七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第八讲 二次根式的性质和运算(含答案)
第八讲二次根式的性质和运算趣题引路】
甲、乙两人同时解根式方程7
，抄题时，甲错抄成7，结果解得其
根为
12
7，结果解得其根为13.已知两人除错抄外，解题过程都是正确的.a、
b、d均为整数，试求a、b的值.
解答如下：将x=
12
7
=
7
，两边平方得49
a b
++=
可知为非负整
数，也为非负整数；将x=13
代
入7类似
可得49a d
-+=
，得到
及.因此12-a和13+a均为完全平方数且-13≤a≤12，故a=12或a=-4或a=-13，因此b=37或b=-3或b=-8.
将错就错，倒求a，b！要求你对二次根式的性质和运算相当熟练，下面我们将深入学习这一内容.
知识拓展】
1.二次根式的性质和运算法则
（
1）2(0)
a a
=≥
（
2
(0)
(0)
a a
a
a a
≥
?
=?
-<
?
（
3
0,0,0)
0)
n
a b a b
a
≥≥≥>
=≥
2.二次根式的化简
（1）主要思路是有理化.分母有理化和分子有理化是两种基本转换技能.
（2）复合二次根式的化简通常有三种途径
①平方法
②配方法
③待定系数法
3.二次根式的大小比较
主要途径有：平方法；求商法；有理化法；几何作图法等.
一、二次根式的化简求值技巧
二次根式的求值问题可归结为几种模式： 1.化成1
x a x
+
=模式 例1（2001 年河北省竞赛题）已知
：2=，那
么
的值等于 .
解析：利用两边平方法将已知式变成12x x +=，同时变换待求式，使之出现1
x x +部分，整体代入求值.
解
2=两边平方并整理得1
2x x
+
=.则： 原式
11==.
2.化成20ax bx c ++=模式
例2 （2001年天津竞赛题）计算
.
2001200019991)1)1)2001--+= .
解析：前三项可提取公因数20011)，为方便，可换元求值： 解 设
x 1，则x -
1 2220x x --=
20012000199919992222001
(22)2001
2001x x x x x x =--+=--+=原式
3
.
例3（2002
解析：
设法把2
写成某个数的平方，采取添项拆项法：
2
21112(411)222??+=+=+=?
?
+
=
=
==解 原式 点评
本题另解：设A ，两边平方，得2=6A
，故A
4.因式分解法
例4（2002
解析：直接分母有理化有困难，设法将分母分解因式.
==解 原式
5.分母有理化：这是根式运算的常见方法，而寻找有理化因式和巧妙运用乘法公式又是分母有理化的关键.
例5
+
10099+99解析
不难知原式中的第k 项是：
==
=-
故本题可用裂项求和的方法求解.
(
999
10
=-+-++
+=
解 原式
6.利用二次根式的非负性解题
例6 若
m
m 的值. 解析 由x -199+y ≥0，199-x -y ≥0知 x +y -199=0 ∴ x +y =199
.
0,= ① ∴352=023=0x y m x y m +--??+-?
③ ②
③×2-②得x+y=m -2 ∴m =x +y +2=201.
二、二次根式的大小比较 1.作商法：若
a
b
<1，则a 0，b >0） 例7 （2002
年希望杯初二）已知a b c ==
=
，其中m >0，那么a ，b ，c 的大小关
系是（ ）
A. a>b>c B . c>a>b C. a>c>b D .b>c>a
解析
33(1,2(a a b b =>∴> ∵(
)(
)()1332233<++++=
m m m m c b ）（，∴b a <，()()
1322333>++=m
m
c a ，∴c a > ∴a>c>b ，选C.
2.平方法：若a >
b >0，则a 2>
b 2；反之亦成立（a
>0，b >0）
.
例8
设a b c ==，则a ，b ，c 间的大小关系是 . 解析 因为1003
+997=2000，
1001+999=2000
，2×1000=2000，所以可采用平方法. 21003997
20002000
a =+
=+
=+解
2100199920002000
b =+=+=+
241000
2000c =?=+
∴a2 3.分子有理化 例9 已知a=b=7，c=.则a，b，c的大小关系是 . 解析若采用平方法很难分清它们的大小关系，此题的特征在于2-2 22221 =-=-=，这就启发我们采用分子有理化的方法，然后比较分母的大小. 解：1997 a= b=，c== > ∴a>b>c. 点评：对于形如222 -= ((( 2 (-，就可采用分子有理化的方法来比较. 好题妙解】 佳题新题品味 例1 设a、b、c为有理数，且等式a+成立，则2a+999b+1001c的值是（） A.1999 B.2000 C.2001 D.不能确定 解析先将复合二次根式化简，再利用实数的性质求解. + 解 526 ∴+，∴a=0，b=1，c=1， a ∴2a+999b+1001c=0+999+1001=2000.故选B. 例2 正数m、n满43 +=的值. m n 解析. 解原方程变形为：43 +-= m n 2301)0 --== 3 + 1 -（舍去） . 3 +时， 原式 3851 320022005401 -- ===- + 例 3 解析31，30，29，28是四个连续正整数，而四个连续正整数的积与1之和是一个完全平方数. 解设t=30 ，原式 = = = =21 t t =--=302-30-1=869. 例4 细心观察图 8-1，认真分析各式，然后解答问题 1 2 2 2 2 3 12= 2 13 14 S S S += += += 图8-1 1 A 2 A1 ??? （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的长； （3）求出S12+S22+ S3 2+…+ S102的值. 解析本题考察归纳、类比能力.注意第n个式子与式子中数字的关系，不变的数有1和分母里的 2，变的是根号下的数. 解（ 1）通过类比，可推知211 n +=+这时1 n S= （2）123 10 1,2,3,, OA OA OA OA === ∴= （3）222212310S S S S ++++ 222210( )()()22155(123) 4041= =++++ +++=+ 中考真题欣赏 例1 （2002年广西壮族自治区桂林）观察下列分母有理化的计算： = =，从计算结果中找 出规律，并利用这一规律计算： + + 1) = . 解析 分母有理化，正负项相消可得. 解 原式20021)=+ 1)20021 2001 ==-= 点评：观察、分析，归纳方法：拆项相消. 例2（武汉市2003年中考题）若b <0 的结果是（ ） A . - B . C . - D . 解析 由被开方数非负-ab 2≥0及b <0得a ≥0. b ===-.选C . 例3（杭州市2003 年中考题）解方程组512 x y =+=?? 解析 思考方向：将无理方程化为有理方程，两边平方太复杂，考虑换元. 解 u v ==，则解原方程组等价于解方程组 22 513u v u v +=??+ =? 解得1123u v =??=?或223 2u v =??=? 由 23==，解得11210x y =??=?； 由3 2= ，解得2275x y =??=? 经检验它们都是原方程组的解. 例1（2003年全国初中联赛题） A . 5- B . 1 C . 5 D . 1 解析 复合二次根式的化简，将被开方数写成a 2的形式 解 原式1)(31==+-= 选D . 例2（2003年山东竞赛题）已知-1 得 .