2019-2020年高二数学数学归纳法公开课教案 人教版

一教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决

问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辨证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习

热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。初

步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

二教学重点和难点

教学重点（1）使学生理解数学归纳法的实质。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运

用。

教学难点：

（1）使学生理解数学归纳法证题的有效性；

（2）递推步骤中归纳假设的利用和代数恒等变换。

三教学方法：引导发现法.讲练结合法.

四教学手段：利用计算机多媒体课件、投影仪讲解教学。

五教学过程：

（一）创设情景、探究原理、激起兴趣

问题情境一：

问题（1）大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？

（课件演示）

问题（2）：若a n=(n2- 5n+5)2,则a n=(n2-5n+5)2=1

问题（3）：若－1＋3= 2

－1＋3－5= －3

－1＋3－5＋7= 4

－1+3－5＋7－9=－5

可猜想：

－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n吗

问题情境二：投影：数学家费马运用不完全归纳得出费马猜想的事例。

小结

归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法

①完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法

（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）

②不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法

（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）

问题情境三：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

多米诺骨牌操作实验

问题（4）如何保证任何条件下骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

①处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）

②验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）。

（二）导入课题,例练结合,激发思维

数学归纳法定义：对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：

(1) 先证明当n取第一个值n

0(例如n

=1) 时命题成立，

(2) 然后假设当n=k(k∈N＋,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法

叫做数学归纳法.

【回顾问题（3）】

例1：用数学归纳法证明：

－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n （*）

证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1,

∴当n=1时，结论成立

(2)假设当n=k时结论成立，

即－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k

在这个假设下再考虑当n=k+1时式（*）的左右两边。

左边＝－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1

=（－1）k k ＋（－1）k＋1 [2(k+1)－1]

＝（－1）k＋1 [－k＋2(k+1)－1]

凑假设

＝ （－1）k ＋1 (k+1)＝右边 所以当n=k+1时等式（*）成立。 由（1）（2）可知，

－1+3－5＋ …＋（－1）n （2n －1）＝（－1）n n

数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。。 主要有两个步骤、一个结论:

（1）证明当n 取第一个值n 0（如 n 0=1或2等）时结论正确（找准起点，奠基要稳） （2）假设n=k 时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（用上假设，递推才真） （3）由（1）、（2）得出结论(结论写明,才算完整)

其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。这两步缺一不可。只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础。

例2用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2

（分析见课件）

(三)练习巩固,展示强化,激活思维

1、某个命题与自然数n 有关, 如果当n = k ( k ∈N ＋ ) 时该命题成立 , 那么可推得当n = k + 1 时该命题也成立. 现在已知n = 5 时该命题不成立, 那么请判断以下各命题的正确性： (1) n = 4 时该命题不成立; (2) n = 6 时该命题不成立; (3) n = 1 时该命题可能成立;

(4) n = 6 时该命题可能成立. 如果n = 6 时该命题成立, 那么对于任意n ≥6 ，该命题都成立.

+=+++++++=

+k k k s s k

k k k s 121312111.2，那么设 解析: ○

1观察 ， 1)各项分母都是连续的自然数 2)第一项的分母分别是 3)最后一项的分母分别是

○

2从n=k 到n=k+1项数上有什么变化,多了那些项,少了项呢? 3.如下用数学归纳发证明对吗？

证明：①当n=1时，左边＝，右边＝

②设n=k 时，有

当n=k+1时，有

2112

11]

)21(1[212

12121211112+++-=--=++++k k k k ）

（

即n=k+1时，命题成立。

由①②可知，对n ∈N +，等式成立

4. 用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n ＋1)＝. （四）归纳小结,自我整合,激升思维.

1．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ① 明确初始值n 0并验证真假。（必不可少）

凑结论

n n 21(12121212132-=＋＋＋＋求证： k k )21(12

121212132-=＋＋＋＋

② “假设n=k 时命题正确”并写出命题形式。

③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k ”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。

④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。

可明确为重点：两个步骤、一个结论；

注意：递推基础不可少，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。

2．数学归纳法的核心思想： 数学归纳法是一种完全归纳法 ,它是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用“有限”的手段,来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。 (五)布置作业,综合延伸,激动思维 1．课本作业 p 50. 习题4. 1 1，2 2．补充作业:用数学归纳法证明

(3) 已知函数)(,1;2

2)(11-==+=

n n x f x x x x

x f ○1求 ; ○2猜测并用数学归纳法证明. (4) θθθ

θθcot ).2tan()2cos 1

1)....(4cos 11)(2cos 11(n n

=+++

3．预习课本P 49例1和例2

（六)课后反思,德育欣赏,激励思维

2

)1()1()1(4321).1(1

-n 21222+=+++-n n n n ---- n

n n n n 212111211214131211).2(+++++=+++ ----

德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：

任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜

想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年

6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家

欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任

意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对

大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论

是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：

“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不

能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这

就是著名的哥德巴赫猜想.

（七）教学设计思想

1、“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。

2、本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。

3、根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。努力使课堂充满平等、民主、和谐的研究气氛，并充分重视全体学生的全面发展，采用模式为（1）创设情景、探究原理，激起兴趣；（2）导入课题，例练结合，激发思维；（3）练习巩固、展示强化、激活思维；（4）归纳小结、自我整合，激升思维；（5）布置作业、综合延伸、激动思维；（6）课后反思、德育欣赏、激励思维。

4、教学过程中的主要环节

1）创设情景，回顾旧知识，并引入新问题，导出“归纳法”的概念，经历数学家的小故事，反衬不完全归纳法的缺憾，引起矛盾冲突，引发学生探索解决的需要，但问题又过于抽象，学生思维受阻，故由多米诺骨牌的课件展示，引导推其一把，在以实践问题解决为主线下，使学生带着问题去主动思考，交流合作，讨论，进而达到对知识的“发现”和主动“接受”。完成知识的内化，使书本知识成为自己的知识。

2）抽象的概念教学,在以上的铺垫下得以顺畅进行，突出强调归纳法的“两个步骤、一个结论”，并在例练中强调“数归法”的程序化重点“凑假设”和“凑结论”。

3）选择系列由易到难的练习巩固题组,力求让学生提高证明简易恒等式的能力.数学能力的提高离不开解题，所以在解题教学过程中,重点是向学生暴露思维过程和展示学生的思维过程，并重点展示学生发生错误、产生障碍、克服困难、由失败走向成功的经历，解题切入点或突破口的选定要舍得花时间分析引导，解题的每一步深入要真正落实到位，弄清运用到的基本数学方法，提炼数学思想。只有这样才不至于浮于表面现象，把握问题的本质，才能发现解题前预想不到的深层次的很多问题，使思维的深刻性和批判性得到有效训练。

4）作业课后反思中，布置了课外延伸综合题，使学生思维充分激活、激动起来，并且学生可上网或去调出课件中的材料，通过了解数学家费马、欧拉、哥德巴赫等猜想和故事，并因此激励学生，刻苦学习，努力钻研数学和其他科学知识。

2019-2020年高二数学斜线在平面上的射影直线和平面所成的角

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段．

2．有关平面的斜线的几个概念．

3．有关射影的几个概念．

4．射影定理．

5．有关直线和平面成角的几个概念．

（二）能力训练点

1．加深对数学概念的理解掌握．

2．初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念．

2．教学难点：定理的理解及有关直线与平面成角的练习．

3．教学疑点及解决方法：

（1）“斜线在平面上的射影”是“直线和平面所成的角”的基础；“斜线在平面上的射影”这一小节出现概念较多，为了便于学生理解和记忆，可以边画出课本的图形1-30边讲解，结合图形记忆，快而且准．教学中，一般先画出斜线AC与平面α斜交于C，再过AC上一点A 引AB⊥α，垂足为点B，连结BC，然后指出AC是平面α上的斜线；线段AC是点A到平面α的斜线段，线段AB是点A到平面α的垂线段，点B是点A到平面α的垂线的垂足，直线BC是线段AC在平面α上的射影．

（2）斜线段在平面上的射影是一条线段，斜线在平面上的射影是直线，垂线和垂线段在平面上的射影退化成一个点．

（3）为照顾一般习惯说法，课本中定义射影是用“在平面上”，而说点、直线“在平面内”，并非不同．

（4）射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的，否则，结论不成立．

（5）直线和平面相交，它们的相互位置与两条相交直线一样，仍需用角来表示，但过交点在平面内可以作许多条直线，与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不相等的，为了定义的准确性，所以取这些角中有确定值的最小角，也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角；

（6）直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之，由直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置：

②直线和平面平行或直线在平面内，θ＝0°．

③直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°．

三、课时安排

1课时．

四、学生活动设计

常规活动．（略）

五、教学步骤

（一）新课概念教学

1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影．这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段．

2．平面的斜线的有关概念

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．

3．射影的有关概念

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．

说明：教师边画出课本图形1-30，边讲解．

点B—点A在平面上的射影

AB—点A到平面的垂线段

AC—平面的一条斜线

C—斜足

线段AC—斜线段

直线BC—斜线AC在平面上的射影

线段BC—斜线段AC在平面上的射影

（板书）

（1）．点在平面上的射影．

（2）．点到平面的垂线段．

（3）．斜线、斜足、斜线段．

（4）．斜线在平面上的射影．

（5）．线段在平面上的射影．

（二）射影定理

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，

（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短．

关于射影定理说明如下：

设A为平面α外一点，AO⊥α，AB、AC为任意两条斜线，O为垂足，则OB和OC分别是AB 和AC的射影．

则AB和AC分别为Rt△ABO和Rt△ACO的斜边；由勾股定理可知

AB2＝AO2+OB2；

AC2＝AO2+OC2；

比较上面两个等式，得

还可以得到AB＞AO，AC＞AO．所以，AO过点A向平面α所引线段中最短的一条．

（三）直线与平面成角

1．定义：

（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．

（2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．

（3）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°度的角．

2．按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：

（1）直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0°角；

（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；

（3）直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．

3．斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．（让学生看书3分钟，加以理解）

（四）例题分析

1．如图1-82，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求：

（1）D1B1与面AC所成角的余弦值；

（2）EF与面A1C1所成的角；

（3）EF与面AC所成的角．

解：

（2）45°．

（3）45°．

2．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内，AC和BC与M所成的角分别是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．

分析：作出CD与平面M所成的角，然后去解含这个角的三角形．

解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意

∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，

∴∠CDC1＝60°．

3．可让学生完成课后练习1、2．

（五）归纳小结

这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．

六、布置作业

作为一般要求，完成习题四9、10．

补充：

1．AB是直角三角形ABC的斜边，三个顶点在平面M的同侧，它们在M内的射影分别是A1、B1、C1，如果三角形A1B1C1是正三角形，且AA1＝3cm，BB1＝5cm，CC1＝4cm．求三角形A1B1C1的面积．

解：设正三角形A1B1C1的边长为x．

则AC2＝x2+1 BC2＝x2+1 AB2＝x2+22

∵AC2+BC2=AB2，

2．已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为60°，45°，30°，PO⊥平面α，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求PO的长．

参考答案：