第十一章稳恒电流的磁场[一]作业答案解析

一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度

毕奥—萨法尔定律：3

04r r

l Id B d

?=πμ

1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a I

B πμ20=

半无限长载流直导线a I

B πμ40=,直导线延长线上0=B

2. 圆环电流的磁场232220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθ

μ220?

=R I B 电荷转动形成的电流：π

ω

ωπ22q q T q I ===

【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为

(A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上

均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B

的大小为 (A)

)

(20b a I

+πμ． (B)

b b

a a

I

+πln

20μ．(C) b

b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ．

解法：

【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强

度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：

根据直线电流的磁场公式和圆弧电流产生磁场公式

可得

【 】自测提高7、边长为的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正

方形以角速度绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以

角速度绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为 (A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2． (C) B 1 = 2

1

B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 解法：

设正方形边长为a 相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效

电流相同， 为

当正方形绕AC 轴旋转时，一个点电荷在O 旋转产生电流，在O 点产生的总磁感应强度的大小为

在O 点产生的磁感应强度的大小为

基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取

一电流元l I

d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 ，方向

为 。 解法：

根据毕奥-萨伐尔定律自测提高19、将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D

点的磁感强度B

的大小。

解法：

其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ=

AB 段在D 处的磁感强度

BC 段在D 处的磁感强度

1B

、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为

基础训练23如图所示，半径为

R ，线电荷密度为 (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度转动，求轴线上任一点的

B

的大小及其方向．

解法：

代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得

方向沿y 轴正向。

二、利用安培环路定律求对称性分布的电流周围的磁场

安培环路定理：∑?=?i I l d B 0μ

1.无限长载流圆柱导体R r >，r I B πμ20=。R r <202R

Ir

B πμ= 2.长直载流螺线管?

?

?=外内00nI B μ

3.环形载流螺线管???

??=外

内0

20r

NI B πμ

4.无限大载流导体薄板20nI B μ

=

，两块无限大载流导体薄板???=两板之间两板外侧nI B 0

μ

【 】基础训练5、无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B

的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所

示．正确的图是

解法：

根据安培环路定理：当 a r < 时0=B 当

a r

b >>时

当b r >时且a r =时0=B 和a r b >>时，曲线斜率随着r 增大。

自测提高16、如图所示．电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R 的薄球壳

外表面上，若球壳以恒角速度0绕z 轴转动，则沿着z 轴从－∞到＋∞磁感强度的线积分等于____________________． 解法：

由安培环路定理

而

，

故

基础训练18、将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度

为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i ，则管轴线磁感强度的大小是 （提示：填补法） 解法：

根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练25、一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图11-42所示。在两导线中有等值反向的电流I 通过，求： (1) 内导体中任一点(r

(3) 外导体中任一点(bc)的磁感应强度。 解法：

导线的电流成右手螺旋关系。其大小满足：

∑=内

L r B I 20μπ （r 为场点到轴线的距离）

(2)I r B b r a 02 :μπ=<<，

(4)0B 02 :=∴=?>，r B

c r

π

三、磁通量的计算

S d

，S d B d m ?=Φ，?Φ=Φm m d

高斯定理：?

=Φ0m d

基础训练11、均匀磁场的磁感强度B 与半径为r 的圆形平面的法线n

的

夹角为，今以圆周为边界，作一个半球面S ，S 与圆形平面组成封闭面如图11-31．则通过S 面的磁通量 = 。（提示：填补法） 解法：

根据磁场的高斯定理，通过S 面的磁通量数值上等于通过圆平面的通量。

当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S 面的磁通量为负值。

自测提高13、一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a ．则B

在圆柱侧面S 上的积分

=???S

S B d _______．

解法：

根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练22.、一无限长圆柱形铜导体(磁导率0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量． 解法：

根据安培环路定理，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感应强度的大小为：

因此，穿过导体内矩形截面的磁通量为

12-3）

在导体外

穿过导体外矩形截面的磁通量为

故总的磁通量为

附加题

自测提高26、 均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为，绕垂直于直线的轴O 以角速度

匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．如图11-43所示，求：

(1) O 点的磁感强度0B ；

(2) 系统的磁矩m p

；

(3) 若a >> b ，求B 0及p m ． 解法：

（1）将带电细杆分割为许多电荷元。在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：

它在O 点产生的磁感应强度为

根据?=00B d B

，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大小为

（2） dq 所等效的圆电流dI 方向垂直于纸面向内； 根据?

=m m p d p

，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p

的大小为

（3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ在o 点产生的磁感应强度为

系统的磁矩★★★★布置的作业中遗漏

（自测提高24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩m p

与电

子轨道运动的动量矩L 大小之比，并指出和L

方向间的关系．(电子电荷为e ，电子质量为

m )

解：设电子绕核运动的轨道半径为R ，匀速圆周运动的速率为v 。 核外电子绕核运动等效的圆电流为

图11-43

完美WORD 格式

电流的磁矩

电子轨道运动的动量矩

mvR L =

可见

两者的方向相反。

（自测提高28）用安培环路定理证明，图中所表示的那种不带边缘效应的均匀磁场不可能存在． 证明：用反证法. 假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B ．作

矩形有向闭合环路如图所示，其ab 边在磁场内，其上各点的磁感强度为B ，cd 边在磁场外，

由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理

因 ．所以 = 0，这不符合原来的假设．故这样的磁场不可能存在．