Chapter4-工具变量法

第1章 两阶段最小二乘法

在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方法。本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。

1.1 变量的内生性

如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即(')E =X u 0，称解释变量是内生的。导致

解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。

模型中出现内生解释变量时，OLS 估计量是不一致的。根据OLS 估计量：

11111?(')(')(')(')(')(')N N -----==+=+βX X X y βX X X u βX X X u (1.1) 由假定Rank(X)=K 和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得：

1Plim(')E(')N -=≡X X X X A ， 1Plim(')E(')N -=≠X u X u 0。 (1.2)

又由Slustky 定理，

111Plim(')N ---=X X A

1?Plim E(')-=+≠β

βA X u β (1.3)

1.2 工具变量估计

1.2.1 工具变量

在如下模型中，

y = X β+ u

第i 个解释变量x i 为内生解释变量。如果存在变量z ，z 满足如下两个条件： 正交条件：与u 不相关，即cor(z, u) = 0

相关条件：与x 相关，即cor(z, x i ) ≠ 0，也称为识别约束条件。 那么，z 被称作x i 的工具变量。

1.2.2 工具变量估计

设回归模型为：

y =X β+u (1.4)

其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×K ）。Z 作为工具变量满足正交条件和识

别约束条件。在正规方程组?'()-=X y X β

0中，用Z 替换X ， ?'()-=Z y X β

0 (1.5) 解此方程组，可得IV 估计量为：

1?(')'-=βZ X Z y (1.6) 将y =X β+u 带入估计量中，可得

11?(')'()(')'--=+=+βZ X Z X βu βZ X Z u 可以证明，

1?E()(')'E()-=+=β

βZ X Z u β 1121121

?Var()E[(')''(')](')'(')(')

σσ-----==≠β

Z X Z uu Z X Z Z X Z Z X Z X X

即IV 估计量是无偏的，但不是有效的。同时，由

111111?Plim()Plim[(')(')]Plim(')Plim(')E()n n n i i n N N N N ---→∞

→∞

--→∞-→∞

=+===β

βZ X Z u Z X A

Z u Z u 0

可知，IV 估计量是一致的。

1.3 两阶段最小二乘法

设模型中存在K 个内生解释变量，存在L=K 个工具变量。每个工具变量都必须满足正

交条件和相关条件。如果L=K ，称为恰好识别；如果L>K ，称为过度识别。即利用其中不同的K 个工具变量，都可以得到不同的估计量。当然，用任何一组工具变量得到的估计量都是一致的。因此，现在的问题是如何在这L 个工具变量中找到K 个工具变量使其估计量最有效。这即是两阶段最小二乘法。

1.3.1 TSLS 估计

设模型为：

=+y X βu (1.7)

其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×L ）。用Z 作为工具变量，Z 满足正交条

件和识别约束条件。首先回归模型

=+X Z Πv (1.8)

可得1?(')-=Π

Z Z ZX ，并提取拟合值1??(')-==X Z ΠZ Z Z ZX 。令1(')'-=Z

P Z Z Z Z ，P Z 为对称幂等矩阵，则?=Z

X P X 。然后，利用?X 做为工具变量回归模型，可得IV 估计量为： 11???(')'(')(')--==Z

Z

β

X X X y X P X X P y (1.9) 而

???''''()''====Z Z Z Z Z

X X X P X X P P X P X P X X X 。 由此可得： 11??????(')'(')'--==β

X X X y X X X y (1.10) 而1???(')'-X X X y 是y 对?X 的OLS 回归估计量。因此，利用?X

作为工具变量作IV 回归与利用?X 替换X 作LS 回归是等价的。也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。估计步骤归纳如下。

Step1：利用X 对Z 作OLS 回归：=+X Z Πv ；提取拟合值?X

。 Step2：用?X

替换X ，直接作OLS 回归。 1.3.2

2SLS 的渐进特征

假定1：令X 表示解释变量（包括常数变量1）。假定存在L 个工具变量构成的（1×L ）向量Z ，满足E(Z 'u )=0。Z 包含模型中的外生解释变量。如果模型中存在内生变量，则Z 必须包含模型以外的外生变量。

假定2：（A ）Rank(Z 'Z )=L ；（B ）Rank(Z 'X )=K 。（A ）条件是指L 个向量Z 不存在完全的线性关系；条件（B ）是指Z 与X 充分线性相关，即所有工具变量都必须满足识别约束条件。条件（B ）称为秩条件。秩条件成立的必要条件是L ≥K 。即，工具变量的个数至少等于解释变量的个数，称之为阶条件。

由X =Z ∏+v （其中，∏为L ×K 矩阵），两侧同时乘Z 并求期望可得：

1'''E(')E(')[E(')]E(')

-=+?=?=Z X Z Z ΠZ v Z X Z Z ΠΠZ Z Z X (1.11)

令X *=Z ∏ = Z[E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )。在X β+u =y 两边同时乘以X *可得，

X *'X β + X *'u = X *'y (1.12)

求期望可得：

E(X *'X )β= E(X *'y ) (1.13)

而

X *'X = X *'Z ∏ + X *'v ， E(X *'X ) = E(X *'Z )∏ + E(X *'v ) = E(X *'Z )∏ E(X *'Z )= E[(X -v ) 'Z ] = E[X 'Z - v 'Z ] = E(X 'Z )

将∏ = [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )带入上两个式子中，可得：

E(X *'X ) = E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )

= E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X ) (1.14) E(X *'y ) = E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 Z ' y

注意，上式中Z 是（1×L ）阶，X 是（1×K ）阶。因此， X 'Z 是（K ×L ）阶，Z 'Z 是（L ×L ）阶，Z 'X 是（L ×K ）阶。如果要估计出β，E(X *'X )必须是非奇异的，当且仅当E(Z 'X )的秩为K 。将其带入β = [E(X *'X )]-1 E(X *'y )，可得

β = [E(X *'X )]-1 E(X *'y )

= {E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )} -1{E(X 'Z ) [E(Z 'Z )]-1Z 'y} (1.15)

β的TSLS 估计量为：

{}{}-1112?'(')(')'(')'SLS

--=βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z y (1.16) 1．一致性

由2SLS 估计量可得：

1-1121-111111-11111?['(')(')]['(')'()]

['(')(')]['(')']

[(')(')(')][(')(')(')]

SLS N N N N N N ------------=+ =+ =+βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z X βu βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u βX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u (1.17)

由大数定律和Slustky 定理，可得：2?Plim SLS =ββ。即2SLS 估计量具有一致性。

2．渐进正态性

根据1Plim(')E(

')i i N -==Z u Z u 0，并由中心极限定理，1/2'~(,)N Normal -Z u 0B 。同方差假定下，22E(')E(')i i i i u σ==B Z Z Z Z ，2=var()i u σ。

根据Slutsky 定理，

1111-11111/22?)[(')(')(')][(')(')(')]SLS

N N N N N N ---------=ββX Z Z Z Z X X Z Z Z Z u (1.18)

定理：在假定1、2

2?)SLS -ββ渐进服从正态分布，均值为0，方差矩

阵为

{}-1

21E(')E(')E(')σ-X Z Z Z Z X (1.19)

其中，1E(')E(')E(')-X Z Z Z Z X 可以用样本进行估计，2σ的估计量公式为：

2121??()N

i i N K u σ

-==-∑ 其中，2??i i i SLS u y =-x β，而不是第二阶段的残差项。 2?SLS β的渐进方差估计量为：

1

2212121????????var()(')(')(')N SLS i i i A σσσ---=??===??

∑Z βx x X X X P X (1.20) 3．渐进有效性

在假定1、2以及同方差假定下，利用工具变量z 的所有IV 估计量中，2SLS 估计量是最

有效的。（证明请参见Wooldridge ，2000，p96）

1.3.3 2SLS 中的假设检验

设模型为：

y = X 1β1 + X 2β2 + u (1.21)

原假设和备择假设分别为：

H 0：β2 =0； H 1：β2 ≠0。

定义无约束模型和受约束模型分别为：

无约束模型：y = X 1β1 + X 2β2 + u (1.22) 受约束模型为：y = X 1β1 + u (1.23) F 检验的具体检验步骤为如下。

设工具变量为Z 。（X 1和X 2都可以包括内生变量）

Step1：用Z 作为工具变量，利用TSLS 估计模型（9.32），计其残差平方和为SSR U ；

Step2：利用OLS 方法用X 1对Z 回归，令1

?X 表示得到的拟合值（N ×K 1）；用X 2对Z 回归，

令2

?X 表示得到的拟合值（N ×K 2）； Step3：利用OLS 方法用y 对1?X 、2

?X 回归，令U SSR 表示其残差平方和；用y 对1?X 回归，令R SSR 表示其残差平方和。

Step4：构建统计量：

()

22~()R U

U N SSR SSR SSR K χ-

()

2

22/~(,)/()

R

U U SSR

SSR K F F K N K SSR N K -=

--

也可以通过类似OLS 方法来构建LM 统计量

Step1：用X 1对Z 进行OLS 回归，令1

?X 表示得到的拟合值（N ×K 1）；用X 2对Z 进行OLS

回归，令2

?X 表示得到的拟合值（N ×K 2）。 Step2：用y 对1

?X

回归，令u 表示其残差。 Step3：用u 对1?X 、2?X 回归，记其未中心化的可决系数为2uc

R 。 Step4：构建LM 统计量

2

22

Asy uc K LM NR χ=??→ (1.24)

1.3.4 异方差稳健推断

如果只有假定1、2成立，模型中存在异方差时，2?SLS β的渐进方差估计量为：

12121????????var()(')(')(')N SLS i i i i A u --=??=??

∑βX X x x X X 。 (1.25) 可以用作构建异方差稳健t 统计量。

存在异方差时，对参数约束的稳健LM 检验。

Step1：用Z 作为工具变量，利用TSLS 用y 对X 1回归，计残差项为u ； Step2：用X 2中每一个变量对X 1中的所有变量进行OLS 回归，提取残差项?r

； Step3：利用OLS 方法回归方程()?1u v =+αr

，计其回归平方和为SSR 。 Step4：稳健LM 统计量为22()~()N SSR K χ-，其中K 2表示X 2中变量的个数。

1.3.5 内生变量的显著性检验

1． 单个内生变量的显著性检验

在stata 中，单个内生解释变量的显著性检验可以通过condivreg 实现。Condivreg 利用2SLS 或LIML 方法回归线性模型，并利用条件似然比（conditional likelihood ratio ，简写为CLR) 方法（Moreira (2003)，Andrews, Moreira, and Stock (2006)）计算内生变量参数估计量的置信区间和概率值。Andrews, Moreira, and Stock (2004)证明，CLR 检验是渐进最优的，明显地优于Anderson and Rubin (1949) 检验和由Kleibergen (2002) 及Moreira (2001)提出的LM 检验。

例：

. condivreg y1 x1 (y2 = z1 z2 z3), liml interval . condivreg y1 x1 (y2 = z1 z2 z3 z4), ar lm test(0.1) 2． 多个内生变量的显著性检验

结构方程中内生解释变量显著性检验的Anderson-Rubin 统计量（注意，不要与Anderson-Rubin 过度识别检验混淆）。原假设为：所有内生解释变量的参数都等于0。对其检验等价于对简化方程中工具变量Z 的联合显著性检验。

Anderson-Rubin 卡方统计量 ~卡方分布（自由度为L 2 =被排除的工具变量个数） Anderson-Rubin 对于弱工具变量是稳健的。 例：

. ivreg2 lwage exper expersq (educ=fatheduc motheduc), ffirst

1.3.6工具变量的冗余检验

其中，模型解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1个数为K1，内生解释变量X2的个数为K2，K= K1 + K2。设工具变量Z =（Z1, Z2A, Z2B），共有L个。其中Z1 = X1，包含L1= K1个工具变量。Z2A, Z2B分别包含L2A、L2B个工具变量，令L2 = L2A + L22，则L = K1 + L2A + L2B。检验部分被排除的工具变量Z2B是否是多余的（"redundant"）。检验统计量是基于解释变量X1与工具变量（Z1, Z2A, Z2B）的典型相关系数。如果X1与（Z1, Z2A, Z2B）的典型相关系数比X1与（Z1, Z2A）的典型相关系数有了显著提高，则表明工具变量Z2B不是多余的。统计量渐进服从自由度为K2×L2。参见Hall and Peixe (2000) 。

1.4内生性检验与过度识别约束检验

在工具变量估计中，有三个问题是需要关注的。第一，解释变量是否具有内生性。如果没有内生性，则LS估计是一致有效估计量，而TSLS估计量则是一致非有效估计量。如果变量具有内生性，则LS估计没有一致性，而TSLS估计量则具有一致性。即是说，IV估计在保证参数估计计量的一致性特征是有代价的。只有当模型中存在内生解释变量时，TSLS才优于LS。因此，在应用TSLS方法之前，首先应该检验解释变量具有内生性，称之为内生性检验。

第二，工具变量的正交约束条件是否得以满足。工具变量必须满足两个基本条件：相关条件和正交条件。在过度识别的模型中，可以检验正交条件是否成立。因此，工具变量（被排除）的正交检验也叫做过度识别约束检验。过度识别约束检验常用的统计量包括Sargan (1958) 、Basmann's (1960)、Hansen J统计量以及C统计量。实际上，工具变量的正交性检验和解释变量的内生性检验是一个问题的两个方面。

第三，工具变量的有效性问题，即工具变量与内生解释变量必须相关。对于工具变量的有效问题，一般通过偏R2或Shea R2来观察。实践中经常出现的问题是弱工具变量问题。Cragg-Donald和Anderson-Rubin统计量则用于考查弱工具变量问题。

1.4.1内生性检验

1．Durbin-Wu-Hausman检验

内生性的检验等价于检验plim(X’u) =0。但检验不能通过LS估计的残差项进行。因为LS估计的残差项与X总是不相关的。Hausman（1978）提出了另外一种检验思路，即Hausman

检验。其基本思路是，如果解释变量x 具有外生性，那么其对应参数β的OLS 估计量具有一致性和有效性，而TSLS 估计量具有一致性但没有有效性。所以，如果x 是外生的，那么OLS

估计量?LS

β

与TSLS 估计量?IV

β之间差异??LS

IV

=-d ββ的概率极限为0，即Plim d =0，否则Plim d≠0。构建Wald 统计量：

1'[()]H AsyVar -=d d d (1.26)

其中，??????()()()2(,)LS

IV

LS

IV

LS

IV

AsyVar AsyVar AsyVar AsyCov -=+-β

βββββ Hausman （1978）证明，对于参数β的两个一致估计量?E β和?I β，?E β是有效估计量而?I β是无效估计量，则?E

β

与??()E

I

-ββ的协方差为0，即 ??????ov(,)()(,)???(,)()

E E I E E I

E

I

E

C Var Cov Cov Var -=-==ββββββ0βββ (1.27)

在内生变量的情况下，??E LS =ββ，??I IV

=ββ。有 ????()()()LS IV IV LS

AsyVar AsyVar AsyVar -=-ββββ (1.28) 因此，H 统计量可以表达为

11'[()]??????()'[()()]()

LS IV IV LS LS IV H AsyVar Var Var --==---d d d

ββββββ

前文已经推导出，21?()()LS AsyVar σ-=βXX ，21???()()IV

AsyVar σ-=βXX 。将其以及方差估计量2?σ

带入H 统计量可得 211????()()()IV LS Var σσ--??=-??

d XX XX (1.29) H 统计量渐进服从K 2个自由度的卡方分布。

一般情况下，σ2的估计量分别利用TSLS 和LS 估计各自的残差项来计算。如Stata 中的Hausman 命令即是分别计算TSLS 和LS 各自的标准差。但是，Hausman 统计量虽然渐进有效，在小样本情况下Var(d )却可能出现负值（或负定矩阵），从而H 检验统计量为负值。因

此在实践应用中，σ2的估计量全部用2?LS σ或全部用2?IV σ。这样保证了Var(d )的广义逆的存在，从而保证了检验统计量取正数。如果用2?LS σ

作为σ2的估计量，则 211???()[()()]LS

Var σ

--=-d XX XX 这种统计量由Durbin （1954）、Wu （1973）和Hausman （1978）分别提出。经常被称作Durbin-Wu-Hausman 统计量（简写为DWH 统计量）。在Stata 中，可以利用Hausman 命令中的sigmamore 选项来实现。

如果用2?IV σ

作为σ2的估计量，则 211???()[()()]IV

Var σ

--=-d XX XX 。 这种统计量由Wu （1973）和Hausman （1978）分别提出。在Stata 中，可以利用Hausman 命令中的sigmaless 选项来实现。

需要注意的是，在H 统计量中，β表示模型中的所有参数，即H 统计量是利用所有参数

的LS 估计量和IV 估计量来构建的。事实上，H 统计量可以仅利用内生变量的协方差矩阵来构建。比如，在如下模型中，

y = X 1β1 + X 2β2 + u

X 1是外生的，而X 2是内生的。定义222??LS IV

=-d ββ，H 统计量为： 12222'[()]H Var -=d d d

其中，Var(d 2)为Var(d )中右下角（K 2×K 2）子矩阵。H 2与H 是渐进等价的。

（1） 对单个变量内生性的检验 以模型

y = X 1β1 + x 2 β2 + u (1.30)

为例，要检验x 2的内生性。Hausman 检验的具体步骤为：

Step1：利用OLS 和TSLS 方法分别估计方程，β2的估计量分别表示为2?β，2

β，标准差分别表示为2

?()se β

，2

()se β。 Step2：在原假设（H 0：x 2是外生的）成立的条件下，H 统计量

22212222222222222?()???()[()()]()~(1)?()()H Se Se Se Se ββββββββχββ--=---=- 这等价于

22

2?~(0,1)?)(H N Se ββββ-=

- (1.31)

根据z 统计量与标准正态分布的临界值相比较（双端检验），判断接受或拒绝原假设。 （2） 对多个变量内生性的检验

如果模型中可能存在多个内生解释变量X ，将其参数表示为β。以模型

y = X 1β1 + X 2 β2 + u (1.32)

为例，其中X 2包含K 2个变量。要检验X 2的内生性。Hausman 检验的具体步骤如下。

Step1：利用OLS 和TSLS 方法分别估计方程，β2的估计量分别表示为2

?β

，2

β，方差矩阵分别表示为2?var()β，2

var()β。 Step2：在原假设（H 0：X 2是外生的）成立的条件下，

22222222

???()'()()()~()H Var Var K χ??=---??ββββββ ， (1.33) 其中K 2表示内生解释变量的个数。

根据H 统计量与卡方分布的临界值相比较，判断接受或拒绝原假设。

如果确认某些变量是内生的，而只是怀疑部分变量是否具有内生性。这时可以仍然利用与上述检验相同的思路进行检验。设在如下模型中，

y = X 1β1 + X 2β2 + u

X 1是外生的（K 1）；X 2 = (X 2A , X 2B )中，X 2A （K 2A ）是内生的，怀疑X 2B （K 2B ）的内生性。

原假设：X 2B 是外生的； 备择假设：X 2B 是内生的。

首先，将Z 作为X 2 = (X 2A , X 2B )的工具变量估计方程，即假定X 2 = (X 2A , X 2B )都是内生的，

估计量为,?IV AB β。然后，将Z 作为X 2A 的工具变量估计方程，即假定仅有X 2A 是内生的，估计量为,?IV A β。这时，,??E IV A =ββ，,??I IV AB =ββ，,,??IV A IV AB =-d ββ。H 统计量为

112,,2??'[()]'[()()]()Asy IV AB IV A B H Var Var Var K χ--==-??→d d d d ββd (1.34)

同样地，回归标准差的估计量2?σ

可以采用任意一个。

2． 基于残差的内生性检验（Wu-Hausman 检验）

DWH 检验的另外一种替代形式是直接利用回归残差构建辅助回归式。 （1） 对单个变量内生性的检验 设回归模型为

y = X 1β1 + x 2 β2 + u (1.35)

在TSLS 方法中，工具变量的选择为：

E(x 2 ) = X 1α1 + Z α2 + v (1.36)

事实上，工具变量法是将内生解释变量x 2拆分成两部分，一部分为E(x 2)，另一部分为v 。即

x 2 = E(x 2) + v (1.37)

其中，作为工具变量的E(x 2)与模型中的u 是不相关的。如果x 2是内生的，而v 与u 必定相关。因此，对x 2内生性的检验，即对x 2与u 相关性的检验，等价于对v 与u 相关性的检验。这可以通过如下方程中δ的显著性来实现

v = δ u + e (1.38)

其中，e 满足经典假定。如果δ≠0，则v 与u 相关；如果δ=0，则v 与u 不相关。实践中，v 与u 都是不可观测的。v 可以通过利用LS 方法估计方程（9.48）并提取其残差项来代替。但u 不能通过利用LS 方法估计方程（9.47）并提取其残差项来代替（因为模型中可能存在内生解释变量）。这时候，可以将（9.50）带入最初的模型（9.47），得到

112211222[()]()y E x v u E x v u

βββ=+++=+++X βX β (1.39)

（9.51）式表明，E(x 2)与v 对y 的影响是相同的。对x 2内生性的检验可以基于如下回归

式：

11223()y E x v u αα=+++X α

如果x 2是外生的，那么E(x 2)和v 都与u 不相关，都是外生的。此时模型中E(x 2) 和v 的系数相同（α2=α3），其LS 估计量应该近似相同。如果x 2是内生的，那么v 是内生的，与u 相关；但E(x 2)是外生的，与u 不相关。此时，模型中E(x 2)的参数估计量和v 的参数估计量

由于存在内生性而出现差异。因此，x 2的内生性Hausman 检验可以通过参数如下步骤来实现。

以模型（9.47）为例，检验x 2是否具有内生性。

Step1：用内生解释变量对所有的外生变量（包括工具变量）回归，

2112x v =++X ΠZ Π， (1.40)

并提取x 2的预测值2?x

和残差项?v 。 Step2：回归方程

11223??y x

v u αα=+++X α (1.41) 然后利用F 统计量检验H 0：α2=α3。 如果接受原假设，则表明x 2不具有内生性；否则，x 2是内生的。

Hausman 内生性检验还可以通过另外两种形式来检验。 检验方程式又可以写作：

1123211232211242??[]?()?y x v

v u x v u x v

u ααααααα=+-++ =++-+ =+++X αX αX α (1.42) 因此，对的检验等价于对模型（9.50）中?v

的显著性检验。这可以很容易地通过t 统计量实现。

检验方程（9.49）式也可以写作：

11232221123322113422??()?()?y x

x x u x x u x x

u ααααααα=++-+ =+-++ =+++X αX αX α (1.43) 因此，对的检验等价于对模型（9.51）中2?x

的显著性检验。这可以很容易地通过t 统计量实现。如果怀疑模型中存在异方差，可以利用异方差稳健标准差进行检验。

（2） 对多个变量内生性的检验

如果模型中可能存在多个内生解释变量，那么内生性检验的思路与上面的介绍的方法完全相同。设回归模型为

y = X 1β1 + X 2β2 + u

其中，X 1是外生的（K 1）；X 2 （K 2）是内生的。工具变量为Z =(Z 1, Z 2)，Z 1= X 1。

内生性检验的具体步骤为：

Step1：用X 2中的每一个变量分别对Z =(Z 1, Z 2)回归，提取残差项?v （K 2个）。

Step2：将K 2个残差项加入最初的回归方程中，

1?=++y X αv

δu (1.44) 利用OLS 方法估计方程，并构建F 统计量检验H 0：0=δ。如果接受原假设，则表明这K 2个解释变量不具有内生性；否则，这K 2个解释变量是内生的。

如果能够确认部分变量是内生的，而只是怀疑另外一些变量的内生性，则可以利用相似的辅助回归方法进行检验。设回归模型为

y = X 1β1 + X 2β2 + u

其中，X 1是外生的（K 1）；X 2 = (X 2A , X 2B )中，X 2A （K 2A ）是内生的，怀疑X 2B （K 2B ）的内生性。工具变量为Z =(Z 1, Z 2)，其中Z 1= X 1。

Step1：用X 2B 中的每一个变量分别对Z =(Z 1, Z 2)回归，提取残差项?v （K 2B 个）。

Step2：将K 2B 个残差项加入最初的回归方程中，

12?A A B =+++y X αX δv

δu (1.45) 利用IV 估计方程，并检验H 0：0B =δ。需要注意的是，对其检验不能构建普通的F 统计量，普通的F 统计量不再有效。如果接受原假设，则表明这K 2B 个解释变量不具有内生性；否则，这K 2B 个解释变量是内生的。这时，F 统计量的构建方法如下。

定义受约束模型为有效估计方程，辅助回归方程的残差平方和表示为SSR AE ，定义无约束模型为一致估计方程，辅助回归方程的残差平方和为SSR AI 。

DWH 统计量也可以表述为：DWH /AI AE

E SSE SSE SSE n

-=

WH 统计量为：212()/WH ()/()

AI AE B

E AI AE B SSE SSE K SSE SSE SSE n K K -=

-+--

其中，SSE E 表示受约束模型的残差平方和。

或者DWH （WH ）统计量也可以表述为：

2,????DWH ??/B E Z X E I Z I E E n -=

u

P u u P u u

u

WH 统计量为：22,2,2????()/WH ??????[()]/()B B E Z X E I Z I B E E E Z X E I Z I B K n K K -=

----u

P u u P u u

u u P u u P u

?E u

表示受约束模型的残差项，?I u 表示无约束模型的残差项；Z P 表示由Z 构成的映射矩阵，2,B Z X P 表示有（Z , X 2B ）构成的映射矩阵。

1.4.2 过度识别约束检验

如果存在m 个内生解释变量，那么每一个内生解释变量都需要至少一个工具变量。如果我们确定模型中的一些解释变量是内生的，那么我们可以选择k 个工具变量，k ≥m 。但实践中我们可能并不确定模型中哪些解释变量是内生的。这种不确定性经常使得我们经常错误地选择过多的工具变量，即：部分工具变量不恰当。

对于m 个内生解释变量，如果工具变量的个数大于m ，则存在过度识别约束（over-identifying restriction ）。过度识别约束的个数为 =（工具变量的个数-内生解释变量的个数）。如果存在m 个工具变量，则不存在过度识别约束的问题；如果存在（m+q ）个工具变量，则存在q 个过度识别约束。过度识别约束检验就是检验这q 个过度识别约束是否成立，

或者说这（m+q ）个工具变量是否合适。检验的核心即是这些工具变量是否与u 相关，如果这些工具变量与u 相关，则过度识别约束无效，否则过度识别约束有效。

工具变量的两个基本条件中，第二个条件（即z 与x 相关）可以比较容易地通过x 对z 回归方程的F 检验来完成。而第一个条件也是至关重要的，如何检验第一个条件是否成立呢？如果内生解释变量（设为x ）只有一个工具变量（设为z ），对第一个条件（即z 与u 不相关）的检验则无法实现。但如果存在多个工具变量，则可以通过如下方法实现。

对于模型

y = X 1β1 + X 2β2 + u

其中，模型解释变量的个数为K ，其中外生解释变量的X 1个数为K 1，内生解释变量X 2的个数为K 2，K= K 1 + K 2。设工具变量Z =（Z 1, Z 2）。共有L 个工具变量，Z 1=X 1，包含L 1个工具变量，Z 2包含L 2个工具变量，即L = K 1 + L 2。一般地，X 1为模型所包含的工具变量，而Z 2为模型所排除的工具变量。如果L 2 > K 2，则存在过度识别约束，（L - K ）= （L 2 - K 2）为过度识别约束的个数。

原假设：被排除的工具变量Z 2与u 不相关，且被正确地排除； 备择假设：工具变量Z 2无效。

令?u

表示IV 估计的残差项，令P =Z (Z 'Z )-1Z '， M =I -P 。 Sargan (1958) 卡方统计量 =

??'??(')/N u Pu u u 或??'??(')/()N K -u

Pu u u （小样本修正后的统计量）

Basmann's (1960) 卡方统计量 =??'??(')/()N L -u

Pu u

Mu

或者

Sargan (1958) 拟F 统计量 =

??'/()??(')/()L K N K --u

Pu u

u

Basmann's (1960) 拟F 统计量 =

??'/()??(')/()L K N L --u

Pu u

Mu

这两个统计量都渐进服从（L-K ）个自由度的卡方分布，均具有一致性。参见Davidson and MacKinnon （1993, 235-36）。二者的差异在于估计方程标准差的方法，Sargan （1958）利用过度识别约束，而Basmann （1960）则没有施加过度识别约束。

另外，Sargan 统计量可以通过计算NR 2的形式计算。同方差假定下的基本检验步骤如下。

Step1：利用所有的工具变量Z =（Z 1, Z 2）回归结构方程，记TSLS 的残差项为?u 。 Step2：用?u 对所有的外生变量Z =（Z 1, Z 2）（包括结构方程中的外生变量以及工具变量）

进行OLS 回归，其非中心化的可决系数为2

uc R 。

Step3：构建统计量2

2()a uc

L K nR χ-??→。给定检验水平α，如果nR uc 2大于临界值，则拒绝原假设，即模型中存在内生解释变量；否则，接受原假设，即所有变量都是外生的。

需要注意的是，如果模型存在条件异方差，则Sargan 统计量或Basmann 统计量均无效。

这时，可以利用GMM 估计的Hansen J 统计量来实现过度识别约束的检验，称之为稳健的过度识别约束检验。事实上，Sargan 统计量是Hansen's J 统计量在同方差假定下的特殊形式。因此，这两个统计量经常被称作 Hansen-Sargan 统计量。稳健的过度识别检验可以通过ivgmm0或ivreg2实现。（参见GMM 估计一章，Hayashi(2000, 227-228)，Baum, Schaffer, and Stillman (2002))。

异方差情况下，Sargan 统计量可以通过如下步骤实现。

Step1：利用所有的工具变量Z =（Z 1, Z 2）回归结构方程，记TSLS 的残差项为?u

。 Step2：第一阶段回归中的拟合值记为2

?X

。 Step3：从Z 2中任意选择K 2个工具变量，分别对（X 1, 2

?X ）进行OLS 回归，记其残差项为?r

。 Step4：利用OLS 方法回归方程()??=+1ur

αv ，记其回归平方和为SSR 。 Step5：构建统计量2()a

L K N SSR χ--??

→。给定检验水平α，如果N-SSR 大于临界值，则拒绝原假设，即模型中存在内生解释变量；否则，接受原假设，即所有变量都是外生的。

C 统计量用于检验部分工具变量的外生性。C 等于用部分工具变量回归方程的Hansen-Sargan 统计量与用全部工具变量回归方程的Hansen-Sargan 统计量的差。原假设为要检验的部分工具变量是有效工具变量。为了保证C 统计量是非负数，两个方程的Hansen-Sargan 统计量都是用完全正交条件（即有效估计）得出的。在IV/2SLS 估计中，C 统计量是基于无约束模型的MSE 计算的；在LIML 估计中，C 统计量是基于无约束模型与受约束模型的Anderson-Rubin 过度识别统计量计算的（参见Hayashi (2000, 218-222 and 232-34)）。

1.4.3 工具变量的有效性检验

作为识别约束，工具变量必须与内生解释变量具有明显的相关性。否则，无法进行估计。所谓工具变量的有效性即是指工具变量与内生解释变量存在相关。设模型为：

y = X 1β1 + X 2β2 + u

其中，模型解释变量的个数为K ，其中外生解释变量的X 1个数为K 1，内生解释变量X 2

的个数为K 2，K= K 1 + K 2。设工具变量Z =（Z 1, Z 2）。共有L 个工具变量，Z 1=X 1，包含L 1个工具变量，Z 2包含L 2个工具变量。

1． 偏R 2统计量、F 统计量

工具变量的有效性检验即是检验Z 2与X 2的相关性的检验。这可以通过第一阶段回归中Z 2的联合显著性来实现，即利用F 统计量或偏R 2统计量。

偏R 2 = (SSE Z2-SSE Z )/SST

其中，SSE Z2表示内生解释变量X2对Z1的回归平方和，SSE Z表示内生解释变量X2对Z =（Z1, Z2）的回归平方和，SST表示总离差平方和。

但F统计量或偏R2统计量存在一个较大的缺陷。它们只能用于检验Z2与X2的联合显著性，而不能检验Z2中单个变量与X2的相关性。因此，这两种统计量适合于模型中仅存在一个内生变量的情况。

Shea's (1997)提出了另一种偏R2统计量，称之为Shea R2。Shea R2考虑了工具变量自身之间的相关性。当模型中仅存在一个内生变量时，Shea R2与普通的偏R2是等价的，都等于内生解释变量与工具变量的典型相关的最小特征值。作为经验法则，如果模型的偏R2较高而Shear R2较小，则表明工具变量缺乏充分的相关性，模型存在欠识别问题。

2．弱工具变量问题

实践中经常会出现的情况是，工具变量与内生解释变量之间仅存在微弱的相关关系，这些变量称为弱工具变量。弱工具变量的问题增加了IV估计量的有偏。Staiger and Stock（1997）证明，即使工具变量与内生解释变量具有显著的相关性（比如，F统计量在5%（或1%）的检验水平上具有显著性），弱工具变量问题仍然会存在。而且，IV估计偏差随着工具变量个数的增加而增加。因此，实践中对于存在单个内生变量时，要求F统计量至少大于10；而工具变量的个数则以精简为原则。Stock and Yogo (2002)利用Cragg-Donald F统计量作为弱识别的检验统计量，并给出了其临界值。弱识别检验统计量为：

Cragg-Donald F统计量= (N-L)*minEval/L2

Anderson 提出了典型相关似然比检验统计量，Cragg-Donald则提出了另外一种统计量。其原假设和备择假设分别为：

原假设为：简化方程的系数矩阵的秩=K-1，即方程是欠识别的。

备择假设：简化方程的系数矩阵的秩≥K-1，即方程是可识别的。

检验统计量为：

Anderson典型相关似然比检验统计量

Cragg-Donald卡方统计量= N*minEval

Anderson典型相关似然比检验统计量服从自由度为L2的卡方分布。拒绝原假设表明模型是可识别的。但需要注意的是，拒绝原假设仍然可能存在弱工具变量的问题，即工具变量虽然与内生解释变量的存在明显的相关性，但相关系数比较低，参见Hall et al. (1996)。

1.4.4内生性检验与正交约束检验的关系

内生性检验是对变量的内生性的检验，常用方法是DWH统计量。外生性检验是对变量正交性的检验，常用统计量是C统计量。内生性与外生性是一个问题的两个方面。事实上，在一些情况下，DWH统计量与C统计量是等价的。

设在模型中

y = X1 β1 + X2A β2A + X2B β2B + u

模型解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1（K1个），内生解释变量为X2A（K2A个），怀疑的内生解释变量为X2B（K2B个）。令K2 = (K2A, K2B)，K= K1 + K2。X1为模型中包含的工具变量，包含L1= K1个；设Z2A为模型排除的工具变量（L2A个），怀疑的工具变量为Z2B（L2B 个）。

原假设：（X2B, Z2B）是外生的；备择假设：（X2B, Z2B）是内生的。

如果原假设成立，则工具变量Z = (X1, X2B, Z2)，共包含（K1+K2B + L2A+L2B）个工具变量。模型称为受约束模型，估计量是一致、有效的。如果备择假设成立，则工具变量Z= (X1, Z2A)，共包含（K1+ L2A）个工具变量。模型称为无约束模型，参数估计量是一致、无效的。

同方差情况下，基于IV估计的Hausman统计量服从自由度为Min(K2B+L2B,K2) 的卡方分布。条件异方差情况下，如果K2B≤K2，则C统计量与Hausman统计量等价，均服从自由度为K2B的卡方分布。如果K2B > K2，则C统计量与Hausman统计量不同，C统计量服从自由度为K2B的卡方分布，Hausman统计量所服从卡方分布的自由度是未知的。

Hausman统计量的自由度Min(K2B+L2B, K2)中，K2B+L2B - K2 = L2B - K2A。即，如果所怀疑的排除工具变量的个数小于所怀疑的内生变量的个数，则C统计量与Hausman统计量是等价的。在这种情况下，利用Hausman统计量进行内生性检验与利用C统计量进行外生性检验取决于研究的起点：Hausman统计量是研究模型中所包含变量的内生性，而C统计量是检验模型所排除变量的外生性。比如，在如下模型中，

y = X1 β1 + X2A β2A + X2B β2B + u

解释变量的个数为K，其中外生解释变量的X1（K1个），内生解释变量为X2A（K2A个），怀疑的内生解释变量为X2B（K2B个）。令K2 = (K2A, K2B)，K= K1 + K2。X1为模型中包含的工具变量，包含L1= K1个。设Z2为模型排除的工具变量（L个）。如果怀疑X2B的内生性，利用Hausman统计量进行检验，即检验正交条件是否由L个增加到（L+ K2）个（不包括X1在内）。

如果模型设定为：

y = X1 β1 + X2A β2A + u

模型排除的工具变量为（Z2, X2B），共（L+ K2）个。现在怀疑X2B的内生性，利用C统计量进行检验，即检验正交条件是否由（L+ K2）个下降到L个（不包括X1在内）。

1.5案例

例 1.1 对于如下模型进行分析。（数据文件：mroz）

log(wage) = β0 + β1 educ + β2 exper + β3 exper2 + u

（1）怀疑模型中教育（educ）具有内生性问题，利用父、母亲接受教育的年数（fatheduc、motheduc）作为educ的工具变量估计上述模型。

. ivregress 2sls lwage exper expersq (educ=fatheduc motheduc), first

（2）计算上述方程的稳健标准差

. ivregress, vce(robust)

（3）对educ进行内生性检验

利用Hausman统计量检验。

. quietly ivreg lwage exper expersq (educ=fatheduc motheduc)

. est store IV_reg

. quietly regress lwage exper expersq educ

. est store LS_reg

. hausman IV_reg LS_reg

可得Hausman统计量=2.7，p值=0.44。接受原假设，即educ是外生的。

或者统一利用有效估计量的标准差，

. hausman IV_reg LS_reg, sigmamore

或者统一利用一致估计量的标准差，

. hausman IV_reg LS_reg, sigmamless

也可以利用残差进行检验。

. regress educ c exper expersq fatheduc motheduc

. predict educhat, xb

. predict res, residual

. regress lwage exper expersq educhat res

. test educhat=res

. regress lwage exper expersq educ educhat

. test educhat

. regress lwage exper expersq educ res

. test res

三种检验得到完全相同的结果：F(1, 422) =3.12，Prob=0.08。在5%的检验水平上，没有显著性。

（4）对模型进行过度识别约束检验。

. estat overid

（5）检验工具变量的有效性。

. estat firststage, all

练习

分别回归如下两个模型

（1）需求方程: Q t = a0 + a1R t + a2RD t + a3X t + u t

（2）供给方程: Q t = a S + b1R t + b2RS t + b3Y t + v t

其中，Q = 商业贷款总额(单位：十亿美元)

R = 平均市场利率（%）

RS = 3个月期限的国库券利率（%）

RD = AAA 企业债券利率（%）

X = 工业生产指数

Y = 银行存款总额(单位：十亿美元)

注：工具变量的选择。因为贷款需求方程中，R具有内生性。选择的工具变量应该与R相关，又与u不相关。u中包含了除了贷款利率、AAA企业债券利率和工业生产指数之外的其它影响贷款需求的因素。哪些因素会与贷款利率相关而又与贷款需求无关呢？可以想到的因素显然是那些影响贷款供给却不影响货币需求的因素，即RS、Y。因为RS、Y通过影响货币供给而影响贷款利率，与贷款利率相关；同时，RS、Y又不会对贷款需求产生直接的影响，即与u不相关。因此，RS、Y是合适的工具变量。