专训1.6 三角函数与解三角形(新高考地区专用)(教师版)

专训1.6 三角函数与解三角形

题号12345678910111213141516

答案B B A C B A B D ACD AD AB BCD32

2

3

2

2

3

，4

4

5

3、

思维导图答案速配

1．（2020·贵州贵阳·高三其他模拟）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（ ）

A ．35(

,

)(,

)244ππ

ππ

B ．5(

,)(,)424ππ

π

π C ．353(,)(,)2442

ππππ

D ．33(,)(,)244

πππ

π 【答案】B

【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：

sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，

当sin cos αα>，可得

5224

4

k k π

π

παπ+<<

+，k Z ∈． 当tan 0α>，可得222

k k π

παπ<<

+或3222

k k π

ππαπ+<<

+，k Z ∈． ∴

224

2

k k π

π

παπ+<<

+或5224

k k π

ππαπ+<<

+，k Z ∈． 当0k =时，

42π

π

α<<

或54

ππα<<

．

02απ≤≤，∴42ππα<<或54

π

πα<<．故选：B ．

2．（2020·江苏南通·高三月考）已知角α的终边经过点(1,3)，则22

2cos sin cos 2αα

α

-=（ ）.

A ．178

-

B ．

78

C ．78

±

D ．3

【答案】B

【解析】因为角α的终边经过点(1,3)，所以tan 3α=，

则2222222cos sin 2cos sin cos 2cos sin ααααααα--=-2222

2tan 2371tan 138

αα--===--，故选：B. 3．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟）将函数()sin 25f x x π?

?

=+

??

?的图象向右平移10

π

个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断：

①该函数的解析式为2sin 210y x π?

?

=+

??

?

； ①该函数图象关于点,02π??

???

对称； 一．单选题（每题5分，8题，共40分） 限时：16min

①该函数在区间,44ππ??

-

???

?上单调递增； ①该函数在区间,42ππ??????

上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．①① B ．①①

C ．①①

D ．①①

【答案】A

【解析】由函数sin 25y x π??=+ ??

?的图象平移变换的性质可知：

将sin 25y x π?

?

=+

??

?

的图象向右平移

10

π

个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ??

??=-

+

= ????

???

，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2

k x =

π

，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ??

???

π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π??

???

对称，选项①正确；

则函数的单调递增区间满足：222()2

2

k x k k Z π

π

ππ-≤≤+

∈，

即()4

4

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈，

令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ??

-????

，选项①正确，①错误.

故选:A.

4．（2020·广西高三其他模拟）在ABC ?中，4

A π

∠=，222a b c ab +-=，3c =，则a =（ ）

A ．2 B

C

D ．3

【答案】C

【解析】2

2

2

a b c ab +-=，①可得2221

cos 222

a b c ab C ab ab +-===.

(0,)C π∈，3

C π

∴=

，

4A π

∠=，3c =，①由正弦定理sin sin a c

A C

=

2=

，解得a = 故选：C.

5．（2020·福建漳州·高三其他模拟）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知(2)cos cos b c A a C -=?，则A =（ ） A ．

6

π

B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π 【答案】B

【解析】因为在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos b c A a C -=?， 所以由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，

所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =?+?=+=， 因为0B π<<，所以1cos 2

A =，又0A π<<，所以3A π=，

故选：B.

6．（2020·江西高三其他模拟）若1sin 63

πα?

?+= ??

?

，则5sin 26πα?

?+= ??

?

（ ） A ．

7

9

B ．

13 C ．

89

D ．

23

【答案】A 【解析】5sin 2sin 2cos 26

626ππππααα??????????+=++=+ ? ? ??????

????

?????22712sin 1699πα??=-+=-= ???. 故选：A

7．（2020·辽宁高三一模）函数()sin()0,0,||2f x A x A πω?ω??

?

=+>><

??

?

的部分图象如图所示，为了得到sin 2y x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）

A ．向右平移

3π

个单位 B ．向右平移6π

个单位 C ．向左平移3

π

个单位

D

．向左平移

6

π

个单位

【答案】B

【解析】由图象知1A =，

374126T T πππ??=--?= ???，22ππωω

=?=， 77312212

122f k π

ππ?π??

=-??+=+ ?

??

，得2,3k k Z π?π=+∈， 又||2?π<

，得3π

?=，所以()sin 23f x x π??=+ ??

?，为了得到sin 2y x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移

6

π

个单位即可.故选：B 8．（2020·河北石家庄·高三其他模拟）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若

()()(),4a b sinA sinB c sinC sinB b c +-=++=，则ABC ?的面积的最大值为（ ）

A ．

12

B ．

32

C ．1

D ．3

【答案】D

【解析】根据正弦定理知()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+ 化为为()()()a b a b c c b +-=+，即222a b c bc =++，

故2221

cos 22

b c a A bc +-=

=-，(0,)A π∈，故23A π=

，则3

sin A =． 因为4b c +=，2b c bc +≥，所以4bc ≤， 当且仅当2b c ==，等号成立， 此时ABC ?的面积1

sin 32

S bc A =

≤， 故ABC ?的面积的最大值为3． 故选：D ．

9．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知函数，f （x ）＝2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6

x π

=-，则（ ）

A ．点(

,0)3

π

是函数，f （x ）的一个对称中心

B ．函数f （x ）在区间(

,)

2

π

π上无最值

C ．函数f （x ）的最大值一定是4

二．多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题，共20分） 限时：10min

D ．函数f （x ）在区间5(,)66

ππ

-上单调递增 【答案】ACD

【解析】由题意，得()2sin cos )f x x a x x θ=-=-，θ为辅助角，

因为对称轴为6

x π

=-

，所以()16f π-=-|1|=-，解得a =

所以()4sin()3f x x π

=-

；故()03

f π

=，所以A 正确；

又当232x k ππ

-

=+π（k ①Z ），即当526

x k ππ=+（k ①Z ）时， 函数f （x ）取得最大值4，所以B 错误，C 正确；

22232k x k πππ-+π<-<+π（k ①Z ）?52266

k x k ππ

-+π< <+π（k ①Z ），所以D 正确； 故选：ACD.

10．（2020·福建高三其他模拟）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin 23y x π?

?

=+ ??

?

，则下面结论正确的是（ ）

A ．把曲线1C 向左平移6π

个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12

倍（纵坐标不变），得到曲线2C

B ．把曲线1

C 向左平移3

π

个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2C

C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移6π

个单位长度，得到

曲线2C

D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移12π

个单位长度，得到

曲线2C 【答案】AD

【解析】2sin 2sin 2cos 23266y x x x ππππ?

????

?=+=++=+

? ? ??????

?，

所以将曲线1C ：cos y x =向左平移

6π

个单位长度，得cos 6??=+ ??

?y x π，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍（纵坐标不变），得到曲线cos 26y x π??=+ ??

?；

或将曲线1C ：cos y x =上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到cos 2y x =，再把得到的曲线向

左平移

12

π

个单位长度，得到cos 2cos 2126y x x ππ??

???

?=+

=+ ? ??????

???， 故选：AD

11．（2020·高邮市第一中学高三月考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边上的一点为

()2,P m m -（0m ≠），则下列各式一定为负值的是（ ）

A ．sin cos αα

B ．tan α

C ．cos sin αα-

D ．cos2α

【答案】AB 【解析】由题意知： (1)若m > 0时，有

1

sin tan

2ααα===-

①23

sin cos ,cos sin 2

55ααααα=--==

(2)若m < 0时，有

1sin tan

2ααα=

==-

①23

sin cos ,cos sin 2

55ααααα=-

-== 综上，知：一定为负值的有tan α、sin cos αα 故答案为：AB

12．（2020·东营市第一中学高三月考）在ABC ?中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若

2,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10

CDB ∠=

B ．AB

C ?的面积为8

C ．ABC ?的周长为8+

D ．ABC ?为钝角三角形

【答案】BCD

【解析】因为cos CDB ∠=所以sin CDB ∠==,故A 错误；

设CD a =,则2BC a =,在BCD 中,2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-??∠,解得a =所以

11

sin 3322DBC

S

BD CD CDB =

??∠=?=,

所以35

83

ABC

DBC

S

S +=

=,故B 正确；

因为ADC CDB π∠=-∠,所以()5cos cos cos ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=, 在ADC 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-??∠,解得25AC =, 所以()352525845ABC

C

AB AC BC =++=+++=+,故C 正确；

因为8AB =为最大边,所以2223

cos 025

BC AC AB C BC AC +-==-

确. 故选:BCD

13．（2020·广西南宁三中高三其他模拟）已知ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1

cos 3

A =

，2

3

b c =

，且ABC ?的面积是2，a =___________. 【答案】

32

【解析】

1cos 3A =，122

sin 193

A ∴=-=，

2

3

b c =

，且ABC ?的面积是2， 1sin 2ABC S bc A ?∴=，12222233c c ∴=??，32

2

c ∴=，2b =，

由余弦定理得222932192cos 2222322a b c bc A =+-=+

-???=，32

2

a ∴=

. 故答案为

32

2

． 14．（2020·四川省绵阳江油中学高三月考）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

sin

sin 2B C

b a B +?=?，且2

c =，30B ?=，则ABC ?的面积为________. 【答案】

32

【解析】sin

sin 2B C b a B +?=?，故sin sin 90sin sin 2A B A B ??

??-=? ??

?，sin 0B ≠，

三．填空题（每题5分，4题，共20分） 限时：10min

故cos 2sin cos 222A A A =，cos 02A ≠，故1

sin 22A =，0902

A ??<<，

故

302

A

?=，60A ?=，30B ?=，故90C ?=，

根据正弦定理：

2sin sin sin a b c

A B C ===，故a =1b =，

11

sin 11222

S ab C =

=?=

.

15．（2020·浙江高三其他模拟）在ABC ?中，角4，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0c A C =，则角C = ，若ACB ∠的角平分线交AB 于点D ，且1CD =，则ab 的最小值是______. 【答案】

23

π

；4

【解析】因为sin cos 0c A C =，所以sin sin cos 0C A A C =，

又sin 0A ≠ ，可得sin 0C C +=，即tan C =， 因为0C π<<，所以23

C π=

. 如图，即

111

sin1201sin601sin60222

ab b a ?=??+??

整理得：ab b a =+ ，所以ab ≥2≥ 所以4ab ≥. 故答案为：

23

π

；4.

16．（2020·浙江高三其他模拟）四边形ABCD 中，60BAD ∠=?，120BCD ∠=?，BC =5BD =，则cos BDC ∠=________，AB AC ?的最大值________.

【答案】

4

5

30

【解析】BCD 中，

sin sin BD BC BCD BDC =∠∠，①3

sin 55

BDC ?∠==，BDC ∠为锐角，①

4cos 5

BDC ∠=

， ①60BAD ∠=?，120BCD ∠=?，①,,,A B C D 四点共圆，

①BC =①当A 到BC 的距离最大时，ABC 面积最大，此时A 是边AB 的中垂线与外接圆的交点， 设A '在BC 的中垂线上，O 是圆心，E 是BC 中点，则,,A O E '共线，A E BC '⊥，

外接圆的直径为52sin sin120BD R BCD =

==

∠?OA OB OC '===，又12CE BE BC ===①

3OE ==，A E OA OE ''=+= 11

922

A BC S BC A E ''=

?=?=△，又113

sin sin 2210

A BC S A

B A

C BA C A B A C BDC A B A C ''''''''=

?∠=?∠=?△， ①

3

910

A B A C ''?=，①30A B A C ''?=． 又113sin sin 2210

ABC

S

AB AC BAC AB AC BDC AB AC =

?∠=?∠=?， ①AB AC ?的最大值是30．故答案为：4

5

；30