数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．在ABC ?中，90,BAC AB AC ∠=?=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C

重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ?，使90DAF ∠=?，连接CF ． （1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为__________；

②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ???）

（2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； （3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ?沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,22CD BC AC ==CE 的长．（提示：做

AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）

【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）32【解析】 【分析】

（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，

ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出

3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题． 【详解】

（1）①正方形ADEF 中，AD AF = ∵90BAC DAF ==?∠∠

∴BAD CAF ∠=∠ 在△DAB 与△FAC 中

AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴()DAB FAC SAS △≌△ ∴B ACF ∠=∠

∴90ACB ACF +=?∠∠ ，即BC CF ⊥ ； ②∵DAB FAC △≌△ ∴=CF BD ∵BC BD CD =+ ∴BC CF CD =+

（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC 证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形 ∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF

在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴△DAB ≌△FAC （SAS ） ∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45° ∴∠ABD ＝180°－45°＝135° ∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°

∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°， ∴CF ⊥BC

∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ∴DC ＝CF ＋BC

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ， ∵90BAC ∠=?

，AB AV ==

∴1

422

BC AH BH CH BC =====

=， ∴1

14

CD BC =

= ∴3DH CH CD =+= ∵四边形ADEF 是正方形 ∴90AD DE ADE ==?，∠

∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，， ∴四边形CMEN 是矩形 ∴NE CM EM CN ==，

∵90AHD ADC EMD ===?∠∠∠

∴90ADH EDM EDM DEM +=+=?∠∠∠∠ ∴

ADH DEM =∠∠ 在△ADH 和△DEM 中

ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ADH DEM △≌△

∴32EM DH DM AH ====， ∴3CM EM == ∴2232CE EM CM =

-=

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．

2．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.

（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD

（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB +

1

2

BC +CD .

【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；

（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；

（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；

（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=1

2

BC ，即可得出结论． 【详解】

（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠FAE ， 在△ABE 和△AFE 中，

AB AF BAE FAE AE AE ?

∠??

∠??＝＝＝， ∴△ABE ≌△AFE （SAS ）， （2）∵△ABE ≌△AFE ， ∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ， ∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE ， ∴FE=CE ，

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠DEF=∠DEC ，

在△DEF 和△DEC 中，

FE CE DEF DEC DE DE ?

∠??

∠??＝＝＝， ∴△DEF ≌△DEC （SAS ）， ∴DF=DC ， ∵AD=AF+DF ， ∴AD=AB+CD ；

（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE=

1

2

BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ）， △DEG ≌△DEC （SAS ），

∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ， ∵BE=CE ， ∴FE=GE ，

∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°， ∴∠AEF+∠GED=60°， ∴∠GEF=60°， ∴△EFG 是等边三角形， （2）∵△EFG 是等边三角形， ∴GF=EF=BE=

1

2BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+1

2

BC ． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

3．如图，Rt △ABC ≌Rt △CED （∠ACB ＝∠CDE ＝90°），点D 在BC 上，AB 与CE 相交于点F (1) 如图1，直接写出AB 与CE 的位置关系

(2) 如图2，连接AD 交CE 于点G ，在BC 的延长线上截取CH ＝DB ，射线HG 交AB 于K ，求证：HK ＝BK

【答案】（1）AB ⊥CE ；（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）由全等可得∠ECD=∠A ，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB ⊥CE. （2）延长HK 于DE 交于H ，易得△ACD 为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE ，然后证明△DGH ≌△DGE ，所以∠H=∠E ，则∠H=∠B ，可得HK=BK. 【详解】

解：（1）∵Rt △ABC ≌Rt △CED ，

∴∠ECD=∠A ，∠B=∠E ，BC=DE ，AC=CD ∵∠B+∠A=90° ∴∠B+ECD=90° ∴∠BFC=90°，∴AB ⊥CE

（2）在Rt △ACD 中，AC=CD ，∴∠ADC=45°， 又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45° ∵CH ＝DB ，∴CH+CD=DB+CD ，即HD=BC ， ∴DH=DE ，

在△DGH 和△DGE 中，

DH=DE HDG=EDG=45DG=DG ??

∠∠???

∴△DGH ≌△DGE （SAS ） ∴∠H=∠E 又∵∠B=∠E ∴∠H=∠B ， ∴HK=BK 【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.

4．如图（1），在ABC 中，90A ∠=?，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，

F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=?．

（1）求证：DEF为等腰直角三角形；

（2）若ABC的面积为7，求四边形AEDF的面积；

（3）如图（2），如果点E运动到AB的延长线上时，点F在射线CA上且保持

∠=?，DEF还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

90

EDF

【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形；

（2）由题意分析可得S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；

（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.

【详解】

解：（1）证明：如图①，连接AD.

∵∠BAC=90?,AB=AC,点D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD，

∴∠1=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴ΔDE F为等腰直角三角形.

（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，

又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴△ADE≌△CDF，

∴S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，

∴ S?ABC=2 S四边形AEDF,

∴S四边形AEDF=3.5 .

（3）是.如图②，连接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC,AD=BD ，

∴∠1=45°，

∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，

∴∠DAF=∠DBE，

∵∠EDF=90°，

∴∠3+∠4=90°，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4,

在△BDE和△ADF中，∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴△DEF为等腰直角三角形.

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

5．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为

t(s).

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请

（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由见解析；

（3）存在；

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

．

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ；

（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（3）分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】

解：（1）如图（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：

当t=1时，AP=BQ=1，

∴BP=AC=3，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：

由（1）可知△ACP≌△BPQ

∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

（3）如图（2），分两种情况讨论：

当AC=BP ，AP=BQ 时，△ACP ≌△BPQ ，则

34t

t xt =-??

=?

， 解得11t x =??=?

，

当AC=BQ ，AP=BP 时，△ACP ≌△BQP ，则，

34xt t t =??

=-?

解得232t x =???=??

综上所述，存在11t x =??=?或2

32t x =??

?=??

使得△ACP 与△BPQ 全等．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键．

二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

6．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ． （1）求∠CAM 的度数；

（2）若点D 在线段AM 上时，求证：△ADC ≌△BEC ；

（3）当动D 在直线．．AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断∠AOB 是否为定值？并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°． 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，由等式的性质就可以∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；

（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出△ACD ≌△BCE 而有∠CBE ＝∠CAD ＝30°而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出△ACD ≌△BCE 同样可以得出结论． 【详解】

（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°． ∵线段AM 为BC 边上的中线，∴∠CAM 1

2

=∠BAC ，∴∠CAM ＝∠BAM ＝30°． （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角

形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠DCB ＝∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．

在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；

（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：

①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．

∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即

11603022

BAM BAC ∠∠==??=?，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．

②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角

形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．

在△ACD和△BCE中，∵

AC BC

ACD BCE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝30°．

由（1）得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

③当点D在线段MA的延长线上时．

∵△ABC与△DEC都是等边三角

形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵

AC BC

ACD BCE

CD CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．

由（1）

得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

7．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1

2

BC，点D为BC的中点，AB =DE，BE∥AC．

（1）求证：△ABC≌△DEB；

（2）连结AD、AE、CE，如图2．

①求证：CE是∠ACB的角平分线；

②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】

【分析】

（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=1

2

BC，D是BC中点可得AC=BD，利用

HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.

【详解】

（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC

∴∠CBE=90°

∴△ABC和△DEB都是直角三角形

∵AC=1

2

BC，点D为BC的中点

∴AC=BD

又∵AB=DE

∴△ABC≌△DEB（H.L.）

（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB ∴BC=EB

又∵∠CBE=90°

∴∠BCE=45°

∴∠ACE=90°-45°=45°

∴∠BCE=∠ACE

∴CE是∠ACB的角平分线

②△ABE是等腰三角形，理由如下：

在△ACE和△DCE中

AC DC

ACE BCE

CE CE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ACE≌△DCE（SAS）.

∴AE=DE

又∵AB=DE

∴AE=AB

∴△ABE是等腰三角形

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.

8

．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；

（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．

【解析】

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；

（3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ． 【详解】 (1)如图：

（2）在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°

由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ， ∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠D ∵∠PAC ＝20° ∴∠PAD ＝20°

∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°

()

1

180402

D BAD ??∴∠=

-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60° （3）CE ＋AE ＝BE ．

在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，

在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°

由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ， 设∠EAC ＝∠DAE ＝x ． ∵AD ＝AC ＝AB ，

∴()

1

1802602

D BAC x x ??∠=

-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°．

∴△AME为等边三角形．

∴AM=AE，∠MAE=60°，

∴∠BAC=∠MAE=60°，

即可得∠BAM=∠CAE.

在△AMB和△AEC中，

AB AC

BAM CAE

AM AE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AMB≌△AEC.

∴CE＝BM.

∴CE＋AE＝BE．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．

9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？

（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形

△AMN？

（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．

【答案】（1）

12

5

；（2）

48

5

；（3）点M、N运动3秒或

12

7

秒或10秒或9秒后，

△AMN为直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；

（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；

（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．

【详解】

（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t

解得t＝12 5

故点M、N运动12

5

秒后，△AMN是等边三角形；

（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN

则有：2t﹣12＝36﹣3t

解得t＝48 5

故运动48

5

秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；

（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图

∵∠A＝60°

∴∠AMN＝30°

∴AM＝2AN

则有2t＝2（12﹣3t）

∴t＝3；

②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图

∵∠A＝60°

∴∠ANM＝30°

∴2AM＝AN

∴4t＝12﹣3t

∴t＝12

7

；

③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图

CN ＝3t ﹣24＝6 解得t ＝10；

④当M 、N 都在BC 上，∠AMN ＝90°时，则N 与B 重合，M 正好处于BC 的中点，如图

此时2t ＝12+6 解得t ＝9；

综上所述，点M 、N 运动3秒或12

7

秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形． 【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.

10．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．

（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°； （2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；

（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．

【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形． 【解析】 【分析】

（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．

（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ???，即可得出2AB DC ==．

（3）假设ADE ?是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，

40ADE AED ∠=∠=?，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=?，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的

内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠． 【详解】 （1）在BAD 中，

40B ∠= ，115BDA ∠=，

1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=?-∠-∠=?-?-?=?，

1801801154025EDC ADB ADE ∠=?-∠-∠=?-?-?=?．

AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，

1801804025115C E DC D E C ?-∠-∠=?-?-?=∠=?．

故答案为：25，115；

（2）当2DC =时，ABD DCE ???．理由如下：

40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=?，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=?，ADB DEC ∴∠=∠．

在ABD △和DCE ?中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，

()ABD DCE AAS ???，2AB DC ∴==；

（3）

AB AC =，40B C ∴∠=∠=?，分三种情况讨论：

①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=?，AED C ∠>∠，∴此时不符合；

②当DA DE =时，即1

(18040)702DAE DEA ∠=∠=?-?=?，

1804040100BAC ∠=?-?-?=?，1007030BAD ∴∠=?-?=?； 1803040110BDA ∴∠=?-?-?=?；

③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=?，1004060BAD ∴∠=?-?=?，180604080BDA ∴∠=?-?-?=?；

∴当110ADB ∠=?或80?时，ADE ?是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．

三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

11．（阅读材料）

因式分解：()()2

21x y x y ++++．

解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()2

2211A A A =++=+． 再将“A ”还原，原式()2

1x y =++．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. （问题解决）

（1）因式分解：()()2

154x y x y +-+-； （2）因式分解：()()44a b a b ++-+；

（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()

2

1231n n n n ++++的值一定是某个整数的平

方．

【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()2

2a b +-；（3）见解析.

【解析】 【分析】

（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；

（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解； （3）将原式转化为(

)(

)

2

2

3231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】

（1）()()[][]2

1541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2

2

44()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-；

（3）原式()(

)

2

2

3231n n n n =++++

()()2

2

2

3231n n n n =++++

()2

2

31n n =++．

∵n 为正整数， ∴231n n ++为正整数．

∴代数()()()

2

1231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．

12．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

()()()()()()()223

111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=??+??.

（1）上述分解因式的方法是______________法.

（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++

++的结果应为___________.