八年级数学多边形及其内角和(含解析答案)
多边形和内角和
练习题
温故而知新：
1.多边形
多边形的内角和：n边形内角和等于＿(n-2)·180°＿＿
多边形的外角和：任意多边形外角和等于＿＿360°＿
多边形的对角线：凸n边形共有＿1
(3)
2
n n-＿条对角线。
2.平面镶嵌
定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题.
说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案，正五边形不能镶嵌平面图案.
多边形的对角线
例 1 今年暑假，佳一学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图。
解析:
师生53人看作是53边形的53个顶点，n边形的对角线条数公式为：1
(3)
2
n n-。
答案：
解：将七（1）班师生53人看作是53边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式1
(3)
2
n n-得
1
??-=
53(533)1325
2
所以1325+53=1378次。
答：该班每周师生之间至少要通1378次电话
小结：（1）建立数学模型是解决实际问题的基本方法；（2）n边形的对角线的条数公式是
1
(3)
n n-
2
多边形的内角和与外角和
例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的1/3，求这个多边形的边数。
解析：
多边形的外角和为360°，根据多边形的内角和及外角和列方程.
答案：
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
1
n-?=
(2)180360
3
解得 n=8
答：这个多边形的边数是8.
小结：
利用方程求解是解决此类问题的一般方法。
例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）
A.60米
B.100米
C.90米
D.120米
解析：
根据多边形的外角和求出这个多边形的边数。
答案：
多边形的边数为360°÷20=18，
所以他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90（米）．
举一反三：
1、一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）
A、10
B、11
C、12
D、以上都有可能
解析：
设截后的多边形的边数为n，则（n-2)·180°＝1620°，n=11，所以原来的多边形可能是10或11或12边形.故选D.
常见的星形角度和
例4 如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=＿＿＿
解析：
连接DH，则∠3+∠4＝∠KDH+∠KHD,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和即为五边形ABGHD 的内角和.
答案：
解：连接DH，则∠3+∠4=∠KDH+∠KHD，
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和就等于五边形ABGHD的内角和。
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×180°=540°
例5 如图所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°，∠E=80°，试求∠F的度数。
发现这个题目直接去解决也不是很容易，我们应该作一条辅助线，这样也许能方便我们解决问题。
答案一：
解：延长CB交FA的延长线于G（如图）
因为CD∥AF，所以∠C+∠G=180°，
所以∠G=180°-∠C=180°-124°=56°，
所以∠BAF=∠G+∠GBA=56°+90°=146°
所以∠D=∠BAF=146°
因为∠FAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F
=（6-2）×180°=720°
所以∠F=720°-90°-124°-2×146°-80°=134°。
答案二：
解：连接AD（如图）
因为CD∥AF，所以∠1=∠2
在四边形ABCD中，AB⊥BC，所以∠B=90°。
所以∠BAD+∠1=∠BAD+∠2=∠BAF
=360°-（90°+124°）=146°
在四边形ADEF中，∠2+∠ADE=∠CDE=∠BAF=146°。
所以∠F=360°-（146°+80°）=134°（四边形内角和等于360°）。
缺角多边形的边数的求法
例6 佳一学校小聪在进行多边形的内角和的计算时，求得内角和为1680°，当他检查时发现答案错了，少加一个内角，你能找出这个内角吗？这个多边形是几边形？
解析：
n 边形的内角和为（n-2)·180°，少加的一个内角度数在0°～180°之间.
答案：
解：设少加的一个内角为x ，依题意有
1680(2)180x n +=-?。 解得2040180x n +=
因为0
180x ，又n 为整数，20401801160÷=，所以x=120° 204012012180
n +== 答：这个内角是120°，这是一个12边形。
小结：
本题考查了多边形内角和公式，根据多边形的边数为正整数求解，问题中如果出现两个未知量，但相等关系只有一个，这就需要借助不定方程求解.
下面我们来看检验一下自己的所学；
举一反三：
1、过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则()n m k -=＿＿＿＿
解析：
由m-3=7，得m=10.
n 边形没有对角线，所以n=3.
故原式=125.
2、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
解析：
观察图形可得，题图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.
答案：
解：因为∠A+∠C+∠E=180°,
又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.