现代设计方法基础 有限元法

现代设计方法基础

题目：有限元法的简介

系部：机电系

专业：机械设计制造及其自动化

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2010年5月20日

1.有限元法的概述

1.1 什么是有限元

有限元分析，定义为：将一个连续系统（物体）分隔成有限个单元，对每一个单元给出一个近似解，再将所有单元按照一定的方式进行组合，来模拟或者逼近原来的系统或物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化成一个离散的有限自由度问题分析求解的一种数值分析方法。

1.2有限元法的基本思想

许多工程分析问题，如固体力学中位移场和应力场分析、振动特性分析、传热学中的温度场分析、流动力学中的流场分析等都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。

有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

目前工程中使用的偏微分方程的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。

有限差分法的出发点是用结点量的差商代表控制方程中的导数。以矩形域二维无源稳定传热问题为例，起控制方程为拉普拉斯方程，即无源场中各点的散度为零：

(5-1) 边界条件为

(5-2)

式中，()y ,x u 为区域Ω内任意点()y ,x 的温度；n 为区域Ω边界Γ上任意点的外向法线；

u 代表在1Γ上给定的温度（例如左边界C 200。，右边界为C 20。）；n u ??代表边界2Γ上

给定的热流密度。

则式中的二阶偏导数可用结点温度的二阶差商近似表达为

()()()Ω∈=??+??y ,x 0y y ,x u x y ,x u 2222()()?????=??=q n

y ,x u u

y ,x u ()()21y ,x y x,ΓΓ∈∈

(5-3)

同理

(5-4)

代入得

0y u u 2u x u u 2u 2

j

,1i j ,i j ,1i 2

1

j ,i j ,i 1j ,i =+-+

+--+-+?? （5-5)

式中，x ?和y ?在结点划分完毕后是已知的。这样，式（5-5）即为一个以j ,i u 和围绕（i,j)结点的4个结点的u 值为未知量的线性代数方程。若区域Ω有m-n 个结点个m 个边界结点，则可建立n-m 个如式（5-5）所示的线性代数方程，加上式（5-2）所示m 个结点的边界条件就可将所有结点的未知温度u 求出。有限差分法概念及方法比较简单，但不适合于求解区域形状复杂的问题。

边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同,边界元法是公在定义域的边界上划分单元,用满足控制议程的函数去逼近边界条件.所以边界元法与有限元相比具有单元的未知数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难.

以上所述三种数值解法中，有限元法通用性最好，引用最广，其基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠结点联接。单元内部点的待求量可由单元结点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立结点量之间的方程式。然后将各个单元方程“组集”在一起而形成总体代数方程组，计入边界条件后即可对方程组求解，单元划分越细，计算结果就越准确。

有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant 第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant 扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner 、Clough 等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough 进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。我国著名力学家，教育家徐芝纶院士（河海大学教授）首次将有限元法引入我国，对它的应用起了很大的推动作用。

1.3有限元法的应用

有限元法的应用范围很广泛，它不但可解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对于各种不同性质的固体材料，如各向同性和；各向异性材料，粘弹性和年塑性材料以及流体均能求解；另外，对于工程中最普遍意义的非稳态问题也能求解，甚至还可以模拟构件之间的高速碰撞、炸药的爆炸燃烧和应力波的传播。目前，有限元法的用途已遍

()2

1j ,i j ,i 1j ,i 1

j ,i j ,i j ,i 1j ,i 22

x u u 2u x x u u x u u x y ,x u ????-+-++-=---≈??()2j

,1i j ,i j ,1i 22y

u u 2u y y ,x u ?-++-=??

布机械、建筑、矿山、冶金、材料、化工、能源、交通、电磁甚至日常生活用品设计分析的各个领域中。

2有限元法的基本步骤

2.1单元划分

将求解域离散为有限单元。根据基本长变量与坐标的关系决定采用一维、二维、三维单元。一维元用线段表示；二维元可为三角形元货四边形元；三维元常用四面体元或六面体元。单元划分越密，计算精度越高，但计算工作量也越大。通常，在场变量变化剧烈处可将单元取密些，反之则取疏些。

2.2确定插值函数（形函数）

在有限元法中，单元内任一点(x,y,z)的场变量需通过选定的插值形式由单元结点值插值求得，即

()()()()()

()()

()()

e 33e 22e 11e e y ,x y ,x y ,x y ,x ΦψΦψΦψψΦΦ++==

式中，m 为单元结点自由度总数；()e Φ是单元自由度列阵，即()()()()

{

}T

e m

e 2e 1e ΦΦΦΦ =；

ψ称为单元的形函数矩阵，它与单元结点坐标结点数目及插值形式有关。形函数矩阵分

量的数目应与单元结点自由度数相等。以二维问题的三结点三角形单元为例，设每一结点只有一个自由度，则单元中任一点（x,y)处的场()()y ,x e Φ可表达为 ()()()()()

()()

()()

e 33e 22e 11e e y ,x y ,x y ,x y ,x ΦψΦψΦψψΦΦ++== 上式对于单元的任一点均成立。显然在单元的三结点1、2和3处应有

比较上式左右两端，显然有

()()()0y ,x y ,x 1y ,x 113112111===ψψψ； ()()()0y ,x y ,x 1y ,x 223221222===ψψψ； ()()()0y ,x y ,x 1y ,x 332331333===ψψψ； 即对于i ，j=1，2，3可写为

2.3建立单元方程

在上述的例子中，直接根据问题的物理概念建立了单元方程。不过，在一般情况下，特别是二维和三维单元，这种直接法就显得过于繁杂而难以应用。为此，需要采用更为一般的数学方法，如变分法、加权余量法或具有明显物理意义上的虚功原理。

()()()()()()()()

()()

()()()()()()()()()()()()()()

?????++==++==++==e 3333e 2332e 1331e e 3

e 3223e 2222e 1221e e 2e 3113e 2112e 1111e e 1y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x y ,x ΦψΦψΦψψΦΦΦψΦψΦψψΦΦΦψΦψΦψψΦΦ()???≠==j

i 0j

i 1y ,x i i i 当当ψ

2.4单元组集----建立总体方程组

首先将在单元方程有局部自由度编号系统扩展到总体自由度编号系统中，将单元矩

阵元素和列阵元素按照局部和总体自由度的关系“对号入座”，然后将这种扩展了的单

元方程相加即得到总体方程组。

2.5计入边界条件，解方程组

组集后的总体特性矩阵式奇异的，必须计入边界条件才能求得唯一解，计入边界条件有三种方法： 2.5.1直接代入法

上述引例中所用的方法，即将自由度的已知量从总体方程组中消去，从而得到一组

阶数降低了的修正方程。由于这种方法是方程组阶数改变，使程序编制复杂化，故程序中一般不采用。 2.5.2对角线元素置1法

由式子 （5-6）

因为边界条件01=φ，则可将矩阵中与1φ对应的对角线元素置为1，与该对角线元素相应的行和列的其他元素均置为零，右端列阵的相应元素也置为零，即上述式子修正为

这种计入边界条件的方法简单，不仅改变原方程的阶数和未知量顺序；但只适用于边界条件为零值的情况。 2.5.3对角元素乘大数法

仍以式（5-6）为例。为计入()0*

11==ΦΦ，可将式子中矩阵的第一个对角线元素（记为11k 乘以一大数a （如取1010a =）并将原1F ,用*111ak Φ代替，则式子变为

那么上式中的第一个方程相当于

?????

?????=????????????????????----?10F 2202640441013216ΦΦΦ??

??

??????=????????????????????--10022026000

1321ΦΦΦ??

??????

?

?=????????????????????----10ak 220

26404

ak *

11132111

ΦΦΦΦ*

11142111k a

0a 4k ΦΦΦΦ=?+?-

式中，*

1Φ表示1Φ的已知值。

经边界条件修正过的总体线性代数方程组可采用成熟的解线性代数方程组的程序求解，如对称带状矩阵的高斯校园发等，对于大型方程组则可采用分块解法或波前发等。这些解法属于纯数值分析问题。 2.5.6后处理计算

根据解方程组后求得的结点基本场变量计算其他有关量，如应变、应力或热流密度等，视具体问题而定。

3.总刚度矩阵的特性

由前面的讨论可知结构的刚度矩阵K 是由单元刚度矩阵集合而成，它与单元刚度矩阵类同也具有明显的物理意义。有限元的求解方程式是结构离散后每个结点的平衡方程。结构刚度矩阵K 的任一元素K ij 的物理意义是：结构第j 个结点位移为单位值而其它结点位移皆为零时，需在第i 个结点位移方向上施加的结点力的大小。与单元不同之处在于结构是单元的集合体，每个单元都对结构起一定的作用。由于单元刚度矩阵是对称和奇异的，由它们集成的结构刚度矩阵K 也是对称和奇异的，也就是说结构至少需给出能限。

有限元方程组的系数矩阵，即总刚度矩阵，与有限元法的特性紧密相关。综上所述，有限单元法最后建立的方程组的大型系数矩阵K 具有以下性质:(1)对称性（2)奇异性;(3)稀疏性；(4)非零元素呈带状分布。由于方程组的大型，在求解方程时，除引入位移边界条件使奇异性消失外，其他特点都必须在解方程中予以充分的考虑和利用，以提高解题的效率。

4.谈谈对有限元的学习

4.1学习有限元的数学基础知识

学习有限元方法的第一只拦路虎就是数学基础知识,到底需要哪些必备的数学基础,

才能保证有限元的的顺利理解和应用呢?我仅能以本人的认识和水平谈一谈.

1. 矩阵论：由于涉及到多维广义坐标下的运算，有限元多以矩阵形式表达，力求简化形式，突出重点。因此，系统学习矩阵论，是必要的。此处所说的矩阵论是以本科的线性代数为基础，研究矩阵性质和运算的课程。多数研究生课程体系都会设有本课。关于矩阵论的优秀教材比比皆是，只要注意选用适合工科院校的学生即可。

2. 泛函和变分：泛函是在是物理和工程研究中发现的一类特殊函数，是在原经典微积分方法基础上演生出的一类问题，即寻找场函数在积分域上的最优值问题。变分是泛函极小变化的数学表达，类似于函数的微分或偏微分。变分是泛函研究中重要的运算手段。有限元包括基本原理、有限元格式表达、收敛性和协调性的论证。泛函和变分是解决这

些问题的必备工具。

3.数值方法：有限元本身就是数值方法，在实现有限元分析的过程中，也要用到大量数值方法和算法。如线性方程组求解，非线性方程求解、插值和拟合等。学好数值方法，对有限元的理解、实现和应用（包括对结果的分析和判断）都很重要。许多同学对有限元实现模糊不清，其实不是编程问题，而是数值方法不够清楚。

4. 数学分析：在泛函导出欧拉方程的过程中，需要应用向量函数积分知识，建议回头复习一下数学分析，重点放在向量函数积分部分，包括第二型曲线和曲面积分、格林公式、奥高公式、斯托克斯公式等。之所以最后说，是因为这一块内容不多，只要复习一下即可。

4.2学习有限元的程序实现和使用

有限元最终是通过程序实现的，有限元的理论研究与编程密不可分。同时，应用有限元程序演算力学问题，也是学习有限元的必要手段。在学习有限元之前，还要为程序实现和使用作一些必要的准备。程序使用主要指程序的选择和使用方式。可选用大型通有限元程序，也可选用自编教学程序，前者计算功能强大，后者易于阅读源代码，各有优势。使用程序学习有限元，就要注意观察程序的计算结果，有意识的根据单元的特性分析结果特点。在单元的协调性和收敛性、位移元的上限性等方面把握计算结果。

4.3学习有限元还要有一定力学基础

大家在此之前都基本掌握了理论力学、材料力学、结构力学，此处只强调弹性力学的重要性。如果我们不是力学专业，而是一般的机械学科，只要能把机械问题简化为合理的力学模型，而后选择合理的单元、适当的网格、合适的本构、高效的方程求解方法，直观的后处理方法，应该是够了。