试题2(详细答案)

实数几何

-------------------------4分y x

?-∈

------------------------------------3

yRz，(

x z x y y

-=-+-

-------------------------------------3分

到拓扑空间Y的任何映射都是连续映射。

是拓扑空间，:f X Y

→是连续映射，因为对任意A

是的一个子基

是实数空间的一个开机族（3分），并且

族之交的全体构成的集族恰好就是所有开区间构成的族（5分）

证 (1)? (3)：因为Y 的拓扑本身便是Y 的一个子基（3分）； (3)? (2)：设S 是满足条件(3)的一子基，根据定义

12{|,1,2,,;}n i B S S S S S i n n +

=??????∈=???∈

是Y 的拓扑的一个基。（2分）

1

1

111212()()()()n n f S S S f

S f S f S ----??????=?????

∴它是n 个开集的交，因此是X 中的开集（3分）

(2)? (1)：设B 是满足（2）的Y 的一个基。如果U 是Y 中的一个开集，则存在1B B

?使得1

A B U A ∈=?（2分），于是1

1

1

11()()()A B A B f

U f A f A ---∈∈=?=?是X 中的开集（3分）。

7. 设X 是 A 1 空间,}{,x A X A -?中序列).(A d x x x i ∈?→.

证 “?”:设序列

下证“?”. 设+∈Z i i U }{是x 在X 中下降的可数邻域基. }){(x A U x i i -?∈?则

.x x i → 事实上,

x ? 的邻域+∈?Z n U ,使U U U x n i U U n i i n ??∈>??,,