高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)
任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：
（1）“旋转”形成角，突出“旋转”
（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴
（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270）
2、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960
（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3
π． 3、 “象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30?；390?；-330?是第象限角 300?；-60?是第象限角
585? ； 1180?是第象限角 -2000?是第象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}
③ {第一象限的角}④以上都不对
（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）
A ．B=A∩C
B ．B ∪C=
C C ．A ?C
D ．A=B=C
例3、写出各个象限角的集合：
例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2
α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角，
∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.
（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ），
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.
（2）∵k ·180°+45°＜
2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时，
n ·360°+45°＜2
α＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时，
n ·360°+225°＜
2α＜n ·360°+270°. ∴2
α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？
∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ），
60°+k ·120°＜3
α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得
60°+m ·360°＜
3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3
α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得
180°+m ·360°＜
3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3
α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得
300°+m ·360°＜
3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3
α的终边在第四象限.
综上可知，3
α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合
{}
Z k k S ∈?+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：
1、Z ∈k
2、α是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若θ角的终边与
58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为。
若θ角的终边与8π/5的终边相同
则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)
所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5
当：0≤kπ/2+2π/5≤2π
有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角
k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角
（2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 X 轴正半轴上 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1） 210-；（2）731484'- ．
例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]
1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：
终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ
终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ
终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ
3、终边共线且反向的角：
终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ
终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ
4、终边互相对称的角：
若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+?= 360k ，),(360Z m k m ∈-?=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（）。
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x 轴对称
D.有关于y 轴对称 例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式
（1） π3
19 （2） 315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+?<<+?=,30036060360| ,
{}
Z k k x k x B ∈?<<-?=,360210360| ,求B A ,B A . 二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B