将C ?的表达式（1.11）代入，最后得

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()

*

*****cos r p r r d mV mV r mV p dt

D C C p C r C mg βδβ

αββδθφ

?+?-?=-?+?+?+?+?+? （1.19）

（2）绕质心转动动力学方程的线性化

首先将倾斜力矩方程，即式（1.14）中第一式进行线性化，注意到惯性矩,,x y z I I I 和惯性积zx I 为常数，有

()()****x

z y zx d p d r I I I q r r q I p q q p L dt dt ???

?+-?+?-?+?+=? ??

? 则用假设***0p q r ===，并将倾斜力矩增量L ?的表达式（1.12）中第一式代入，最后得

a r x

zx p r a r d p d r I I L L p L r L L dt dt

βδδβδδ??-=?+?+?+?+? （1.20） 同样，对俯仰力矩和偏航力矩方程进行线性化，即对式（1.14）中第二、三式线性化，并利用同样的假设，结果为

e y

V H q e d q

I M V M H M M M q M dt ααδαα

δ?=?+?+?+?+?+? （1.21） a r z zx p r a r d r d p I I N N p N r N N dt dt βδδβδδ??-=?+?+?+?+? （1.22） （3）质心运动学方程的线性化

首先对运动学方程式（1.15）中第一式线性化，有

********cos cos sin cos cos sin g d x V V V dt

γχγχγγχχ?=?-?-?

由于*0χ=，所以

***cos sin g d x V V dt

γγγ?=?-? （1.23）

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同样地对运动方程式（1.15）第二、三式线性化，结果为

**cos g d y V dt γχ?=? （1.24）

***sin cos g d z d H

V V dt

dt

γγγ??=-

=-?-? （1.25） （4）绕质心转动运动学方程的线性化

首先对运动学方程式（1.16）中第一式线性化，有

()()()

***********sin cos tan tan sin cos cos sin d p q r dt q q r r φ

φφθθφφφφφφ?=?++?+?+?+?-? 利用假设****0,0p q r φ====最后得

*tan d p r dt

φ

θ?=?+? （1.26） 同样地对运动方程式（1.16）中第二、三式线性化，结果为

d q dt

θ

?=? （1.27） *

1

cos d r dt ψθ?=? （1.28） （5）几何关系方程的线性化

首先对几何关系方程式

()(){}

sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos /cos αθφψχφψχγγφθβ=-+--????

进行线性化，有

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()(){}

()()()()()()****2*

*****************cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 1

{sin cos cos sin sin sin cos cos cos [cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin ααθφψχφψχγγφθββθφψχφψχγγββγθφψχθθφψχφθφψχψχφψ?=-+--?????+--+-?+????-?--?--?-?+ ()()()*************sin cos ]cos cos cos sin sin cos sin cos sin }

χφφψχψχγφθγγφθφγφθθ-?+-?-?-

?+?+?

利用假设条件，****0,βφψχ====可改写成

()()()()

***************cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos ααθγγγθθγθγγθθθγθγγθθγθγθγ?=-?+?-?+?=?-?+?-?=-?-?

由于***θγα-=，最后上式为

αθγ?=?-? （1.29）

类似地，几何关系方程式

()()sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos βθφψχφψχγγφθ=----????

的线性化结果为

()**cos sin βγψχαφ?=?-?+? （1.30）

几何关系式

()sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos /cos μθαβφθαβφθβγ=-+

的线性化结果为

*

**

cos tan cos θμγβφγ?=?+

? （1.31） 仔细观察所得到的线性化方程，就能发现这些方程可以划分成互相独立的两组。

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方程式（1.17）、（1.18）、（1.21）、（1.23）、（1.25）、（1.27）和（1.29）只包含纵向扰动运动变量(),,,,,,,,g g e p V x z H q γαθδδ??????????，故由这些方程组成的方程组称为纵向小扰动运动方程组。

方程式（1.19）、（1.20）、（1.22）、（1.24）、（1.26）、（1.28）、（1.30）和（1.31）只包含横侧扰动运动变量,,,,,,,,,g a r p r y βφψχμδδ??????????，故由这些方程组成的方程组称为横侧小扰动运动方程组。

2.什么是驾驶员操纵期望参数，分析其含义。

解答：

考虑到常规飞机的操纵特点，轨迹的操纵是通过姿态操纵实现的；因为飞机的初始角加速度最容易被驾驶员通过内耳感觉到，驾驶员一般根据最初的俯仰角加速度大小判断可能达到的过载稳态值（即改变轨迹的能力），所以，用初始角加速度与稳态过载增量之比衡量驾驶员对操纵效果的推测（即期望）的准确程度，定义

()()

0n CAP n θ=

∞

若CAP 太小，驾驶员觉得飞机俯仰反应迟钝，因此将习惯地加大俯仰操纵直到有足够明显的感觉，结果造成过大的稳态过载；反之，若CAP 太大，驾驶员感觉初始反应太突然、太灵敏，因而习惯性地减小俯仰操纵，结果造成实际所能达到的过载稳态值不足。因此，为了保证飞

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机具有良好的动态操纵品质，必须要求CAP 适中。

3.请列写敏捷性尺度并对其含义进行分析说明。

解答：

按时间尺度，敏捷性大致分成三类：瞬态敏捷性、功能敏捷性和敏捷性潜力。按飞机运动形式，敏捷性可以分为轴向敏捷性、纵向（俯仰）敏捷性和横滚（横向）敏捷性。 一、瞬态敏捷性尺度

瞬态敏捷性反应机动状态转换的快速性。它表示飞机产生可控角运动或最大、最小单位剩余功率之间快速转换的能力。其用时间量度一般为1~5秒的量级。 （1）横向敏捷性

横向敏捷性主要反映飞机转动机动平面的快慢，以达到指向射击的目标。在无侧滑条件下，飞机的机动平面与纵向对称平面相重合。下面是衡量这类敏捷性的参数。

.90RC t ：以飞机滚转且截获090所需时间来表示；

LA ：以.90RC t 的倒数来表示，称为横向敏捷性尺度；

TA ：用飞机转弯速率除以.90RC t 来衡量飞机带过载情况下的滚转性能，称为扭转敏捷性尺度。它反映飞机转弯能力和滚转能力的协调性。

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（2）纵向（俯仰）敏捷性

纵向（俯仰）敏捷性是反映飞机迅速获得过载（迎角）和减小过载（迎角）的能力。衡量这类能力可以用下面的尺度表示。

max g t 和unload t ：分别表示加载到最大过载所需时间和从最大过载卸载到零

所需时间；

max.n

+ 和max.n - ：分别表示正和负的最大过载速率； max.q +和max.q -：分别表示以平尾的最大权限作上仰和下俯机动中的最大

俯仰速率。显然max g t 反映了飞机改变姿态快慢的能力，即机头指向快慢的能力；unload t 则反映了飞机恢复姿态快慢的能力和恢复能量的能力，这是在空战中反映机头能否快速指向并首先击中敌机的一种度量。 （3）轴向敏捷性

轴向敏捷性是反映在飞机状态转换过程中，发动机推力增强的快慢和减速装置收放过程中阻力瞬态变化的能力。通常用两个沿着速度方向的单位剩余功率变化率衡量。

功率剧增参数POP ：表示单位剩余功率从最小推力/最大阻力状态到最大推力/最小阻力状态的增量与完成此过程所需时间之比。

功率消散参数PLP ：表示从最大SEP 状态转换到最小SEP 状态的过程。其表达式类似于POP 。

很明显，这两个参数实质上是体现了飞机加速度和减速度的能力，反应水平攻击敌机时，能量积聚幅度；回避敌机时，能量损失幅度。

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同时这两个参数也反映出在一次攻击后，飞机恢复能量的快慢程度。

二、功能敏捷性尺度

（1）轴向

常用典型的空战阶段来衡量。

空战周期时间CCT：指完成空战周期所用的总时间。

动态速度转弯图DST：反映瞬时飞机能量的变化的尺度。

相对能量状态RES：是指飞机完成0

180水平转弯过程中的速度V与角点速度V c之比。为了保证飞机空战中具有高转弯速率的多次攻击能力，通常要求转弯速度在角点速度附近，即V/V c接近1，否则能量损失太大，恢复能量时间长，不易再次进入攻击。

（2）纵向

常用指向裕度作为衡量尺度。

指向裕度PM：是指两机同时开始做同样过载的水平转弯或垂直拉升机动时，当其中一机已指向对方的瞬间，对方机头与瞄准线的夹角。这表示一机已开火时，对方机还需要转动多少角度才能指向该机。它反映了飞机先于发射的能力，是实战中赢得空战优势的重要条件。（3）横向

常用反向滚转敏捷性参数作为尺度。

反向滚转敏捷性参数Td a：其中T表示以固定过载做某个方向转弯（如倾斜角为900右转弯）转换到相反方向转弯（如倾斜角为-900左转弯）

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所需时间；d a 表示完成上述过程的驾驶杆横向位移，则T 和d a 的乘积值越小，表示敏捷性越好。 三、敏捷性潜力

敏捷性潜力与时间尺度无关，而是用气动、构型参数来表达敏捷性潜力的大小，常用各轴向的敏捷性准则来表示。 （1）横向敏捷性准则

用操纵面偏转引起的滚转力矩导数与绕Ox 轴的惯性矩之比来表示，即

/a l a x C qSb I δδ

显然，此值（绝对值）越大越好。 （2）纵向敏捷性准则

类似地用操纵面偏转引起的俯仰力矩导数与绕Oy 轴惯性矩之比表示，即

/e m e y C qSb I δδ

（3）轴向敏捷性准则

常用飞机的推重比除以翼载来表示。

很明显，在计算上述介绍的敏捷性尺度时，由于涉及到状态动态变化过程，飞机的运动必须作为刚体运动处理，既要考虑质心移动，还要考虑飞机绕质心转动。而计算飞机机动性指标时，常把飞机作为一个质点处理。

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4.试说明评估飞机飞行性能的基本内容和基本方法。

解答：

这里不讨论飞机的机动飞行性能，只给出飞机最基本的一些定常

或非定常直线运动的性能。按不同的飞行状态，飞机的飞行性能包括

平飞性能、上升/下滑性能、续航性能和起落性能。

一、平飞性能

飞机平飞运动中最常见的一种运动是等速水平直线飞行，由于运

动中飞机运动参数均不随时间变化，故又称定常平飞运动。飞机平飞

性能的好坏通常用飞机最大平飞速度V ma x、最小平飞速度V min和可能平

飞的速度范围来评价。

二、上升、下滑性能

定直上升性能通常用上升角γ、上升率V v、升限H max、上升时间

t c和上升水平距离R c来评价。

三、续航性能

飞机的续航性能包括航程和航时两个方面。它涉及到飞机能够飞

得多远、多久的问题。对于军用飞机而言，航程远表示飞机活动范围

大，远程作战能力强，可以直接威胁敌人的深远后方；航时久表示飞

机留空时间长，既便于空中机动，又能减少出动架次。因此续航性能

是飞机重要战术技术性能，也是评价飞机性能好坏的主要指标之一。

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对于民用机而言，航程和航时则影响运输的经济效益，更具有重要意义。

航程R是指飞机携带有效装载，在标准大气和无风情况下，沿预定航线飞行，耗尽其可用燃油量所经过的水平距离。带有可投放副油箱时，副油箱内燃油耗尽后应投掉。

航时t是指与航程同样条件下，耗尽可用燃油量所能飞行的时间。

四、起落性能

起飞和着陆是实现一次完整飞行必须经历的两个阶段，因此，飞机除了应有良好的空中飞行性能外，还应具有良好的起飞和着陆性能，否则也会给飞行安全和实际使用方面带来问题。

飞机的起落性能主要包括：起飞距离、起飞时间和离地速度；着陆距离、着陆时间和接地速度。起飞和着陆的长短涉及到对机场范围大小的要求。离地速度太高会导致飞机起飞滑跑距离增加。接地速度太高会导致着陆滑跑距离增加，还对着陆安全和起落架受载带来不利影响。可见起落性能是飞机的主要战术技术性能指标之一。特别是现代飞机飞行速度快、翼载的增大，使得飞机的起落距离和接地速度大大增加，起落性能趋于恶化。因此研究和改善高速飞机的起落性能更有重大意义。

飞机从起飞滑跑开始，上升到机场上空的安全高度，这一加速运动过程称为起飞。它所经过的水平距离和所需时间称为起飞距离和起

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飞时间。安全高度应根据机场周围的障碍物来选取，我国定为15m（对于军机定为25m）。