初中数学函数基础知识全集汇编及答案
初中数学函数基础知识全集汇编及答案
一、选择题
1．如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：
①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；
②甲的速度比乙快1.5米/秒；
③甲让乙先跑了12米；
④8秒钟后，甲超过了乙
其中正确的说法是（）
A．①②B．②③④C．②③D．①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断．
【详解】
根据函数图象的意义，①已知甲的速度比乙快，故射线OB表示甲的路程与时间的函数关系；错误；
②甲的速度为：64÷8=8米/秒，乙的速度为：52÷8=6.5米/秒，故甲的速度比乙快1.5米/秒，正确；
③甲让乙先跑了12米，正确；
④8秒钟后，甲超过了乙，正确；
故选B．
【点睛】
正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到随着自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
2．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）
A．乙先出发的时间为0.5小时B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地早
1
12
小时
【答案】D
【解析】
试题分析：A．由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意；B．∵乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，故乙行
驶全程所用时间为：=（小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A
地，故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5=1.25（小时），故甲车的速度为：100÷1.25 =80（km/h），故B选项正确，不合题意；
C．由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60=100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；
D．由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣=（小时），故此选项错误，
符合题意．
故选D．
考点：函数的图象．
3．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发.他们离出发地的距离s/km和骑行时间t/h之间的函数关系如图所示．根据图象信息，以下说法错误的是（）
A．他们都骑了20 km
B．两人在各自出发后半小时内的速度相同
C．甲和乙两人同时到达目的地
D．相遇后，甲的速度大于乙的速度
【答案】C
【解析】
【分析】
首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得乙出发0.5小时后停留了0.5小时，然后又用1.5小时到达离出发地20千米的目的地；甲比乙早到0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地20千米的目的地，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．
【详解】
解：A.根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了20km ，故原说法正确；
B.乙在出发0.5小时后，路程不增加，而时间在增加，故乙在途中停留了1-0.5=0.5h ，故原说法正确；
C.从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.5小时，故原说法错误；
D.相遇后，甲直线上升得快，故甲的速度大于乙的速度，故原说法正确；
故答案为：C ．
【点睛】
此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
4．药品研究所开发一种抗菌新药，经过多年的动物实验之后首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药后的时间x （时）之间的函数关系如图所示，则当16x ≤≤，y 的取值范围是（ ）
A ．864311y ≤≤
B ．64811y ≤≤
C ．883y ≤≤
D ．816y ≤≤
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像分别求出03x 剟
和314x
【详解】
解：设当03x 剟
时，设y kx =， 38k ∴=， 解得：83
k =， 83
y x ∴=； 当314x
∴
38 140 a b
a b
+=
?
?
+=
?
，
解得：
8
11
112
11 a
b
?
=-
??
?
?=
??
，
8112
1111
y x
∴=-+；
∴当1
x=时，8
3
y=，当3
x=时，y有最大值8，当6
x=时，y的值是
64
11
，
∴当16
x
剟时，y的取值范围是88
3
y
剟．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求一次函数表达式和函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
5．如图，在Rt ABC
?中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D A B
→→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则BC的长为( )
A
132
B．3C
455
D
145
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象和图形的对应关系即可求出CD的长，从而求出AD和AC，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时AP的长，然后证出△APC∽△ACB，列出比例式即可求出AB，最后用勾股定理即可求出BC．
【详解】
解：∵动点P从点D出发，线段CP的长度为y，运动时间为x的，根据图象可知，当x=0时，y=2
∴CD=2
∵点D为AC边中点，
∴AD=CD=2，CA=2CD=4
由图象可知，当运动时间x=()211s +时，y 最小，即CP 最小 根据垂线段最短
∴此时CP ⊥AB ，如下图所示，此时点P 运动的路程DA ＋AP=()()
1211211?+=+
所以此时AP=(21111AD -=∵∠A=∠A ，∠APC=∠ACB=90°
∴△APC ∽△ACB
∴AP AC AC AB = 即1144AB
= 解得：AB=1111
在Rt △ABC 中，22455AB AC -= 故选C ．
【点睛】
此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
6．函数7y x =
- ） A ．7x ＞
B ．7x ≠
C ．7x ≤
D ．7x ≥ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式中，被开方数是非负数可得.
【详解】
函数7y x =
-70x -≥，所以7x ≤.
故选：C
【点睛】
考核知识点：自变量求值范围.理解二次根式有意义的条件.
7．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，
则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
分三段讨论：
①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；
③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
结合图象可得C选项符合题意．故选C．
D次哈尔滨至幸福镇的动车需要匀速通过一条隧道（隧道长大于火车8．如图，2020
长），火车在隧道内的长度与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道【详解】
火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；
火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；
火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；
符合上述分析过程的为：A
故选：A
【点睛】
本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化
9．如图，矩形ABCD 中，6cm AB =，3cm BC =，动点P 从A 点出发以1cm /秒向终点B 运动，动点Q 同时从A 点出发以2cm /秒按A D C →→B →的方向在边AD ，
DC ，CB 上运动，设运动时间为x （秒），那么APQ ?的面积()2cm y 随着时间x
（秒）变化的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分三种情况讨论△APQ 面积的变化，进而得出△APQ 的面积y （cm 2）随着时间x （秒）变化的函数图象大致情况．
【详解】
解：根据题意可知：AP ＝x ，Q 点运动路程为2x ，
①当点Q 在AD 上运动时，
y ＝
12AP?AQ ＝12
x?2x ＝x 2，图象为开口向上的二次函数； ②当点Q 在DC 上运动时， y ＝12AP?DA ＝12x×3＝32
x ，是一次函数；
③当点Q在BC上运动时，
y＝1
2
AP?BQ＝
1
2
x?（12?2x）＝?x2＋6x，为开口向下的二次函数，
结合图象可知A选项函数关系图正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是分三种情况讨论三角形APQ的面积变化．
10．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在对角线AC上，连接FB、FE．当点F 在AC上运动时，设AF＝x，△BEF的周长为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据正方形的对称性找到y的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低点x的值的大小（AM＞MC）可判断正确的图形．
【详解】
如图，连接DE与AC交于点M，
则当点F运动到点M处时，三角形△BEF的周长y最小，且AM＞MC．
过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：
故选B．
【点睛】
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，
∵EF∥AC，
∴EF BP
AC BO
=即
43
y x
=，
∴
4
3
y x =；
当P在OD上时，有
6
43 DP EF y x DO AC
-
==
即，
∴y=
4
8 3
x
-+．
故选C．
12．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（）．
①从开始观察时起，50天后该植物停止长高；
②直线AC 的函数表达式为1
65
y x =
+； ③第40天，该植物的高度为14厘米；
④该植物最高为15厘米．
A ．①②③
B ．②④
C ．②③
D ．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】 ①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高； ②设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC 线段的解析式，
③把x=40代入②的结论进行计算即可得解；
④把x=50代入②的结论进行计算即可得解．
【详解】
解：∵CD ∥x 轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
故①的说法正确；
设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），
∵经过点A （0，6），B （30，12），
∴30126k b b +=??=?
， 解得：156
k b ?=???=?，
∴直线AC 的解析式为165y x =
+（0≤x≤50）， 故②的结论正确；
当x=40时，1406145
y =?+=， 即第40天，该植物的高度为14厘米；
故③的说法正确；
当x=50时，
1
50
616
5
y=?+=，
即第50天，该植物的高度为16厘米；
故④的说法错误．
综上所述，正确的是①②③．
故选：A.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
13．如图1所示，A，B两地相距60km，甲、乙分别从A，B两地出发，相向而行，图2中的1l，2l分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用的时间x（h）的函数关系．以下结论正确的是( )
A．甲的速度为20km/h
B．甲和乙同时出发
C．甲出发1.4h时与乙相遇
D．乙出发3.5h时到达A地
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h时到达A地．
【详解】
解：A．甲的速度为：60÷2=30，故A错误；
B．根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时，故B错误；
C．设1l对应的函数解析式为111
y k x b
=+，
所以：1
11
60
20
b
k b
=
?
?
+=
?
，解得1
1
30
60
k
b
=-
?
?
=
?
即1l对应的函数解析式为13060
y x
=-+；
设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+，
所以：22220.503.560k b k b +=??+=?， 解得 22
2010k b =??=-? 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-，
所以：30602010y x y x =-+??=-?， 解得 1.418
x y =??=? ∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意； D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
14．2019年，中国少年岑小林在第六届上海国际交互绳大赛上，破“30秒内单脚单摇轮换跳次数最多”吉尼斯世界纪录！实践证明1分钟跳绳的最佳状态是前20秒频率匀速增加，最后10秒冲刺，中间频率保持不变，则跳绳频率（次/秒）与时间（秒）之间的关系可以用下列哪幅图来近似地刻画（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据前20秒频率匀速增加，最后10秒冲刺，中间频率保持不变判断图象即可．
【详解】
解：根据题意可知，中间2050:秒频率保持不变，排除选项A 和D ，再根据最后10秒冲刺，频率是增加的，排除选项B ，因此，选项C 正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数的实际应用，理解题意是解此题的关键．
15．如图，点P是等边△ABC的边上的一个做匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S与t的大致图象是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v，根据等边三角形的性质可得出点P在AB上运动时△ACP的面积为S，也可得出点P在BC上运动时的表达式，继而结合选项可得出答案．
【详解】
设等边三角形的高为h，点P的运动速度为v，
①点P在AB上运动时，△ACP的面积为S=1
2
hvt，是关于t的一次函数关系式；
②当点P在BC上运动时，△ACP的面积为S=1
2
h（AB+BC-vt）=-
1
2
hvt+
1
2
h（AB+BC），是
关于t的一次函数关系式；
故选C．
【点睛】
此题考查了动点问题的函数图象，根据题意求出两个阶段S与t的关系式，难度一般．
16．如图1．已知正△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2，则△EFG的最小面积为
（）
A．
3
4
B．
3
2
C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据图2判断△EFG的面积y最小时和最大时分别对应的x值，从而确定AB，EG的长度，求出等边三角形EFG的最小面积．
【详解】
由图2可知，x＝2时△EFG的面积y最大，此时E与B重合，所以AB＝2，
∴等边三角形ABC的高为3，
∴等边三角形ABC的面积为3，
由图2可知，x＝1时△EFG的面积y最小，
此时AE＝AG＝CG＝CF＝BG＝BE，
显然△EGF是等边三角形且边长为1，
所以△EGF的面积为3
，
故选A．
【点睛】
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象等边三角形等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
17．甲、乙两人在一条长为600m的笔直道路上均匀地跑步，速度分别为4/
m s和
6/
m s，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一人先到达终点的过程中，两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是（）
A．B． C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，在经过25秒，乙追上甲，则相距是0千米，相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是100秒，则相遇以后两人之间的最大距离是150米，据此即可作出判断．
【详解】
甲在乙前面50m处，若两人同时起跑，经过50÷（6?4）=25秒，乙追上甲，则相距是0千米，故A、 B错误；
相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是600÷6=100秒，故B.、D 错误；
相遇以后两人之间的最大距离是：2×(100?25)=150米．
故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的图象，理解函数图象上点的坐标的实际意义，掌握行程问题中的基本数量关系：速度×时间=距离，是解题的关键．
18．一辆货车早晨7∶00出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程y （km ）与行驶时间x （h ）的完整的函数图像（其中点B 、C 、D 在同一条直线上），小明研究图像得到了以下结论：
①甲乙两地之间的路程是100 km ；
②前半个小时，货车的平均速度是40 km/h ；
③8∶00时,货车已行驶的路程是60 km ；
④最后40 km 货车行驶的平均速度是100 km/h ；
⑤货车到达乙地的时间是8∶24，
其中，正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．①③⑤
C ．①③④
D ．①③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 根据折线图，把货车从甲地驶往乙地分为三段，再根据图象的时间和路程进行计算判断.
【详解】
①甲乙两地之间的路程是100 km ，①正确；
②前半个小时，货车的平均速度是：400.580?km/h ÷=，②错误；
③8∶00时,货车已行驶了一个小时，路程是60 km ，③正确；
④最后40 km 货车行驶的平均速度就是求BC 段的速度，时间为1.3-1＝0.3小时，路程为90-60=30km ，平均速度是300.3100?km /h ÷=，④正确；
⑤货车走完BD 段所用时间为：401000.4÷=小时，即0.46024?=分钟
∴货车走完全程所花时间为：1小时24分钟，
∴货车到达乙地的时间是8∶24，⑤正确；
综上：①③④⑤正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象的横、纵坐标表示的意义，理解问题的过程，并能通过图象得到自变量和函数值之间的数量关系是解题的关键.
19．某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：生产的零件不超过a件，则每件3元，超过a件，超过部分每件b元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的（）
A．a=20
B．b=4
C．若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产45件．
D．人乙一天生产40（件），则他获得薪金140元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象可以求得a、b的值，从而可以判断选项A和B是否正确，根据C和D的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意和图象可得，
a＝60÷3＝20，故选项A正确，
b＝（140?60）÷（40?20）＝80÷20＝4，故选项B正确，
若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产：20＋18060
203050
4
-
=+=（件），故选
项C错误；
由图象可知，工人乙一天生产40（件），他获得的薪金为：140元，故选项D正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随
之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=1
2
AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以
O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．