2013年山东省日照市中考数学试卷及解析

2013年山东日照初中学业考试

数学试卷

本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分120分,考试时间为120分钟．答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项:

1．第Ⅰ卷每小题选出答案后,必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.只答在试卷上无效．

2.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内,在试卷上答题不得分；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案．

4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

第Ⅰ卷(选择题40分)

一、选择题:本大题共12小题,其中1-8题每小题3分,9-12题每小题4分,满分40分．在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1.计算-22+3的结果是

A ．7

B ．5

C ．1-

D ． 5- 答案:C

解析:原式＝－4＋3＝－1,选C.

2.下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是

答案:A

解析:A 中,等边三角形底边的中算线为对称轴,是轴对称图形,其它都不是轴对称图形. 3.如图,H7N9病毒直径为30纳米(1纳米=10-9米),用科学计数法表示这个病毒直径的大小,正确的是 A.30×10-9米 B. 3.0×10-8米 C. 3.0×10-10米 D. 0.3×10-9米 答案:B

解析:科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式,其中1≤|a|＜10,n 为整数．确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时,n 是正数；当原数的绝对值＜1时,n 是负数．

30纳米＝30×10－

9＝3.0×10-8米 4.下列计算正确的是 A.222)2(a a =- B.632a a a ÷= C.a a 22)1(2-=-- D.22a a a =?

答案:C

解析:因为.22(2)4a a -=, 633a a a ÷=,23a a a ?=,故A 、B 、D 都错,只有C 正确. 5. 下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图(统计中采用“上限不在内”的原则,如年龄为36岁统计在36≤x ＜38小组,而不在34≤x ＜36小组),根据图形提供的信息,下列说法中错误．．的是( ) A ．该学校教职工总人数是50人

B ．年龄在40≤x ＜42小组的教职工人数占该学校总人数的20%

C ．教职工年龄的中位数一定落在40≤x ＜42这一组

D ．教职工年龄的众数一定在38≤x ＜40这一组

答案:D

解析:职工总人数为:4＋6＋11＋10＋9＋6＋4＝50,故A 正确；年龄在40≤x ＜42小组的教职工有10人

,

10

50

＝0.2＝20%,故B 也正确,在38≤x ＜40这一组有11人,最多,因此,众数肯定在这组,D 正确；中位数为6,故C 错,选C.

6．如果点P(2x ＋6,x －4)在平面直角坐标系的第四象限内,那么x 的取值范围在数轴上可表示为( )

答案:C

解析:因为点P 在第四象限,所以,260

40x x +>??

-

,即34x -<<,所以,选C.

7．四个命题: ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中

一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P(1,2)关于原点的对称点坐标为(-1,-2)； ④两圆的半径分别是3和4,圆心距为d ,若两圆有公共点,则.71<

4

6

A. ①②

B.①③

C.②③

D.③④ 答案:B

解析:三角形的中线分成两个三角形底边相等,高相同,故面积相等,①正确；两边和两边夹角对应相等的两个三角形才全等,故②错误；③正确；当d ＝1或d ＝7时,两圆有一个公共点,故④不正确,选B.

8.已知一元二次方程032=--x x 的较小根为1x ,则下面对1x 的估计正确的是 A ．121-<<-x B ．231-<<-x C ．321<

解析:用求根公式,得:11132x -=

,1162-＜1132-＜19

2

-,即11.51x -<<-,只有A 是正确的.

9. 甲计划用若干个工作日完成某项工作,从第三个工作日起,乙加入此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲计划完成此项工作的天数是

A.8

B.7

C.6

D.5 答案:A

解析:假设每天工作量是1,甲单独工作x 天完成.工作总量等于1×x,实际工作中甲做的1×(x-3)；乙做的1×(x-2-3) 1×x=1×(x-3)+1×(x-2-3),解得:x=8

10. 如图,在△ABC 中,以BC 为直径的圆分别交边AC 、AB 于D 、E 两点,连接BD 、DE ．若BD 平分∠ABC,则下列结论不一定成立的是

A.BD ⊥AC

B.AC 2=2AB·AE

C.△ADE 是等腰三角形

D. BC ＝2AD. 答案:D

解析:因为BC 为直线,所以,A 正确；可证△BCD ≌△BAD,得BC ＝BA,AD ＝CD,

又△ADE ∽△ABC,可得:AD ?AC ＝ADE ?AB,而AC ＝2AD,可知B 正确；因为ADE ∽△ABC, △ABC 是等腰三角形,所以,△ADE 是等腰三角形,C 也正确；只有D 不一定成立.

11．如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是

A ． M=mn

B ． M=n(m+1)

C ．M=mn+1

D ．M=m(n+1) 答案:D

解析:因为3＝(2＋1)×1,,15＝(4＋1)×3,35＝(6＋1)×5,所以,M ＝(n ＋1)×m ,选D. 12.如图,已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=.我们约定:当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2,若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M= y 1=y 2. 下列判断: ①当x ＞2时,M=y 2； ②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大； ③使得M 大于4的x 值不存在； ④若M=2,则x= 1 .其中正确的有

A ．1个

B ．2个

C ． 3个

D ．4个 答案:B

解析:当x ＞2时,由图象可知y 2＞y 1,M ＝y 1,所以,①不正确；当x ＜0时,由图象可知y 2＞y 1,M ＝y 1,x 值越大,M 值越大,②正确；

M 最大值为4,所以,③正确；M ＝2时,x 的值有两个,不一定是1,所以,④不正确,正确的有2个,选B.

第Ⅱ卷(非选择题80分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分．不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡相应位置上.

13.要使式子2x -有意义,则x 的取值范围是 . 答案:x ≤2

解析:由根式的意义,得:2－x ≥0,解得:x ≤2

14.已知62=-m m ,则.____________2212

=+-m m 答案:－11

解析:原式＝1－2(m 2－m)－1－12＝－11 15. 如右图,直线AB 交双曲线x

k

y =

于Ａ、B,交x 轴于点C,B 为线段AC 的中点,过点B 作BM ⊥x 轴于M,连结OA.若OM=2MC,S ⊿OAC =12,则k 的值为___________. 答案:8

解析:过A 作AN ⊥OC 于N,因为BM ⊥x 轴,所以,AN ∥BM,因为B 为AC 中点,所以MN ＝MC,

又OM ＝2MC ＝2MN,所以,N 为OM 中点,设A(a,b),

则OC ＝3a,

1

3122

a b ??=,得ab ＝8,又点A 在双曲线上,所以,k ＝ab ＝8.

16.如图(a),有一张矩形纸片ABCD,其中AD=6cm,以AD 为直径的半圆,正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠,使点A 落在BC 上,如图(b).则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为_____________.

答案:2)4

3

9π3(cm -

解析:半圆的半径为3,所以,AB ＝CD ＝3,'A D ＝AD ＝6,

'A C ＝33,'A B ＝6－33,设AE ＝x,在直角三角形EB 'A 中,

(3－x)2＋(6－33)2＝x 2,解得:x ＝12－63,tan

∠ADE ＝

1263

236

-=-,所以,∠ADE ＝15°,∠ADF ＝30°,∠AOF ＝60°,

S 半圆AD ＝92π,S 扇形AOF ＝

32

π, S △DOF ＝9

34

,

所以,阴影部分面积为:2)4

3

9π3(cm -

三、解答题:本大题有6小题,满分64分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分,(1)小题4分,(2)小题6分) (1)计算:

001)3(30tan 2)2

1

(3π-+--+-.

(2)已知,关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =,求实数

m 的值.

解析:分

分解：4 (13)

3

2................. .13

3

2(-2)3 )3(30tan 2)2

1

(3 0

01-=+?-+=-+--+-π

(2)(本小题满分6分)

解:原方程可变形为:0)1(22

2

=++-m x m x . …………………5分 ∵1x 、2x 是方程的两个根,

∴△≥0,即:4(m +1)2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥2

1-

. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, …………………8分 由△=0,即8m+4=0,得m=2

1-

. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意,舍去) 所以,当12x x =时,m 的值为2

1

-. ……………10分

18.(本题满分10分)

如图,已知四边形ABDE 是平行四边形,C 为边B D 延长线上一点,连结AC 、CE,使AB=AC. ⑴求证:△BAD ≌△AEC ；

⑵若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE 的面积. 解析:

(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.

又 ∵四边形ABDE 是平行四边形

∴AE ∥BD, AE=BD,∴∠ACB=∠CAE=∠B, ∴⊿DBA ≌⊿AEC(SAS) ………………4分 (2)过A 作AG ⊥BC,垂足为G.设AG=x,

在Rt △AGD 中,∵∠ADC=450,∴AG=DG=x,

在Rt △AGB 中,∵∠B=300,∴BG=x 3,………………6分

又∵BD=10.

∴BG-DG=BD,即103=-x x ,解得AG=x=

5351

310+=-.…………………8分

∴S

平行四边形ABDE

=BD·AG=10×(535+)=50350+.………………10分

19．(本题满分10分)

“端午”节前,小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若

干,放入不透明的盒中,此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为

3

1；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后,这时随机取出火腿粽子的概率为5

2

．

(1)请你用所学知识计算:爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？

(2)若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只,问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？(用列表法或树状图计算)

解析:(1)设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x 只、y 只, ……1分

根据题意得:???

????

=-+--=+.52733,3

1y x x y x x …………………………………4分

解得: ?

??==.10,

5y x 经检验符合题意,

所以爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只. ……………6分

(2)由题可知,盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只,我们不妨把两只火腿粽子记为a 1、a 2；3只豆沙粽子记为b 1、b 2、b 3,则可列出表格如下:

a 1 a 2

b 1 b 2 b 3 a 1 a 1 a 2 a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 2 a 2 a 1 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 b 1 b 1 a 1 b 1a 2 b 1 b 2 b 1 b 3 b 2 b 2 a 1 b 2a 2 b 2b 1 b 2 b 3 b 3

b 3 a 1

b 3a 2

b 3b 1

b 3b 2

…………8分

∴5

3

106)(==

A P …………………10分

20. (本题满分10分) 问题背景:

如图(a),点A 、B 在直线l 的同侧,要在直线l 上找一点C,使AC 与BC 的距离之和最小,我们可以作出点B 关于l 的对称点B′,连接A B′与直线l 交于点C,则点C 即为所求.

(1)实践运用:

如图(b),已知,⊙O 的直径CD 为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P 为直径CD 上一动点,则BP+AP 的最小值为__________． (2)知识拓展:

如图(c),在Rt △ABC 中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点,求BE+EF 的最小值,并写出解答过程． 解析: 22 )1( …………………4分

(2)解:如图,在斜边AC 上截取AB′=A B,连结BB′. ∵AD 平分∠BAC,

∴点B 与点B ′关于直线AD 对称. …………6分 过点B′作B′F ⊥AB,垂足为F,交AD 于E,连结BE,

则线段B ′F 的长即为所求.(点到直线的距离最短) ………8分 在Rt △AFB /中,∵∠BAC=450, AB /=AB= 10,

252

2

1045sin 45sin 00=?

=?=?'='∴AB B A F B , ∴BE+EF 的最小值为25. ………………10分

21. (本小题满分10分)

一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)x 3000 3200 3500 4000 y

100

96

90

80

(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式.

(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益

所有未租出的车辆每月的维护费

(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．

解析:(1)由表格数据可知y 与x 是一次函数关系,设其解析式ONG 为b kx y +=.

由题:???=+=+.963200,1003000b k b k 解之得:?????=-=.

160,

501b k

∴y 与x 间的函数关系是16050

1

+-=x y . ……………………………3分 租出的车辆数 160501

+-

x 未租出的车辆数 6050

1

-x 租出的车每辆的月收益 150-x 所有未租出的车辆每

月的维护费

3000-x

2222(3) 1

(160)(150)(3000)

501

16324000--300050

1

16324000-3000

5011

16221000(4050)307050 ............................95050 W W x x x x x x x x x x x x =-+---=-+-=-+-+=-+-=--+∴设租赁公司获得的月收益为元，依题意可得：

（）（）

分

当max 4050307050

4050307050 ............................10x W ==时，即：当每辆车的月租金写为元时，公司可获得最大月收益元。分

22. (本小题满分14分)

已知,如图(a),抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(x 1,0),B(x 2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点E 、F,过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点N.∠ONE=30°,|x 1-x 2|=8. (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)连结AD 、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P ,使得⊿ABP 与⊿ADB 相似？若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由；

(3)如图(b),点Q 为

上的动点(Q 不与E 、F 重合),连结AQ 交y 轴于点H,问:

AH·AQ 是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由.

解析:

(2)如图,由抛物线的对称性可知: BD AD =,DBA DAB ∠=∠．

相似，与使侧图像上存在点若在抛物线对称轴的右ADB ABP P ??, 必须有BAD ∠=∠=∠BPA BAP ．

设AP 交抛物线的对称轴于D′点, 显然)3

8,2(D ',

∴直线OP 的解析式为3

4

32+=x y , 由

23

2

6134322--=+x x x ,得10,221=-=x x （舍去）

. ∴)8,10(P . 过P 作,G x PG 轴，垂足为⊥

,8,4==?PG BG BGP Rt 中，在

∵8548422≠=+=

PB

∴BPA BAP .∠≠∠∴≠AB PB ．．

∴PAB ?与BAD ?不相似, …………………………9分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点．

所以在该抛物线上不存在点P ,使得与PAB ?与相似．…………………… 10分 (3)连结AF 、QF,

在AQF ?和AFH ?中, 由垂径定理易知:弧AE=弧AF. ∴AFH ∠=∠AQF , 又HAF ∠=∠QAF , ∴AQF ?∽AFH ?,

AF

AH

AQ AF =

∴

, 2AF AQ AH =?∴ ……………… 12分

在Rt △AOF 中,AF 2＝AO 2＋OF 2＝22＋(23)2＝16(或利用AF 2＝AO·AB ＝2×8＝16) ∴AH·AQ ＝16 即:AH·AQ 为定值. …………… 14分