正多边形和圆及圆的有关计算

正多边形和圆及圆的有关计算

一、知识梳理：

1、正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n （n ＞3）等分：

（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n 边形的每个中心角等于n

360 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

2、正多边形的有关计算 正n 边形的每个内角都等于n

n

180)2(- 定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

3、画正多边形

(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆

正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。

正五边形的近似作法(等分圆心角)

4、圆周长、弧长

（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180R n L π=

5、圆扇形，弓形的面积

（l ）圆面积：2R S π=；

（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形

注意：因为扇形的弧长180

R n L π=。所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形 （3）弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三

角形面积。

（4）圆柱和圆锥的侧面展开图

a 、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到的图形是一个圆柱。（如图所示）

AB 叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD ， C ’D ’，…都叫圆柱的母线。 圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。

圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。 ∴S 侧面=2πRh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h ，一边长为2R

R 是圆柱底半径，h 是圆柱的高。如图所示

b 、圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。

如图所示，把Rt △OAS 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。

旋转轴SO 叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA 、SA ’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。 圆锥的侧面展开图如所示是一个扇形SAB

半径是母线长，AB 是2πR 。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S 侧面=πRL.

二、典型例题：

1.如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六

边形的渐开线”，其中 1FK ， 12K K ， 23K K ， 34K K ， 45

K K ， 56K K ，……的圆心 依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，

…….当AB ＝1时，l 2 011等于（ ） A.20112π

B. 20113π

C. 20114π

D. 20116π

2.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为(3)a a ≥的正方形内任意移动，

这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）

A.2a π-

B. 2(4)a π-

C. π

D. 4π-

3.如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此

时点B 到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）.

A. 3π

B. 6π

C. 5π

D. 4π

4. 以数轴上的原点O 为圆心,3为半径的扇形中,圆心角90AOB ∠= ,另一个扇形 是以点P 为圆心,5为半径,圆心角60CPD ∠= ,点P 在数轴上表示实数a ,如图,

如果两个扇形的圆弧部分(

AB 和 CD )相交,那么实数a 的取值范围是__________.

5.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是m 。（结果用π表示）

6.如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且

AE =6，EF =8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面

积为___________.

7.如图，将边长为a 的正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6在直线l 上由图1

的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2

位置时，顶点A 1所经过的路径的长为___________.

8.如图3，自行车的链条每节长为2.5cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm ，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为________.

9.如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB ⊥半径OC ，沿AB 将弓形ACB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是__________.

10.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝6.将扇形OAB

沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在 AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，

求整个阴影部分的周长和面积．

11.阅读下列材料，然后解答问题．

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形．

如图，已知正四边形ABCD 的外接圆O ⊙，O ⊙的面积为1S ，正四边形ABCD 的面积为2S ．以圆心O 为顶点作MON ∠，使90MON ∠=°．将MON ∠绕点O 旋转，OM ON 、分别

与O ⊙相交于点E F 、，分别与正四边形ABCD 的边相交于点G H 、．设由 OE OF EF

、、及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S ．

（1）当OM 经过点A 时（如图①），则12S S S 、、之间的关系为：S =（用含12S S 、的代数式表示）；

（2）当OM AB ⊥时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；

（3）当MON 旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

三、巩固练习：

1.如图，在?ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD 的长

为半径画弧交AB 于点E ，连结CE ，则阴影部分的面积是________．

2.如图所示，A 是半径为1的⊙O 外一点，OA ＝2，AB 是⊙O 的切线，

B 为切点，弦B

C ∥OA ，连结AC ，阴影部分的面积为____________.

3.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为______．

4.在半径为4π

的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于. 5.已知圆锥的高是30cm ，母线长是50cm ，则圆锥的侧面积是cm 2.

6.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2“等边扇形”的面积为_______________.

7.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋

转一周，则所得几何体的体积为______________.

8.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC .把△ABC 绕点A 按 顺时针方向旋转45°后得到△AB ′C ′，若AB ＝2，则线段BC 在

上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．

9.如图，扇形OAB ，∠AOB ＝90°，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 相切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是________．

10.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP .

若阴影部分的面积为9π，则弦AB 的长为________．

11.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB 、OD 为直径作⊙O 1、⊙O 2.

(1)求⊙O 1的半径；

(2)求图中阴影部分的面积．

12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.

(1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝23，

求线段BD，BE与劣弧 DE所围成的图形面积．(结果保留根号和π)

13.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD 的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为x cm.

(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；

(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，

当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？