微积分第三版课后习题答案
微积分第三版课后习题答案
【篇一：微积分下册练习题(含答案)】> n?1
?
n
的部分和数列?sn?的极限存在是级数
?u
n?1
?
n
收敛的充要条件。
2、判断级数
?
n?1
?
nsin3
2n
n
的敛散性。
nsin3
解：
nn?1
?n，而limn?1?1，故收敛。
n??n22n2n
n2
3、级数
n?1
?
?
?xn
的收敛半径为r?2。
2n
4、幂级数
?
n?
1
?1?x?
3
n
的收敛区间为?1。
?
5、将函数f?x??ln?1?x?展开成x的幂级数是
?x?
121314x?x?x?234
,x???1,1?。
6、微分方程
dy
?y?sin?x2?c?。 dx
x
7、求微分方程y??y?e的通解。解：y?e?
dx
?exe??dxdx?c??exx?c
???????
x4
?c1x2?c2x?c3。 8、微分方程y????sinx?6x的通解是y??cosx?4
9、微分方程y???y??2y?e的通解。
2
解：特征方程为r?r?2?0，解得r,r2?2，另外特解是y?1??1 ?
x
1x
e， 2
从而通解为y?c1e
?x
1
?c2e2x?ex
2
x
10、微分方程y???y?e
?
?x?1?的特解可设为y??ex?ax?b?。
n??
11. 级数?un收敛的必要条件是limun?0 .
n?1
12. 交换二次积分的次序?0dy?0f(x,y)dx=?0dx?xf(x,y)dy 13. 微分方程y???4y??4y?2xe2x的特解可以设为y*?x2(ax?b)e2x. 14. 在极坐标系下的面积元素d??rdrd?. 15. 级数?(?1)
n?1?
n?1
1y11
1n
32
为（ a ）.
a.绝对收敛;
b. 条件收敛;
c.发散;
d. 收敛性不确定. 16.
幂级数?(?1)
n?1?
n?nn1
的收敛半径为( r? ).
3xy
17. 设z?sin(x?y)?e,求dz.
(?y?)xe解：zx?cosx(?y?)yexy zy?cosx
dz?[cosx(?y?)ye
?
xy
xy
]d?x[cos?x(y?x)yxe
dy
(?1)n
(x?1)n的收敛域. 18.求幂级数?nn?1
解 r?1
当x?2时收敛当x?0时发散
收敛域为(0,2].
1
19.将f(x)?展开为麦克劳林级数. 2
2?x?x??
11?11?
?解： ??2
2?x?x3?1?x?x??
2?1????2????
2分
?
11?
31?x6(1?x)
2
n
3分
1?n1??x???x??(?1)n??3n?06n?0?2?
5分
1??1????1?(?1)nn?1?xn3n?0?2?
6分
x?1
7分
20. 求微分方程y??2xy?4x在初始条件yx?0?3下的特解.解y?e
??2xdx
?
c??4xexdx
x2
2
?
5分
3分 4分
?e?ce
?x2
[c?2?ed(x2)]
?x2
?2
将yx?0?3代入上式得 c?1
所求特解为y?e
?x2
6分
?2
7分
【篇二：微积分3习题答案】
?3?x)?f(x0)
??3a
?x?0?x
2．函数f?x??xx在点x?0处的导数f?0?? 0
1．设f(x0)?a，则lim
3．根据导数定义，函数f?x??xx?在点x?1处的导数f?1?? 不存
在 4．函数f?x??sinx在点x?0处的导数f?0??不存在 5．设函数
f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)?(x?n)（其中n为正整数），则f(0)?
1
↑ ?kk?12
7．设f?x??x2，则f?f?x??? 2x
f(x0)?f(x0?2h)
?3，则dy|x?x0??9dx 8．设y?f(x)，且lim
h?06h
9．y?x2?e?x，则y(0)? 3
6．曲线y??1?x?e在点x?0处的切线方程为y? 2x?1 n!
x
n
d2y?1
?10．设x?a(t?sint)，y?a(1?cost)，则 dx2a(1?cost)2
11arcsinx?)dx 11．设0?x?1，则d(xarcsinx)? (2x2?x
?x?1?t2
12．求曲线?在t?2处的切线方程y?8?3(x?5) 3
?y?t
1
13．设y?2x?1，则其反函数x?x(y)的导数x?(y)?
2
dy12
arctan4 14．设y?x?1)?arctan2x，则导数在点x?4处的值为 ?
dx417
1
15．设需求函数q?a?bp，则边际收益r?q???a?2q?
b
5
16．某商品的需求量q与价格p的关系为q?p，则需求量q对价格
p的弹性是17．设某商品的需求函数为q?1000?2p，其中p为价格，q为需求量，则该商品的收
er1000?2q
?益弹性
1000?qeq
18．某商品的需求函数为q?1000?2p，其中p为价格，q为需求量，则销售该商品的
a?2bp
边际收益为r?q?? 500?q
a?bp
er
?19．某商品的需求量q与价格p之间的关系为q?a?bp，则该商品的收益弹性ep
二、单项选择题
f(x0?h)?f(x0)
?1，则f(x0)为④ 1．设f(x)是可导函数，且lim
h?02h
①1 ②2③－1④－2 2．设f(x)在x?1处可导，且f(1)?2，则lim
f(1?x)?f(1?x)
?③
x?0x
①1 ②2 ③4 ④3
3．函数f?x??x在x?0处满足下列哪个结论④
3
①极限不存在②极限存在，不连续③连续，不可导④可导
4．函数f?x?在区间?a,b?内连续是f?x?在?a,b?内可导的②①充分但非必要条件②必要但非充分条件③充分必要条件④既非充分又非必要条件
5．设f(x)为奇函数，则其导数f?(x)的奇偶性为②①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定
6．设函数f(x)可导，记g(x)?f(x)?f(?x)，则导数g?x?为①①奇函数②偶函数③非奇非偶④奇偶性不定
1
①与?x等价的无穷小②与?x同阶的无穷小，但不等价③与?x低阶的无穷小④与?x高阶的无穷小
?x
x?0?
8．函数f(x)??1?e1，在x?0处② x
?x?0?0
①不连续②连续但不可导③可导，且f(0)?0 ④可导，且f(0)?1 9．设f(x)?xlnx在x0处可导，且f?(x0)?2，则f(x0)? ②
7．设函数y?f(x)有f(x0)?
①0 ②e ③1④e 10．设e①e
2x
2x
2
为f(x)的导函数，则f??(x)?②
②2e2x③4e2x ④0
11．设f?(0)?2，则当x?0时，f(x)?f(0)是x的②①低阶无穷小量
②同阶无穷小量③高阶无穷小量④等价无穷小量
三、求下列导数或微分
dy
1．设y?x?x?x，求（
dx
2．设y?
?1?2x??1??
2x?x?x?2x?x
1??） ??
xsin
dy11111，求（） sin?cos
dxxx2xx2x
3．y?ex?sinx?cosx?，求
4．y?x?sinlnx?coslnx?，求dy（2coslnxdx） 5．y??x2，求dy(6．设y?3?x?x
x
3
sin3x
yx?0（=2）
xdxx?x
2
)
sin3x?
?） x?
112
7．设y?x?arctan?ln?x，求y （arctan）
xx
?11?x?1?x?1
8．设y?（x?1），求dy（(x?1?x?1)? ????dx）
x?1?x?1?2x?12x?1?
9．设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，求f?(0)（=100！）
，求y? （y??3xln3?3x2?xsin3x?3cos3xlnx?
?
?
xsinxsinx?xcosx?x2cosx
10．设y?，求dy （dx） 2
1?x(1?x)dyxexexx2?ex
11．y?，求（）
x2dxx?exx?e
?
?
x?13x21
12．设y?arctan(（|x|?1），求y?（） x?2)?ln?
x?11?(x3?2)2x2?1
6x2??6
13．设y?x6(x2?1)3(x?2)2，求y?（x6(x2?1)3(x?2)??2??）
xx?2x?1??
3
14．设y?
(x?1)2x?2
(x?2)2
(x?1)2x?2?212?
，求y? （???x?14(x?2)3(x?2)?） 2??(x?2)
1
x
1?lnx
） 2
x2xsinx?2sinx?22sinx
16．设y?(1?x)，求dy （(1?x)cosxln(1?x)?dx） 2??1?x??
2x?y(x2?y2)exy22xy
17．由ln(x?y)?e?1确定y是x的函数y(x)，求y?(x)y??? 22xy 2y?x(x?y)e
15．设y?x（x?0），求y? （x?
1
x
yex?ey
18．已知ye?xe，求y(y)
xe?ex
y?y?xlny?xy
19．已知y?x，求y（）
xx?ylnx2
20．已知y?cot(x?y)，求y （sec(x?y)）
1
21．已知y?ln?y?x??0，求y （）
y?x?1
x
y
22．由ex
2
?y
2
?sin(xy)?5确定y是x的函数y(x)，求y(x)y??
2xex2ye
2
?y2
?ycos(xy)?xcos(xy)
x2?y2
23．设函数y?y(x)由方程ln(y?x2)?x3y?sinx确定，求
dy
（=1） dxx?0
dy1?y2
24．设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x)，求（y??） 2
dxy
ay?x2
25．求由方程x?y?3axy?0（a?0）确定的隐函数y?y(x)的微分
dy2dx
y?ax
y
26．已知y(x)是由方程siny?xe?0所确家的隐函数，求y?，以及
该方程所表示的曲线
3
3
ey
在点(0,0)处切线的斜率。（?，?1）
cosy?xey
f?
27．设y?y(x)由方程y?f[x?g(y)]所确定，其中f和g均可导，求y?（）
1?f??g?
d2y
28．函数y?y(x)由方程e?e?xy?0确定，求
dx2
x
y
x
y
x?0
[解] 对方程两边关于x求导，得e?ey??y?xy??0，两边关于x再求导，得
ex?eyy?2?eyy???y??y??xy???0
d2y
又当x?0时，y?0，于是y?(0)?1，故
dx2
??2
x?0
?x?e2tcos2tdysin2t?sint?cost29．设?，求（） 22t2
dxy?esintcost?sint?cost?
30．设y?y(x)由x?(1?s)
2
1
2和
?s2dy
） y?(1?s)所确定，试求（?
2dx?s
1
22
?x?ecos2tdy31．设?，求（=－1） 2
dxy?esint?
?x?etcost2dyet(2sint?cost)32．设?，求（） 222t
dxy?esintcost?2tsint??x?e2tdy3
t?033．若参数方程为?，求在时的值。（） 2
dx2?y?t?3t?2
?x?2sin3td2yet(cos3t?3sin3t)34．设?，求（） t32
36cos3tdx?y?e?ln2
?x?e?td2y35．设?，求（（3?2t)e3t） t2
dx?y?te?x?e2t1?4t3?5td2y
?e?e） 36．设?，求（?t2
24dx?y?t?e
?x?t?sint?2d2y
37．设曲线方程为?，求此曲线在点x?2处的切线方程，及 2
dx?y?t?cost
[解] 当x?2时，t?0，y?1，
dy1?sintdy1
?，?， dx1?costdxt?02
1d2yd?dy?1sint?cost?1
??? 切线方程：y?1?(x?2)； ??
2dx2dt?dx?dx(1?cost)3
dt
38．设y?(1?x)(2?3x)2(4?5x)3，求y(5)(0) （=63900）四、应用题
1．设生产某商品的固定成本为20000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，总收益
12
x（假设产销平衡），试求边际成本、边际收益及边际利润。 2（c?(x)?100，r?(x)?400?x，l?(x)?300?x）
4
2．一人以2m/秒的速度通过一座高20m的桥，此人的正下方有一小船以m/秒的速度与桥
3
函数为r(x)?400x?
垂直的方向前进，求第5秒末人与船相离的速率。 [解] 设在时刻t 人与船的距离为s，则
1?4?
s?202?(2t)2??t??3600?52t2，
3?3?
2
ds52tds26
（m/s） ??2dt33600?5tdtt?521
26
答：第5秒末人与船相离的速率为（m/s）
21
五、分析题
1．设曲线f(x)在[0,1]上可导，且y?f(sin2x)?f(cos2x)，求（y??[f?(sin2x)?f?(cos2x)]sin2x）
2．设曲线方程为x3?y3?(x?1)cos(?y)?9?0，试求此曲线在横坐
标为x??1的点
处的切线方程和法线方程。（y?2??(x?1)，y?2?3(x?1)） 3．设
f(x)?3|a?x|，求f?(x)
dy dx
13
??3a?xln3x?a
（f?(x)??x?a，且f(x)在点x?a处不可导）
?3ln3x?a
?sinxx?0
4．讨论函数f(x)??在x?0处的可导性。
x?1x?0?
（f(x)在x?0处不连续，不可导）
?k?ln(1?x)x?0
5．设f(x)??，当k为何值时，点x?0处可导；此时求出f?(x)。sinx
x?0?e
1?
x?0?
（当k?1时，f(x)在点x?0处可导；此时f?(x)??1?x）
sinx??ecosxx?0
f(x)
6．若y?f(x)是奇函数且在点x?0处可导，则点x?0是函数f(x)?什么类型的
x
间断点？说明理由。 [解] 由f(x)是奇函数，且在点x?0处可导，知
f(x)在点x?0处连续，f(0)??f(0)，
则f(0)?0，于是limf(x)?lim
x?0
x?0
f(x)?f(0)
?f?(0)存在，
x?0
故点x?0是函数f(x)第一类间断点（可去）。
?2ex?ax?07．试确定常数a,b的值，使得函数f(x)??2处处可导。 ?x?bx?1x?0f(x)?limf(x)?f(0)，即 [解] 为使f(x)在点x?0处连续，必须lim??
x?0
x?0
x?0?
limf(x)?2?a，limf(x)?f(0)?1，所以a??1， ?
x?0
?(0)?f??(0)，即为使f(x)在点x?0处可导，必须f?
f(x)?f(0)2(ex?1)
f??(0)?lim?lim?2， ?
x?0?x?0x?0x
f(x)?f(0)x2?bx
f??(0)?lim?lim?b，所以b?2
x?0?x?0?x?0x
2
?x??t3dy?2?0 8．验证?（?1?t?1），满足方程y2
dx?y??t
【篇三：微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题
详解】
/p> 1．设s=
1２dsgt，求2dt
t?2
．
1
2
1
g解：
dst?
g?4dt?lims(t)?s(2)
2t?2
?limt?2t?t?2t?2
?lim
1
t?2
2
g(t?2)?2g 2．设f(x)=
1
x
，求f?(x0) (x0≠0)．解：f?(x)?(1x)??(x?1
)???1x
2
f?(x0)??
1
x2(x0?0) 0
3．（1）求曲线y?x2上点（2，4）处的切线方程和法线方程；（2）求过点（3，8）且与曲线y?x2相切的直线方程；（3）求y?ex上点（2，e2
）处的切线方程和法线方程；（4）求过点（2，0）且与y?ex相切的直线方程。
解：略。
4．下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出a表示什么：
(1) f(x0??x)?f(x0)
?lim
x?0
?x
=a;
(2) f(x0)=0, xlim
f(x)
?x0
x?x
＝a； 0(3) lim
f(x0?h)?f(x0?h)
h?0h
=a．
解：(1)?f(x0??x)?f(x0)f[x0?(??lim
x?0?x???lim?x)]?f(x0)
?x?0??x
??f?(x0) ?a??f?(x0) (2)?lim
f(x)
x??limf(x)?f(x0)x?x0
0?xx?x??f?(x0x?x0)
1
?a??f?(x0)
f(x0?h)?f(x0?h)
h?0h
[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)]
?lim
h?0h
f(x0?h)?f(x0)f[x0?(?h)]?f(x0)
?lim?lim
h?0?h?0h?h
(3)?lim
?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) ?a?2f?(x0) 5．求下列函数的导数： (1) y (2) y
；(3) y
1
2
．
解：
(1)?y??x
12
1?1 ?y??(x)??x2?2 (2)?y?x
?2
3
23
5
?1?2?22 ?y??(x)???x3??x3?
33?2
3
?52
16
(3)?y?x?x?x
16
2
?x
1?5?y??(x)??x6?
66．讨论函数y
x=0点处的连续性和可导性．
解：??0?f(0)
x?f(x)?f(0)0 lim?lim???
x?0x?0x?0x?0x ?
函数y在x?0点处连续但不可导。
7．试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f′(x)是偶（奇）函数。证：?f(x)为偶函数?f(?x)?f(x)
2
f(x)?f(0)f(?x)?f(0)
?f?(0)?limx?0x?0?limx?0x?0
??lim
f(?x)?f(0)
x?0?x?0
??f?(0)，即2f?(0)?0故f?(0)?0
8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：
(1) y＝?
?sinx,x?0,?x3
,x?0,x0?0； (2) y
=x?1,
?x?x2,x?1,
0?1．解：(1)?ff(x)?f(0)3
??(0)?limx?0?x?0?limx?0x?0?x
?lim2
x?0?
x?0 f??(0)?limf(x)?f(0)sinx?x?0
?
x?0?lim0
x?0?x
?1?f??(0)?f??(0)?函数在x?0处不可导。
(2) ?ff(x)?f(1)2
??(1)?limx?1?x?1?limx?1
x?1?x?1
?lim(x?1?
x?1)?2
f??(1)?limf(x)?f(1)x?1?lim11
x?1
?
x?1?x?1?x?1??
2 ?f??(1)?f??(1)
?函数在x?1处不可导。
9．设函数
f(x)= ??x2,x?1,x?1.
?ax?b,为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?解：为使f(x)在x?1处连续，必须f(1?0)?f(1?0)?f(1)，
f(1?0)?limx?1
?f(x)?lim(x?1
?
ax?b)?a?b f(1?0)?limf(x)?limx2
?x?1
?
?1，f(1)?1 ?a?b?1?b?1?a (1) 为了使f(x)在x?1处可导，必须f??(1)?f??(1) ff(x)?f(1)??(1)?limx?1
?
x?1?limax?b?1x?1?x?1?limax?a
x?1?
x?1
?a 3
2
f(x)?f(1)x?1
?lim?lim(x?1)?2 f??(1)?lim
x?1?x?1?x?1x?1?x?1
?a?2，代入（1）式得b??1
?当a?2，b??1时f(x)在x?1处连续且可导。
10．证明：双曲线xy＝a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2a．
证：设p(x0,y0)是双曲线xy?a2上任一点，则x0y0?a2，该双曲线在p(x0,y0)
处切线的斜率 k?y?
?
２
x?x0
xyya2
??2??020??0该双曲线在p(x0,y0)
x0x0x0
y0
(x?x0) x0
处切线的方程为：y?y0??
令x?0得该切线在y轴上的截距为2y0，
令y?0得该切线在x轴上的截距为2x0，于是，它与两坐标轴构成的三角形
的面积s?
1
2y02x0?2x0y0?2a2?2a2。 2
gt(m)，求： 2
11．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)＝10t －
(1) 物体从t=1(s)到t=1．2(s)的平均速度； (2) 速度函数v(t)；
(3) 物体何时到达最高点．
11
(10?1.2??9.8?1.22)?(10?1??9.8?12)
h(1.2)?h(1)解：(1)v? ?1.2?10.2
??0.78(m/s) (2)v(t)?h?(t)?10?gt
(3)当v(t)?0时，物体到达最高点。
由v(t)?0即10?gt?0得t?
1050
?(s) g49
即上抛
50
时物体到达最高点。 49
?
为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速t
4
的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度?
解：设从时刻t0到t0??t间转过的角度为??，则
????(t0??t)??(t0)
物体在时刻t0的角速度为?(t)?lim
d?d。
?t?0dt?
?dt
t?t0
13?
．已知f(x)在x=x０点可导，证明：
lim
f(x0??h)?f(x0??h)
h?0
h
证：当??0，??0时，
limf(x0??h)?f(x0??h)
h?0h
?lim[f(x0??h)?f(x0)]?[f(x0??h)?f(x0)]
?lim
?[f(x0??h)?f(x0)]?[f(x0??h)?f(x0)]
h?0?h?limh?0??h
??f?(x0)??f?(x0)?(???)f?(x0)
习题3-2
1．求下列函数的导数： (1) s=3lnt+sin
7
； (2) y
x; (3) y=(1-x２
(4) y=
；
(6) y=secxx-3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x;
(8) y=1
1?x?x2
．
解：(1)s??3
t
(2)y??x)???lnxx)?
?
?
?
?(3)y??(1?x2
)?sinx?(1?sinx)?(1?x2
)(sinx)?(1?sinx)
?(1?x2)?sinx?(1?sinx)?
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