高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析
高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明
1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2
>2推得的应该是： 0 （别漏了“0 [举例]若)(x f =x 2,则)(31)(x f x g -=的值域为 ；3)(11)(++=x f x h 的值域 为 。 解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒数” 求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31 或3-f(x)<0得)(31x f -<0, ∴g(x)∈(-∞,0)∪(31,+∞)；f(x)+3>3?0<3)(1+x f <31?1 。 [巩固1] 若011<③b a <；④2>+b a a b 中， 正确的不等式有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b ；③若a>b,c>d 则a-d>b-c ； ④若a>b,则a3>b3；⑤若a>b,则 ),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若a b a 11>,则a>0,b<0； ⑩若c>a>b>0,则b c b a c a -> -；其中正确的命题是 。 [迁移]若a>b>c 且a+b+c=0，则：①a2>ab ，②b2>bc ，③bc ,1)， ⑤a c 的取值范围是：（-2，-21 ）。上述结论中正确的是 。 2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。 [举例]已知函数 c ax x f +=2)(，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是： 。 解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c ≤－1 ①； 2≤4a+c ≤3 ② 由①得： 1≤－a －c ≤2 ③ 4≤－4a －4c ≤8 ④ 由③+②得：1≤a ≤35 ⑤ 由④+②得： 311-≤c ≤－2 ⑥ 由⑤×9+⑥得：316≤9a+c ≤13 ⑦，即316 ≤f(3)≤13。错误的原因在于： 当且仅当1=－a －c 且2=4a+c 时⑤式中的1=a 成立，此时，a=1，c=－2； 当且仅当－4a －4c=8 且4a+c=3 时⑥式中的311- =c 成立，此时，a=35，c=311- ； 可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的316 =9a+c 不成立；同理，9a+c=13也不成立。 正解是待定系数得f(3)=35-f(1)+38f(2)，又：35≤35- f(1)≤310；316≤38f(2)≤8 ∴7≤f(3)≤334。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1， c=－2时，不等式35≤35- f(1)和316≤38f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=35， c=311-时，不等式35- f(1)≤310和38f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=334成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。 注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。 [巩固]设正实数a 、b 、c 、x 、y ，且a 、b 、c 为常数，x 、y 为变量，若x+y=c ，则ax +by 的最大值是： A ．c b a )(+ B ．2c b a ++ C ．c b a ?+2 D ．2)(2b a + 3．关注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy ≥0? |x+y|=|x|+|y|；xy ≥0且|x|≥|y|?|x-y|=|x|-|y|；xy ≥0且|x|≤|y|?|x-y|=|y|-|x|； xy ≤0?|x-y|=|x|+|y|；xy ≤0且|x|≥|y|?|x+y|=|x|-|y|；xy ≤0且|x|≤|y|? |x+y|=|y|-|x|。 [举例1]若m>0,则|x-a| A ．充分而不必要条件， B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件。 解析：|x-a| [举例2]不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集为 。 解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等价于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|?2xlog2x>0? log2x>0?x>1 ∴不等式的解集为（1，+∞)。 [巩固1]a,b 都是非零实数，下列四个条件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|； ③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；则与|a-b|=|a|+|b|等价的条件是： （填条件序号）。 [巩固2]方程|12++ -x x x |=||2-x +|1+x x |的解集是 。 4．若a 、b ∈R+，则222b a +≥2b a +≥ab ≥b a ab +2；当且仅当a =b 时等号成立； 其中包含常用不等式：22b a +≥2)(2b a +； )11)((b a b a ++≥4以及基本不等式： 2b a +≥ab ，基本不等式还有另外两种形式：若a ≤0、b ≤0，则2b a +≤a b ； 若：a 、b ∈R ，则2 2b a +≥2a b ；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立（即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大）。 [举例1] 若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则b a 21+ 的最小值为 。 解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，∴a+b=1, b a 21+=2232322+≥++=+++b a a b b b a a b a ,当且仅当a=b=21时等号成立。 [举例2]正数a,b 满足a+3=b(a-1),则ab 的最小值是 ，a+b 的最大值是 。 解析：ab=a+b+3≥2ab +3?ab -2ab -3≥0?ab ≥3?ab ≥9，当且仅当a=b=3时等 号成立。a+b=ab-3≤2)2( b a +-3?012)(4)(2≥-+-+b a b a ? a+b ≥6, 当且仅当a=b=3时等号成立。 注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。 x y O 1 1 P [巩固1]在等式()()9 11+= 中填上两个自然数，使它们的和最小。 [巩固2]某工厂第一年年产量为A ，第二年的年增长率为a ，第三年的年增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 （ ） A ．2b a x +< B ．2b a x +≤ C ．2b a x +> D ．2b a x +≥ [迁移]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则： A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室 D ．不能确定谁先到教室 5．比较大小的方法有：①比差：判断“差”的正负，因式分解往往是关键；②比商：判断“商”与1的大小，两个式子都正才能比商，常用于指数式的比较；③变形：如平方（需为正数）、有理化（根式的和、差）等；④寻求中间变量，常见的有0，1等；⑤数形结合。 用定义证明单调性的过程就是已知自变量的大小比较函数值的大小的过程。 [举例1]已知0>>b a 且1=ab ，若 ,)1(log ,2log ,10222b a q b a p c c c +=+=<<则p 、q 的大小关系是（ ） A ．q p > B ．q p < C ．q p = D ．q p ≥ 解析：记x= 222b a +, y=(b a +1)2, 直接比较x 、y 的大小将大费周章，但： x>22ab =1, y=2212121 +<++=++ab b a ab b a =41，∴x>y ，又0 [举例2] x0是x 的方程ax=logax(0 研究。分别作函数y=ax 及y=logax 的图象 如右，它们的交点为P （x0，y0）,易见 x0<1, y0 <1，而y0=0x a =logax0 即logax0<1,又0 即a ln 的大小关系是 。 [巩固2]设a>2，p=22-+ a a ,q=2422-+-a a ,则： A ．p>q B ．p C ．p>q 与p=q 都有可能 D ．p>q 与p [迁移] 设定义在R 上的函数f(x)满足：①对任意的实数x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②当x>0时,f(x)>1；判断并证明函数f(x)的单调性。 6．放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a a >+12； ②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如： 4lg )16(lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2222=<=+ （Ⅰ）1)1(+<+ 111<++=-+； （Ⅲ）)1(1!1-≤k k k k k k k k 111)1(112--=-< )2(≥k ； 111)1(112+-=+>k k k k k (Ⅳ))1111(21)1)(1(111122+--=+-=- )2(≥k ； [举例]已知a 、b 、c 是⊿ABC 的三边长，A=b b a a ++ +11,B=c c +1,则： A ．A>B, B ． A C ．A ≥B D ．A ≤B 解析：B=c c +1=111+c <111 ++b a =b a b a +++1=b a b b a a +++++11 +11=A [巩固]若n ∈N ﹡,求证： n n n n -+<+-++1)1(1)1(22 [迁移]已知an=2n-1,数列{an}的前n 项和为Sn ，bn=n S 1 ,数列{ bn}的前n 项和为Tn ，求证：对 一切自然数n ，恒有Tn<2。 简答 1．[巩固1]B ，[巩固2] ②③④⑥⑦⑨⑩；[迁移] ①③④⑤；2、[巩固]A ；3、[巩固1] ①④， [巩固2]（-1，0]∪[2, +∞);4、[巩固1]4，12；[巩固2]B ，[迁移]B ； 5、[巩固1] 55ln <22ln <55 ln ,[巩固2]A ，[迁移]递增；6、[巩固]有理化，[迁移]放缩： )2(,)1(112≥- 初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下： 1．对于数列{a n}，“a n+1＞|a n|（n=1，2，…）”是“{a n}为递增数列”的（） A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由a n+1＞|a n|（n=1，2，）知{a n}所有项均为正项， 且a1＜a2＜…＜a n＜a n+1， 即{a n}为递增数列 反之，{a n}为递增数列， 不一定有a n+1＞|a n|（n=1，2，）， 如-2，-1，0，1，2 题干评注：数列 问题评注：按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。2．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=-6，那么a10等于（）A、-165 B、-33 C、-30 D、-21 答案：C 解析：a4=a2+a2=-12， ∴a8=a4+a4=-24， ∴a10=a8+a2=-30 题干评注：数列 问题评注：按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。3．若数列{a n}前8项的值各异，且a n+8=a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中，能取遍数列{a n}前8项值的数列是（） A、{a2k+1} B、{a3k+1} C、{a4k+1} D、{a6k+1} 答案：B 解析：由已知得数列以8为周期， 当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时， a3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等， 故{a3k+1}能取遍前8项 题干评注：数列 问题评注：按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。4．对于数列{a n}（n∈N+，a n∈N+），若b k为a1，a2，a3…a k中的最大值，则称数列{b n}为数列{a n}的“凸值数列”．如数列2，1，3，7，5的“凸值数列”为2，2，3，7，7．由此定义可知，“凸值数列”为1，3，3，9，9的所有数列{a n}个数为（） A、3 B、9 C、12 D、27 答案：D 解析：数列{a n}（n∈N+，a n∈N+），若b k为a1，a2，a3…a k中的最大值，则称数列{b n}为数列{a n}的“凸值数列” 数列{a n}的，“凸值数列”为1，3，3，9，9 ∴知数列{a n}中的a3和a5分别可取的值为1，2，3；1，2，3，4，5，6，7，8，9， 根据乘法原理得知满足条件的个数为：27 题干评注：数列 问题评注：按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。5．在数列a1，a2，…，a n…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列， 初高中数学衔接研究报告 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关 键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。 1．如图9-7-21，三校柱O AB —O 1A 1B I ，平面O B 1⊥平面O AB ，∠O 1O B =60°，∠A O B=90°，且 O B=OO 1=2，O A=3，求异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小. 答案：建立如图9-7-21所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，O 1(0，1，3)，A(3，0，0)，A 1(3，13)，B （0，2，0）. ∴B A 1=OB -1OA =(-3，1，-3)，1OA =OA -1OO =(3，-1，3). 设异面直线所成的角为α，则cos α= A O B A A O B A 1111 ?=71 .故异面直线A 1B 与A O 1所成的角的大小 为arccos 71 . 解析：用平移A 1B 或A O 1的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解.充分 利用∠A O B=90°，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化为代数问题计算. 题干评注：直线与平面所成的角 问题评注：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2．如图9-7-23，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求直线AC 1与侧面AB 1所成的角的大小. 答案：建立如图9-7-23所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(0，0，2a)，C 1(- 23a ，2a ，2a)，取A 1B 1中点M ，则M(0，2a ，2a)，连结AM ，MC 1，有1MC =(-23 a ，0， 0)，AB =(0，a ， 0)，1AA =(0，0，2a).由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，∴MC 1⊥面AB 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面AB 1所成的角θ. ∵1AC =(-23 a ，2a ，2a)，AM =(0，2a ，2a)， ∴1AC ·AM =0+42a +2a 2 =492 a . 而|1AC |=2 2 22443a a a ++=3a ， 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n等于 答案：2n-1 解析：a2-a1=21，a3-a2=22，a4-a3=23，…依次类推可得a n-a n-1=2n-1 ∴a2-a1+a3-a2+a4-a3…+a n-a n-1=a n-a1=21+22+23+…+2n-1=2n-2 ∴a n-a1=2n-2，a n=2n-1 题干评注：通项 问题评注：如果数列{aｎ}的第ｎ项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 2．已知数列前4项为4，6，8，10，则其一个通项公式为 答案：a n=2（n+1） 解析：该数列的前4项分别可写成：2×（1+1），2×（2+1），2×（3+1），2×（4+1）， 所以数列的通项公式为a n=2（n+1） 题干评注：通项 问题评注：如果数列{aｎ}的第ｎ项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 3．已知两个等差数列a n：5，8，11，…；b n：3，7，11，…，各100 项，则由他们共同项所构成的数列的通项公式为 答案：12k-1（k=1，2…25） 解析：设共同项构成的数列为C n，依题意可知a n=2+3n b m =-1+4m m=1，2，..75 a n= b m=2+3n=-1+4m ∴4m=3（n+1） ∵（3，4）=1，∴3|m ∴m=3k （k=1，2， (25) 4m=4?3k=3（n+1） ∴n=4k-1 （k=1，2， (25) C n=2+3?（4k-1）=12k-1 （k=1，2， (25) 题干评注：通项 问题评注：如果数列{aｎ}的第ｎ项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 4．已知{a n}是首项为19，公差为-4的等差数列，S n为{a n}的前n项和． （Ⅰ）求通项a n及S n； （Ⅱ）设{b n-a n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．答案：（Ⅰ）-2n2+21n（Ⅱ）-2n2+21n+2n-1 解析：（Ⅰ）先根据等差数列的通项公式和求和公式求得a n和S n． （Ⅱ）根据等比数列的通项公式求得{b n-a n}的通项公式，根据（1）中的a n求得b n，可知数列{b n}是由等差数列和等比数列构成，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求得T n． 题干评注：通项 问题评注：如果数列{aｎ}的第ｎ项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 5．已知等差数列{a n}的通项为a n=90-2n，则这个数列共有正数项（） A、44项 B、45项 C、90项 D、无穷多项 答案：A 解析：由题意知等差数列{a n}的通项为a n=90-2n大于零，可以得到数列的正项个数， 数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 初高中数学衔接知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法 数学必修4知识归纳 一、任意角（逆时针旋转→正角，顺时针旋转→负角） 1、与α终边相同的角的集合：{|2,}k k Z ββαπ=+∈ 2、弧度制 （1） α= l r ，l =r α? （2）180 =o π rad 1=o ()180 π rad 1rad =180()π o 57.3≈o （3）扇形面积S =211 22 lr r α= 二、任意角的三角函数 1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号 三、同角三角函数的基本关系式： 1、2 2sin cos 1αα+=； sin tan cos α αα = ； tan cot 1αα?= 2、特殊角的三角函数值： 四、诱导公式（口诀：纵变横不变，符号看象限） 五、三角恒等变换 思想方法：①切化弦、平方降幂的思想； ②化为同角、同名的思想； ③拆角的思想：如()()β αβαααβ=+-=--，2()()ααβαβ=++-等 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式： ()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±αβ =??? →令sin 22sin cos ααα= ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m αβ =??? →令22cos 2cos sin ααα=- 2cos 22cos 1αα=- ?降幂公式：21+cos2cos 2 αα= ， 2cos 212sin αα=- 21cos2sin 2 α α-= ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±= m αβ =???→令22tan tan 21tan ααα =- 2、辅助角公式（合一思想）：关键是“提斜边” sin cos )a x b x x ?+=+ （? 是斜边） 3、正余弦“三兄妹”： sin cos x x +、sin cos x x -、sin cos x x —— 知一求二 内在联系：2 (sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=± 六、三角函数的图象与性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较（见书） 1、会用“五点法”画出函数 sin()y A x B ω?=++的图象：步骤：设X x ω?=+，令X ＝30, ,, ,22 2 π π ππ→求相应的x 值及对应的y 值→描点作图 试一试：请用“五点法”画出函数2sin(2) y x π =-在一个周期内闭区间的图象 列表： 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零 的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??--x 解法一：由01=-x ，得1=x ； ①若1 初高中数学到底“衔接”什么？新生需掌握的八个知识点 很多新高一的同学，暑假里都忙着“衔接”，步入高中，无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变，大家都想趁着暑假来全方位提升自己，让这一级台阶迈得更稳。但是到底该衔接些什么内容，才可以达到事半功倍，直击问题的核心呢?为新高一的学生们答疑解惑，如何做好初高中衔接教育。 初高中数学到底“衔接”什么? 衔接≠上新课、竞赛培训、巩固复习课每年的暑假，都有不少新高一的学生去参加初高中衔接的课程，二八学习法温馨提醒：做好衔接方面的工作是必要的，但是不要盲目参加，要分清楚到底是不是衔接，衔接的是哪些知识。 初高中衔接教材：不是要急于学习高一的新课本，而是将一些初中应该提高与拓展的部分进行巩固。目前初高中数学衔接教学存在的三个误区： 误区之一：衔接课程讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课。 误区之二：衔接课程讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课。 误区之三：衔接课程仅仅是巩固初中知识，衔接课变成了复习课。 数学语言更抽象了思维方法更理性了王老师提醒，高中数学和初中有很大不同： 一是数学语言在抽象程度上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 王老师建议同学们做好课后的复习工作，理解新旧知识的内在联系，学会对知识结构进行梳理. 二八学习法初高中衔接教材系列的三大优势： 1.针对性强：内容衔接，复习已学过的内容，预习新学期学习的内容，温故知新。 2.新颖性强：通过《二八学习法讲义》掌握高效学习方法，并通过二八学习法视频加深对二八学习法的理解，并将掌握的方法运用于学习之中。资料部分，内容新颖，知（知识）、能（能力）、思（思考方法）并重，讲、练、评一体化。 3.实用性强：二八学习法讲义+视频讲解+资料（读和练）三维一体，相得益彰，高效学习，效率惊人！ 初中名师家教、高中名师家教、初高中衔接教材 产品类别内容（二八学习法讲义+DVD光盘+资料） 秋季开学新初一版语、数、英三科 秋季开学新初二版语、数、英三科 秋季开学新初三版语、数、英、理四科 秋季开学新高一版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高二版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高三版语、数、英、理、化五科 二八学习法，是指引学习方向的学习方略，方向正确，事半功倍，相信二八学习法会给你的学习带来神奇的效果！ 二八学习法五大系列产品是：名师家教、同步导学、复习指南、模法解题、试题分析 足不出户尽享名师家教 单科提分20-30分 第六章 数列 二、重难点击 本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。 知识网络 四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑== ++++=n i i n n a a a a a S 1 321Λ 2．?? ?≥-==-2 1 1 1 n S S n S a n n n 课前热身 3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832 -=,则数列各项中最小项是( B ) A ．第４项 B ．第５项 C ．第６项 D ．第７项 4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2 ,则实数λ的取值范围是),3(+∞- 5．数列{}n a 的前n 项和142 +-=n n S n ,，则?? ?≥-=-=2 5 212 n n n a n 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，… ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为 ),110(9 7-?),110(972-)110(973-，,Λ)110(97 -n ⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为 2 )1(1n n n a -++= 点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。 题型二 应用?? ?≥-==-) 2() 1(1 1 n S S n S a n n n 求数列通项 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式. ⑴23-=n n S 解析：⑴当123,11 11=-===S a n 时， 当)23 ()23(,21 1---=-=≥--n n n n n S S a n 时 132-?=n 又11=a 不适合上式，故???≥?==-) 2(3 2)1(11n n a n n 三、利用递推关系求数列的通项 【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴141 ,2 1211 -+ == +n a a a n n 解析：⑴因为141 21-+=+n a a n n ，所以 )1 21 121(2114121+--=-=-+n n n a a n n 所以)31 11(2112-=-a a )51 31(2123-=-a a 43111 ()257 a a -=- 初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??- 高中数学必修3知识点总结 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念： 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2．算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的． (２)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. （5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念: （一)程序构图的概念：程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 （二)构成程序框的图形符号及其作用 １、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判 断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （三）、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的,只有在执行完A 框指定的操作后,才能接着执 行B 框所指定的操作。 ２、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。无论P 条件是否成立，只能执行Ａ框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能Ａ框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中,经常会出现从某处开始，按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： (1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框,如此反复执行A 框,直到某一次条件Ｐ不成立为止，此时不再执行Ａ框，离开循环结构。 (2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立,如果P 仍然不成立,则继续执行A 框,直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行Ａ框，离开循环结构。 当型 直到型循环结构 注意:1循环结构要在某个 条件下终止循 ,但不允许“死循环”。2数变量,累加一次,计数一次。 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句 １、输入语句 （1）输入语句的一般格式 (2)输入 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案 试题 1、（满分20分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要接着向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系： 假如仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？ 2.（满分20分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在那个节目中曾经有如此一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。 3. （满分20分）受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时刻与水深关系表： 时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米） 0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.4 1:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.9 2:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.9 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.4 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.3 5:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8 (1)请在坐标纸上，依照表中的数据，用连续曲线描出时刻与水深关系的函数图像； （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时刻必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 4．（满分20分）2000年末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
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