成才之路高中数学人教B·必修配套练习：应用举例 第课时

第一章 1.2 第2课时

一、选择题

1．在某测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( ) A ．北偏西35° B ．北偏东55° C ．北偏东35° D ．南偏西55°

[答案] D

[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．

α＝55°，则β＝α＝55°. 所以B 在A 的南偏西55°.

2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )

A ．400

3m B ．

4003

3m

C ．2003m

D ．200m

[答案] A

[解析] 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200， ∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan60°＝2003

3，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.

∴CD ＝AB －AM ＝400

3.

3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )

A ．102m

B ．20m

C ．203m

D ．40m

[答案] D

[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)． 4．一艘客船上午9

30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它以每

小时32n mile 的速度继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B 处，此时测得

船与灯塔S 相距82n mile ，则灯塔S 在B 处的( )

A ．北偏东75°

B ．南偏东15°

C ．北偏东75°或南偏东15°

D ．以上方位都不对 [答案] C

[解析] 画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×12＝16n mile ，∴AB ＝16，

又BS ＝82，∠BAS ＝30°， 由正弦定理，得82sin30°＝

16

sin ∠ASB

，

∴sin ∠ASB ＝2

2，∴∠ASB ＝45°或135°， 当∠ASB ＝45°时，∠B ′BS ＝75°，

当∠ASB ＝135°时，∠AB ′S ＝15°，故选C ．

5．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为3

4，设α为坡角，那么cos α等于( ) A ．35 B ．4

5 C ．34

D ．43

[答案] B

[解析] 由题意，得tan α＝34，∴sin αcos α＝3

4， ∴sin 2αcos 2α＝9

16，即1－cos 2

αcos 2α＝916，∵α为锐角， ∴cos α＝4

5.

6．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )

A ．北偏东10°

B ．北偏西10°

C ．南偏东10°

D ．南偏西10°

[答案] B [解析] 如图，由题意知

∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， ∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝50°， ∴α＝60°－50°＝10°. 二、填空题

7．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．

[答案] 6 km

[解析] 如图，水流速和船速的合速度为v ，

在△OAB 中：

OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB ·cos60°， ∴OB ＝v ＝23km/h.

即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3＝6 km. 8．在灯塔上面相距50m 的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．

[答案] 25(3＋1)m

[解析] 由题意，作出图形如图所示，

设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°， ∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，

又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，

∴AC ＝

AB ×sin30°

sin15°＝50×12

6－24

＝25(6＋2)(m)．

∴出事渔船离灯塔的距离CD ＝2

2AC

＝25(6＋2)·22＝25(3＋1)(m)．

三、解答题

9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449)．

[解析] 在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1，

又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，

故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA ， 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC

sin ∠ABC ，

即AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋6

20， 因此，BD ＝32＋6

20≈0.33km. 故B 、D 的距离约为0.33km.

一、选择题

1．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B

的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( )

A ．20m

B ．30m

C ．40m

D ．60m

[答案] C

[解析] 设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝20 3.

在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40，故选C ．

2．已知两力|F 1|＝46N ，|F 2|＝43N ，且夹角为45°，则其合力|F |为( ) A ．43N

B ．415N

C ．415N 或43N

D ．以上都不对 [答案] B [解析]

如图，合力为AD →，在△ABC 中，AC ＝43，CD ＝46，∠ACD ＝135°

，

由余弦定理，得AD 2＝(46)2＋(43)2－2×46×43·cos135°＝240，所以AD ＝415.

3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )

A ．176

2n mile/h

B ．346n mile/h

C．

172

2n mile/h

D．342n mile/h

[答案] A

[解析]如图所示，在△PMN中，

PM

sin45°

＝MN

sin120°

，

∴MN＝

68×

3

2

2

2

＝346，∴v＝MN

4

＝176

2(n mile/h)．

4．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为()

A．2 500(3－1)m B．5 0002m

C．4 000m D．4 0002m

[答案] A

[解析]示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，

∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.

由正弦定理，得10 000

sin45°

＝BC

sin30°

，又cos75°＝BD

BC

，

∴BD＝10 000·sin30°

sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．

二、填空题

5．某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．

[答案]无

[解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，

AB ＝30， ∠BAC ＝30°，

∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°， 由正弦定理，得BC ＝

AB sin ∠BAC

sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝15

6－2

4

＝15(6＋2)．

在Rt △BDC 中，CD ＝2

2BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．

6．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？

[答案] 北偏东30° [解析]

如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，

BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°， 由

BC sin ∠CAB

＝AC

sin B ，

得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at

＝1

2.

∵0°<∠CAB<90°，

∴∠CAB＝30°，

∴∠DAC＝60°－30°＝30°.

即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．

三、解答题

7．在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图

所示)的东偏南θ(cosθ＝

2

10)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北

45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

[解析]如图所示，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台

风侵袭的圆形区域半径为(10t＋60)km.若在时刻t城市O受到

台风的侵袭，则OQ≤10t＋60.

由余弦定理，得

OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ，

由于PO＝300，PQ＝20t，

∴cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°

＝2

10×

2

2

＋1－2

102×

2

2

＝4

5

，

故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×4

5＝202t2－9600t＋3002，

因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24. 答：12h后该城市开始受到台风的侵袭．

8．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103m ，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．

[分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．

[解析] 解法一：∵∠P AB ＝θ，∠PBC ＝2θ， ∴∠BP A ＝θ，∴BP ＝AB ＝30. 又∵∠PBC ＝2θ，∠PCD ＝4θ， ∴∠BPC ＝2θ，∴CP ＝BC ＝10 3. 在△BPC 中，根据正弦定理，得PC

sin2θ＝PB

sin (π－4θ)

，

即103sin2θ＝30

sin4θ ， ∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103 .

由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝3

2. ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 解法二：在△BPC 中，根据余弦定理，得 PC 2＝PB 2＋BC 2－2PB ·BC ·cos2θ， 把PC ＝BC ＝103，PB ＝30代入上式得， 300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ， 化简得：cos2θ＝32 .

∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.

解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，

∵△BPC为等腰三角形，

∴PE＝BE＝15.

在Rt△BEC中，cos2θ＝BE

BC ＝15

103

＝3

2.

∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.