必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修

1

1.3 三角函数的诱导公式

教案 A

教学目标

一、知识与技能

1．理解诱导公式的推导过程；

2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．

3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力． 二、过程与方法

利用三角函数线，从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想． 三、情感、态度与价值观

通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯． 教学重点、难点

教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．

教学难点：六组诱导公式的灵活运用． 教学关键：五组诱导公式的探究．

教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究． 教法与学法导航

教学方法：探究式，讲练结合．

学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．

1. 充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程；

2. 强调记忆规律，加强公式的记忆；

3. 通过对例题的学习，完成学习目标． 教学准备

教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规． 学生准备：练习本、直尺、圆规． 教学过程

一、创设情境，导入新课

我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称

教师备课系统──多媒体教案

2

性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y =x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？

二、主题探究，合作交流 提出问题

①锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？

师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．无论α为锐角还是任意角，π+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择π+α为研究对象．

利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P 1(x ，y )和P 2 (-x ，-y )．

指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二： sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α． 提出问题：-α角的终边与角α的终边位置关系如何？

师生互动：让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考．

-α角的终边与角α的终边关于x 轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即： sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α．

教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．

提出问题：π-α角的终边与角α的终边位置关系如何？ 师生互动：讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：

sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α．

强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．

让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆． 我们可以用下面一段话来概括公式一～四：

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修

3

α+k ·2π(k ∈Z )，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．

提出问题

终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系？

师生互动：我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y =x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y =x 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导．

讨论结果：如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为(x ，y )，由于角π

2

-α的终边与角α的终边关于直线y =x 对称，角

π

2

-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y =x 对称，因此点P 2的坐标是(y ，x )，于是，我们有sin α=y ，cos α=x ，cos(π

2

-α)=y ，

sin(π

2

-α)=x ．从而得到公式五：

cos(π2-α)=sin α， sin(π

2

-α)=cos α．

提出问题

能否用已有公式得出

π

2

+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？ 师生互动：教师点拨学生将π2+α转化为π- (π

2

-α)，从而利用公式四和公式五达到

我们的目的．因为π2+α可以转化为π- (π2-α)，所以求π

2

+α角的正余弦问题就转化为

利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六：

sin (

π

2+α)=cos α， cos(π

2

+α)=-sin α．

提出问题

你能概括一下公式五、六吗？

教师备课系统──多媒体教案

4

师生互动：结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括．

讨论结果：

2

π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 公式一～六都叫做诱导公式． 三、拓展创新，应用提高

例1 利用公式求下列三角函数值：

（1）cos225°；（2）sin

11π3；（3）sin(16π

3

-)；（4）cos(-2 040°)． 解：（1）cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=2

2

-

； （2）sin

11π3=sin(4ππ3-)=-sin π3=2

3

-； （3）sin(16π3-

)=-sin 16π3=-sin(5π+π3)=-(-sin π3)=2

3

； （4）cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=2

1

-

． 点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：

上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法． 例2 化简

0c o s (180)s i n (360)

.s i n (180)c o s (180)

αααα?++?---?-

解：sin(180)sin[(180)]αα--?=-+? sin(180)(sin )sin ααα=-+?=--=

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修

5

cos(180)cos[(180)]cos(180)cos .αααα-?-=-?+=?+=-

所以，

原式cos sin 1.sin (cos )

αα

αα-=

=-

例3 证明：（1）sin(3π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=-sin α． 证明：（1）sin(3π2-α)=sin[π+(π2-α)]=-sin(π

2-α)=-cos α；

（2）cos(3π2-α)=cos[π+(π2-α)]=-cos(π

2

-α)=-sin α．

点评：由公式五及六推得3π

2

±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从

而进一步可以推广到2

1

2+k π(k ∈Z )的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使

用．

例4 化简π11π

sin(2π)cos(π)cos()cos()

22.9π

cos(π)sin(3π)sin(π)sin()

2a a a a a a a a -++-----+

解：原式=π

(sin )(cos )(sin )cos[5π()]

2π

(cos )sin(π)[sin(π)]sin[4()]

2

a a a a a a a a π---+----+++ =2π

sin cos [cos()]2π(cos )sin [(sin )]sin()

2

a a a a a a a ------+=a

a cos sin -=-tan a ．

四、小结

①熟记诱导公式；

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进行简单的求值； ③运用诱导公式进行简单的三角化简． 课堂作业

1．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( ) A ．sin

2B A +=-cos 2

C

B ．sin(2A +2B )=-cos2

C C ．sin(A +B )=-sin C

D ．sin(A +B )=sin C

2．如果f (sin x )=cos x ，那么f (-cos x )等于( )

教师备课系统──多媒体教案

6 A．sin x B．cos x C．-sin x D．-cos x 3．计算下列各式的值：

（1）sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°；（2）tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β)．

4．化简：

sin(540)tan(270)cos(270)

.

cos(180)tan(810)sin(360)

a a a

a a a

?

---?

-+--

参考答案：

1．D 2．A

3．（1）2；（2）-1．

4．-tan a．

教案 B

教学目标

一、知识与技能

1．牢记诱导公式.

2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.

二、过程与方法

1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.

2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.

3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.

三、情感、态度与价值观

1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.

2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.

教学重点、难点

教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．

学法与教学用具

学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修

7

纳推导公式．

教学用具：电脑、投影机、三角板． 教学设想：

一、创设情境

在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(

π

2

到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．

二、探究新知 1. 诱导公式二：

思考：（1）锐角α的终边与180α+

的终边位置关系如何？

（2）写出α的终边与180α+

的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．

（3）任意角α与180α+

呢？

结论：任意

α与180α+ 的终边都是关于原点中心对称的．则有

(,),'(,P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：

sin y α=， cos x α=；

sin(180)y α+=- ， cos(180)x α+=- ．

从而，我们得到诱导公式二：

sin(180)α+= sin α-；cos(180)α+=- cos α．

说明：①公式中的α指任意角；

②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；

④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα

+-+===-+-

．

用弧度制可表示如下：

sin(π-sin αα+=）；cos(π-cos αα+=）；tan(πtan αα+=）．

2. 诱导公式三：

思考：（1）360α-

的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；

教师备课系统──多媒体教案

8

（2）任意角α与α-的终边位置关系如何？ 结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：

sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=． 说明：①公式中的α指任意角；

②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-．

3. 诱导公式四： sin(180)sin αα-= ；

cos(180)cos αα-=- ．

说明：①公式四中的α指任意角；

②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-

．

用弧度制可表示如下：

s i n (π

s i n αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）． 4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系． 结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π

2

-α的终边与角α的终边关于直线y =x 对称，角

π

2

-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有

sin α=y ，cos α=x ；

sin(

π2-α) = x ，

cos(π

2

-α) = y ． 从而得到诱导公式五：

sin(

π

2-α) = cos α， cos(π

2

-α) = sin α．

由于π2+α =π-(π

2

-α)，由公式四及五可得

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修

9

公式六

sin(

π

2+α) = cos α， cos(π

2

+α) =- sin α．

公式五和公式六可以概括如下：

π

2

±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式. 三、例题讲解

例1 求下列三角函数值：（1）sin960

； （2）43cos()6

π

-． 解：（1）sin960sin(960720)sin 240=-=

sin(18060)sin60=+=- 32

=-

． （2）43π43πcos()cos 66-

=7π7π

cos(6π)cos 66

=+= ππcos(π)cos 66=+=-3

2

=-．

例2 已知：tan 3α=，求

2cos(π)3sin(π)

4cos()sin(2π)

αααα--+-+-的值.

解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan ααα

ααα

-+-+=

==--．

例3 化简

sin(π)sin(π)

()sin(π)cos(π)

n n n n n αααα++-∈+-Z ．

解：①当2n k k =∈Z ，时， 原式sin(2π)sin(2π)2

sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα

++-=

=+-．

②当21,n k k =+∈Z 时，

教师备课系统──多媒体教案

10

原式sin[(21)π]sin[(21)π]2

sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα

+++-+=

=-

++-+ 例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2π

tan()3

α-的值． 解：因为2πππ()33

αα-=-+， 所以，

2ππ

cos(

)cos[π()]33

αα-=-+=πcos()3α-+＝-m .

由于

π2π

63

α<<所以 2ππ

032

α<

-<

于是

22π2π

sin(

)1cos ()33

αα-=--=21m -. 所以，2π

sin(

)2π3

tan()32πcos()

3

ααα--=-=m m 2

1-- 四、课堂小结

1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+?∈-±-

的三角函数值

等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；

2．要化的角的形式为90k α?± （k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）

3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．

五、作业

课本第29页习题1．3B 组第1、2题.