江西省南昌三中高三模拟(理)
江西省南昌三中高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（5分）（2012?西区一模）集合P={x∈Z|0≤x＜2}，M{x∈Z|x2≤4}，则P∩M等于（）
A．{1} B．{0，1} C．[0，2）D．[0，2]
考点：交集及其运算．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：先化简集合P，M，再求P∩M即可．
解答：解：∵P={x∈Z|0≤x＜2}={0，1}，M{x∈Z|x2≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴P∩M={0，1}
故选B．
点评：本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
2．（5分）（2010?黑龙江模拟）某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（）
A．474种B．77种C．462种D．79种
考点：排列、组合的实际应用．
专题：计算题．
分析：根据题意，使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节排法数目，再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目，进而计算可得答案．
解答：解：使用间接法，
首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A93=504种排法，
其中上午连排3节的有3A33=18种，
下午连排3节的有2A33=12种，
则这位教师一天的课表的所有排法有504﹣18﹣12=474种，
故选A．
点评：本题考查排列的应用，注意分析事件之间的关系，使用间接法求解．
3．（5分）复数z1=3+i，z2=1﹣i，则复数的虚部为（）
A．2B．﹣2i C．﹣2 D．2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：
利用复数的除法，将复数的分母实数化即可．
解答：解：∵z1=3+i，z2=1﹣i，
∴====1+2i，
∴复数的虚部为2．
故选A．
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将该复数的分母实数化是关键，属于基础题．
4．（5分）（2013?太原一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）
A．
关于点对称B．
关于点对称
C．
关于直线对称D．
关于直线对称
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：
由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x ﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．
解答：
解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为
y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，故φ=﹣，
故函数f（x）=sin（2x﹣），故当时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线对称，
故选C．
点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．
5．（5分）（2010?温州二模）如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为﹣55，则判断框中的条件为（）
A．n＜11 B．n≥11C．n＜10 D．n≥10
考点：设计程序框图解决实际问题．
专题：常规题型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加（﹣1）n+1n2并输出．
解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：
是否继续循环n S
循环前/1 1
第一圈是2﹣3
第二圈是 3 6
第三圈是4﹣10
第四圈是 5 15
第五圈是6﹣21
第六圈是7 28
第七圈是8﹣36
第八圈是9 45
第九圈是10﹣55
第十圈否
故退出循环的条件应为：n＜10
故选C
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
6．（5分）（2012?咸阳三模）从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，
则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：先根据题目所给的几何体的三视图得出该几何体的直观图，然后计算该几何体的体积即可．解答：解：由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：
该几何体是一棱长为1的正方体切去如图所示的一角，
∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去窃取的直三棱锥的体积，
∴V=1﹣=．
故选C．
点评：本题主要以有三视图得到几何体的直观图为载体，考查空间想象能力，要在学习中注意训练．
7．（5分）函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2B．4C．6D．8
考点：函数的零点；函数的图象．
专题：作图题．
分析：由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．
解答：解：由图象变化的法则可知：
y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，
在向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去
可得g（x）=|log2|x﹣1||的图象；
又f（x）=cosπx的周期为=2，如图所示：
两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，
由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2
故所有交点的横坐标之和为4，
故选B
点评：本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．
8．（5分）对于下列命题：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②已知a，b，c是△ABC的三边长，若a=2，b=5，，则△ABC有两组解；
③设，，，则a＞b＞c；
④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象．
其中正确命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
考点：命题的真假判断与应用．
专题：计算题．
分析：可根据三角函数的性质与正弦定理对四个结论逐一进行判断，即可得到正确的结论
解答：解：①，∵△ABC中，若sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①错误；
②，∵a，b，c是△ABC的三边长，若a=2，b=5，，
∴由正弦定理得：=，
∴sinB=，这是不可能的，故②错误；
③，∵=335×2π+，
∴a=sin=sin=，同理可得b=cos=﹣，c=tan=﹣，故a＞b＞c，于是③正确；
④，将函数y=2sin（3x+）图象向左平移个单位，
得：y=2sin[3（x+）+]
=2sin[+（3x+）]
=2cos（3x+），故④正确；
故选C．
点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数和正弦定理，属于中档题．
9．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．2
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．
解答：解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，
由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，
即4c2=m2+n2﹣mn，
设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，
∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12﹣4a1a2+=0，
a1=3a2，e1?e2=?==1，
解得e2=．
故选A．
点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．10．（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y
满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，
的取值范围为（）
A．[12，+∞]B．[0，3]C．[3，12]D．[0，12]
考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
分析：判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．
解答：解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
所以f（x）为奇函数．
∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，
∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，
∴
即，画出可行域如图，
可得=x+2y∈[0，12]．
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．（5分）（2011?上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．
考点：向量在几何中的应用．
专题：计算题；数形结合；转化思想．
分析：
根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．
解答：解：∵AB=3，BD=1，
∴D是BC上的三等分点，
∴，
∴=
==9﹣=，
故答案为．
点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（5分）若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是240．
考点：定积分；二项式定理的应用．
分析：
由定积分的运算可得a=2，代入由二项式定理可得的通项T k+1=x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2，可得含x的项系数为：=240
解答：解：由题意可得，a==﹣cosx=2，
故=，
其二项展开式的通项T k+1=
=x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2，
故可得含x的项系数为：=240
故答案为：240
点评：本题考查定积分的求解和二项式定理的应用，属基础题．
13．（5分）实数对（x，y）满足不等式组，则目标函数z=kx﹣y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是（﹣，1）．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．将目标函数z=kx﹣y对应的直线进行平移，当且仅当l经过点C（3，1）时目标函数z达到最大值，由此观察直线斜率的范围结合斜率计算公式，即可得到l斜率k的取值范围．
解答：
解：作出不等式组，表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）
设z=F（x，y）=kx﹣y，将直线l：z=kx﹣y进行平移，
可得直线在y轴上的截距为﹣z，因此直线在y轴上截距最小时目标函数z达到最大值
∵当且仅当l经过点C（3，1）时，目标函数z达到最大值
∴直线l的斜率应介于直线AC斜率与直线BC斜率之间，
∵k AC==﹣，k BC==1
∴k的取值范围是（﹣，1）
故答案为：（﹣，1）．
点评：本题给出二元一次不等式组，讨论目标函数z=kx﹣y的最大值有唯一最优解的问题，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
14．（5分）设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）
f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则符合题意的a的取值范围是1＜a＜或＜a＜2．．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数型复合函数的性质及应用；根的存在性及根的个数判断．
专题：压轴题；数形结合．
分析：程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解x，即要求f（x）=常数有3个不同的f（x），根据题意，先做出函数f（x）的图象，结合图象可知，只有当f（x）=a时，有3个根，再结合方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有2个不同的实数解，可求
解答：解：方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，
解：∵题中原方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根据2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，
得：△=（2a+3）2﹣4×2×3a＞0?②
结合①②得：1＜a＜或a＜2．
故答案为：1＜a＜或a＜2．
点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
三、选做题：（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）
15．（5分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=．则直线l被曲线C所
截得的弦长为．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．
专题：直线与圆．
分析：画直线的参数方程为普通方程，化圆极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．
解答：
解：由，得4x﹣3y+1=0．
再由ρ=，得．
即ρ2=ρsinθ+ρcosθ．
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=x+y．
化为标准方程得，．
圆心为C（），半径r=．
圆心C到直线4x﹣3y+1=0的距离d=．
则直线被圆截得的半弦长为．
所以直线l被曲线C所截得的弦长为．
故答案为．
点评：本题考查了化参数方程为直角坐标方程，化极坐标方程为直角坐标方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
16．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围m≤﹣1．
考点：绝对值不等式的解法；对数函数的图像与性质．
专题：压轴题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：问题等价于|x+1|+|x﹣2|﹣m≥4对任意x恒成立，只需m≤|x+1|+|x﹣2|﹣4，y=|x+1|+|x﹣2|﹣4表示数轴上的点到点﹣1，2的距离之和再减掉4，由绝对值的意义可得．
解答：解：关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，等价于|x+1|+|x﹣2|﹣m≥4对任意x恒成立，变形可得m≤|x+1|+|x﹣2|﹣4，只需求函数y=|x+1|+|x﹣2|﹣4的最小值即可，
由绝对值的几何意义可知：y=|x+1|+|x﹣2|﹣4表示数轴上的点到点﹣1，2的距离之和再减掉4，
故可得y=|x+1|+|x﹣2|﹣4的最小值为y=3﹣4=﹣1，故只需m≤﹣1
故答案为：m≤﹣1
点评：本题考查绝对值不等式的意义，涉及对数函数的应用，属中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）设函数f（x）=sinx+2sinAcosx将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心及单调递
增区间．
考点：余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：解三角形．
分析：
（1）△ABC中，由余弦定理可得cosA=，再由已知可得sinA=，
从而求得A 的值．
（2）由（1）可得函数f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得函数y=g （x）=
sin（2x﹣），由此求得函数g（x）的对称中心．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的
范围，
可得函数y=g（x）的单调递增区间．
解答：
解：（1）△ABC中，由余弦定理可得cosA=，再由已知可得
tanA=，sinA=，∴A=，或A=．
（2）由（1）可得函数f（x）=sinx+2sinAcosx=sin（x+），
将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，可得y=sin（2x+）的图象；
把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象．
令2x﹣=kπ，k∈z，可得x=+，k∈z，故函数g（x）的对称中心为（+，0），k∈z．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，
故函数y=g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，对称性，余弦定理的应用，属于中档题．
18．（12分）（2011?安徽模拟）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分
成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单
位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图，为这
60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8
人中任取3人，求3人
中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望．
考点：频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．
专题：应用题；综合题．
分析：（1）求出Q＞80时对应的三个矩形的纵坐标和乘以组距求出醉酒驾车的频率；再用频率乘以60求出醉酒驾车的人数．
（2）利用分层抽样的特点求出8人中酒后驾车和醉酒驾车的人数；利用古典概型的概率公式求出随机变量取每一个值的概率；列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．
解答：解：（1）（0.032+0.043+0.050）×20=0.25，0.25×60=15，
所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．
（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0，1，2；
P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==
X的分布列为
X 0 1 2
P
．
点评：本题考查频率分布直方图中分布在某范围内的频率等于纵坐标乘以组距、考查频率等于频数除以样本容量、考查分布列的求法及随机变量的期望公式．
19．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．
专题：空间向量及应用．
分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．
（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．利用cos∠MHN=，即可求出二面角M﹣AC﹣B的
余弦值．
解答：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，BC∩AB=B，
∴PC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴PC⊥AC．
（2）解：取BC的中点N，连MN．
∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．
由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．
在△ACN中，AN==．在Rt△AMN中，
MN=AN?cot∠AMN=cot60°=1．
在Rt△NCH中，NH=CN?sin∠NCH=1×sin60°=．
在Rt△MNH中，∵MH==，∴cos∠MHN==．
故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．
点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=S n+1（n∈N*）
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）证明：（n∈N*）．
考点：数列与不等式的综合；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）将通项化简，裂项，再利用放缩法，即可证明不等式．
解答：（1）解：∵a1=1，a n+1=S n+1
∴a2=S1+1=2，a n=S n﹣1+1（n≥2）
两式相减可得a n+1=2a n，
∵a2=2a1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列
∴a n=2n﹣1；
（2）证明：==
∴=＜
∵=
∴＜=
∴＞
∴．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1+2x1＜f（x2）+2x2）恒成立，求a的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（1）a=1时，求出导数f′（x），则切线斜率为f′（1），易求f（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（2）易求f（x）的定义域是（0，+∞），解方程f′（x）=0可得x=或x=，按两根、的大小对
a分类讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；
（3）设g（x）=f（x）+2x=ax2﹣ax+lnx，由题意知，g（x）在（0，+∞）上单调递增，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分a=0、a≠0两种情况讨论，转化为函数最值即可；
解答：
解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，
因为f′（1）=0，f（1）=﹣2，所以切线方程是y=﹣2；
（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax﹣（a+2）+=（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）===0，
所以x=或x=，
①当a＞2时，令f′（x）＞0得，x＞或0＜x＜，f′（x）＜0得x＜，
②当a=2时，f′（x）≥0恒成立，
③当0＜a＜2时，令f′（x）＞0得，x＞或0＜x＜，f′（x）＜0得＜x＜，
④a＜0时，令f′（x）＞0得0＜x＜，f′（x）＜0得x＞，
所以当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）单调减区间为（）；
当a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（）上单调递减；
当a≤0时，f（x）在（0，）上单调递增，（）上单调递减．
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可，
而g′（x）=2ax﹣a+=，
当a=0时，g′（x）=＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，
则需要a＞0，
对于函数y=2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴x=＞0，只需△=a2﹣8a≤0，即0＜a≤8，
综上，0≤a≤8．
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想．
22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平
面内一点，且|OP|=，=，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（﹣，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）设出P点坐标，由|OP|=得关系式，再由得关系式，两式联立求出c，再由离心率求得a，结合b2=a2﹣c2求出b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和，由中点坐标公式求出A，B的中点，若否存在直线l，使得△QAB为等腰三角形，则AB中点与Q的连线与AB垂直，由斜率之积等于﹣1列式求k的值，此时得到了矛盾式子，说明使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
解答：
解：（1）设P（x0，y0），∵，∴①
又，∴，即②
①代入②得：．又e=，∴a=2，b=1．
故所求椭圆方程为；
（2）直线l的方程为，
联立，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2﹣100=0．
，．
设AB的中点M（x0，y0），
则，．
所以．
若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，
即，此式无解，
所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数关系，考查了学生的运算能力，是难题．