排列组合题以及公式

排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．

【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．

（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

解：（1）①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）（2）①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；

（3）①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；

（4）①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．

【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.

排列与组合的概念与计算公式

1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

一个组合；从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示.

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

３．其他排列与组合公式

从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列的计算公式:

第一位的可能性×第二位的可能性×....×第N 位的可能性

例如

5个人排队,第三个人的位置不变,那么第一位置的可能性是4,第二位置的可能性是3,第三位置的可能性是1,第四位置的可能性是2,第五位置的可能性是1,那么共有5×4×1×2×1=40种

组合的公式: 我举例来说吧

第一规则:从五个事物里取三种事物组合 与 从五个事物里取二种事物组合是相同的 第二种规则:从五个事物里取三种事物组合的组合数 (5×4×3)÷(3×2×1)

从五个事物里取二种事物组合的组合数 (5×4)÷(2×1)

从十里取八与从十里取二相同

(10×9×8×7...取几个数就依次乘几个数)÷(8的阶乘) 备注:8阶乘就是从８依次乘到1

数学补差（4）———计数原理

1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有

A ．33A

B ．334A

C ．523533A A A -

D ．23113

23233A A A A A +

3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6

4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是

A ．男生2人女生6人

B ．男生3人女生5人

C ．男生5人女生3人

D ．男生6人女生2人.

5．在8

2

x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5

(12)(2)x x -+的展开式中3

x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100-

7．22n

x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是

A ．180

B ．90

C ．45

D ．360

8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个

9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是

A ．1260

B ．120

C ．240

D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于

A ．5569n n A --

B ．1569n A -

C ．1555n A -

D ．14

69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为

A ．120

B ．240

C ．280

D ．60

12．把10

)x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是

A ．135

B ．135-

C ．-

D ．

13．2122n

x x ??+ ??

?的展开式中，2

x 的系数是224，则2

1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7

15．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.

16．在220

(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，

4r T = .

17．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这

样的四位数有_________________个.

18．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则

x = .

19．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？

20．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.

21．2

3

4

5

(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中的3

x 的系数是___________

22．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 23．8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?_______ 24．5

0.991的近似值（精确到0.001）是多少？

25．7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头:

（2）甲不排头，也不排尾:

（3）甲、乙、丙三人必须在一起: （4）甲、乙之间有且只有两人: （5）甲、乙、丙三人两两不相邻: （6）甲在乙的左边（不一定相邻）:

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序: （8）甲不排头，乙不排当中:

26．已知5025001250(2),a a x a x a x =++++L 其中01250,,,a a a a L 是常数,计算

220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++L L

15、8640 16、1530

204,C x - 17、840 18、2 19、n

2

20、 23 21、15 22、105 23、480 24、0.956

25．解：（1）甲固定不动，其余有66720A =，即共有6

6720A =种；

（2）甲有中间5个位置供选择，有1

5A ，其余有66720A =，即共有16563600A A =种；

（3）先排甲、乙、丙三人，有3

3A ，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当

于5人的全排列，即55A ，则共有53

53720A A =种；

（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有25A ，甲、乙可以交换有2

2A ， 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，

则共有224

524960A A A =种；

（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有4

4A ，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排

这五个空位，有35A ，则共有34

541440A A =种；

（6）不考虑限制条件有7

7A ，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半， 即

7

7125202

A =种； （7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有4

7A ，留下三个空位，甲、乙、丙

三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即4

7840A =

（8）不考虑限制条件有77A ，而甲排头有66A ，乙排当中有6

6A ，这样重复了甲排头，

乙排当中55A 一次，即765

76523720A A A -+=

6．解：设50

()(2)f x =-，令1x =，得5001250(2a a a a ++++=L

令1x =-，得5001250(2a a a a -+-+=L

220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++=L L

50500125001250()()(2(21a a a a a a a a ++++-+-+==L L

4．已知21n

x x ??- ???展开式中的二项式系数的和比7

(32)a b +展开式的二项式系数的和大128,

求21n

x x ?

?- ??

?展开式中的系数最大的项和系数量小的项.

5．（2）

n

?

?

的展开式奇数项的二项式系数之和为128， 则求展开式中二项式系数最大项。

(数学选修2--3) 第一章 计数原理

[综合训练B 组]

一、选择题 二、填空题 [提高训练C 组]

一、选择题

4．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S

的值为A.

20128 B ．15128 C ．16128 D ．21128

5．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则22

02413()()a a a a a ++-+的值为

A.1 B ．1- C ．0 D ．2 二、填空题

2．在△AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共个点，以这12个点为顶点的三角形有 个.

5．若2222

345363,n C C C C ++++=L 则自然数n =_____.

三、解答题

1．6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?

2．有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？

数学选修2-3 第一章 计数原理 [基础训练A 组]

一、选择题

1．B 每个小球都有4种可能的放法，即44464??=

2．C 分两类：（1）甲型1台，乙型2台：1

2

45C C ；（2）甲型2台，乙型1台：2

1

45C C

1221

454570C C C C +=

3．C 不考虑限制条件有55A ，若甲，乙两人都站中间有2333A A ，523

533A A A -为所求 4．B 不考虑限制条件有25A ，若a 偏偏要当副组长有14A ，21

5416A A -=为所求 5．B 设男学生有x 人，则女学生有8x -人，则213

8390,x x C C A -=

即(1)(8)30235,3x x x x --==??=

6．A 14888883

3

18

8811()((1)()(1)()222r r r r r r r r r r r r r x T C C x

C x ------+==-=- 令68667841

80,6,(1)()732

r r T C --

===-= 7．B 5553322

55(12)(2)2(12)(12)...2(2)(2)...x x x x x C x xC x -+=-+-=+-+-+ 2333

55(416)...120...C C x x =-+=-+

8．A 只有第六项二项式系数最大，则10n =，

55102110

1022()2r r

r

r r r r T C C x x --+==，令2

310550,2,41802

r r T C -==== 二、填空题

1．（1）10 3510C =；（2） 5 4

55C =；（3）14 446414C C -=

2．8640 先排女生有46A ，再排男生有44A ，共有44

648640A A ?=

3．480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有14A ，其余的有55A ，共有15

45480A A ?=

4．1890 10110(r r

r r T C x -+=，令466510106,4,91890r r T C x x -==== 5．1530204,C x - 411152151530

2020162020,41120,4,()r r C C r r r T C x C x -+=-++===-=- 6．840 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有25A ，其余的27A ，共有22

57840A A ?= 7．2 当0x ≠时，有4

424A =个四位数，每个四位数的数字之和为145x +++

24(145)288,2x x +++==；当0x =时，288不能被10整除，即无解

8．11040 不考虑0的特殊情况，有32555512000,C C A =若0在首位，则314

544960,C C A = 325314

5555441200096011040C C A C C A -=-=

三、解答题

1．解：（1）①是排列问题，共通了211110A =封信；②是组合问题，共握手2

1155C =次。

（2）①是排列问题，共有21090A =种选法；②是组合问题，共有2

1045C =种选法。 （3）①是排列问题，共有2856A =个商；②是组合问题，共有2

828C =个积。 2．解：（1）甲固定不动，其余有66720A =，即共有6

6720A =种；

（2）甲有中间5个位置供选择，有1

5A ，其余有66720A =，即共有16563600A A =种；

（3）先排甲、乙、丙三人，有3

3A ，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当

于5人的全排列，即55A ，则共有53

53720A A =种；

（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有25A ，甲、乙可以交换有2

2A ， 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，

则共有224

524960A A A =种；

（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有4

4A ，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排

这五个空位，有35A ，则共有34

541440A A =种；

（6）不考虑限制条件有7

7A ，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半， 即

7

7125202

A =种； （7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有4

7A ，留下三个空位，甲、乙、丙

三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即4

7840A =

（8）不考虑限制条件有77A ，而甲排头有66A ，乙排当中有6

6A ，这样重复了甲排头，

乙排当中55A 一次，即765

76523720A A A -+=

3．解：43

212143(1)140(21)2(21)(22)140(1)(2)

x x x x A A x N x x x x x x x ++≥??≥?=??∈??+--=--?

23(21)(21)35(2)3435690x x N

x x x x x N

x x ≥??

?∈??+-=-??≥?

?∈??-+=?

得3x =

22122122

311222122

(2),(1)

,2,4

2

n n n n n n n n

n n

C C C C C C C C n n C

C n n +++++++=+++=+-=+==

4．解：7

22128,8n

n -==，8

21x x ??- ??

?的通项281631881()()(1)r r r r r r

r T C x C x x --+=-=-

当4r =时，展开式中的系数最大，即4

570T x =为展开式中的系数最大的项； 当3,5r =或时，展开式中的系数最小，即7

2656,56T x T x =-=-为展开式中

的系数最小的项。

5．解：（1）由已知得25

7n n C C n =?=

（2）由已知得1351

...128,2128,8n n n n C C C n -+++===，而展开式中二项式

系数最大项是44

4

418(70T C x +==

6．解：设50

()(2)f x =-，令1x =，得5001250(2a a a a ++++=L

令1x =-，得5001250(2a a a a -+-+=L

220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++=L L

50500125001250()()(2(21a a a a a a a a ++++-+-+==L L

数学选修2-3 第一章 计数原理 [综合训练B 组]

一、选择题

1．C 个位12A ，万位1

3A ，其余33A ，共计11323336A A A = 2．D 相当于3个元素排10个位置，3

10720A =

3．B 从55n -到69n -共计有15个正整数，即15

69n A -

4．A 从,,,c d e f 中选2个，有2

4C ，把,a b 看成一个整体，则3个元素全排列，3

3A

共计23

4336C A =

5．A 先从5双鞋中任取1双，有15C ，再从8只鞋中任取2只，即2

8C ，但需要排除

4种成双的情况，即284C -，则共计12

58(4)120C C -=

6．D 7

377810)()T C x =-=，系数为

7．A 22221221(2)

(

)22r n r

r n r r n r

r n n T C x C x x

---+==，令222,1n r r n -==-

则2

11222224,56,4n n n

n

C

C

n --===，再令3286214

822,5,4C r r T x x

--=-===

8．D 310103105255

1010(1)(1)(1)(1)()...207...x x x x x C C x x -+=+-+=-+=+

二、填空题

1．2n 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有22...2(2)2n

n ???=个

2．60 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即1331

545460C C C C += 3．23 112

342123C C A -=，其中(1,1)重复了一次

4．3 1,2n k ==

5．51- 5

1()1x x ??+- ???

的通项为551()(1),r r

r C x x -+-其中51()r x x -+的通项为

'

'

525r r r r C x

---，所以通项为'

'

5255(1)r r r

r r r C C x ----，令'

520r r --= 得'

52

r r -=

，当1r =时，'2r =，得常数为30-；当3r =时，'

1r =，得常数为20-； 当5r =时，'

0r =，得常数为1-；30(20)(1)51∴-+-+-=-

6．4186 3件次品，或4件次品，3241

4464464186C C C C +=

7．15 原式56(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x

-+--+-==+-，6(1)x -中含有4

x 的项是

24246(1)15C x x -=，所以展开式中的3

x 的系数是15

8．105 直接法：分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数，

233241454545105C C C C C C ++=；间接法：5541

9554105C C C C --=

三、解答题

1．解：A B U 中有元素710413+-=

333

1363286201265C C C --=--=。

2．解：（1）原式32

3

33333

101100

100

101

101

101

1013331()16A C

C A C A A A A =+÷=÷=÷=÷=。

（2）原式34444444

35465111011330C C C C C C C C =+-+-++-==L 。 另一方法： 433333

44510510C C C C C C =++++=+L L 原式 433434

6610101011330C C C C C C =+++==+==L L

（3）原式111111m m m m m n n n n n

m m m m n

n n n C C C C C C C C C ----+=-=+-=

3．证明：左边!!(1)!!()!(1)!(1)!

n m n n m n m n n m n m n m ?-+?+?=

+=--+-+

1(1)![(1)]!

m

n n A n m ++=

==+-右边

所以等式成立。

4．解：6

33(1)1(2)x x x x

-+-=，在6

(1)x -中，3x 的系数336(1)20C -=- 就是展开式中的常数项。 另一方法：

6=原式，3

346

(1)20T C =-=- 5．解：抛物线经过原点，得0c =，

当顶点在第一象限时，00,0,0

2a b a b a

>?

>?即，则有11

34C C 种； 当顶点在第三象限时，00,0,0

2a b a b a >?>-

>?即，则有2

4A 种； 共计有112

34424C C A +=种。

6．解：把4个人先排，有4

4A ，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位

当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有25A ，所以共计有42

45480A A =种。

数学选修2-3 第一章 计数原理 [提高训练C 组]

一、选择题

1．B

!!

6,34,7(3)!(4)!4!

n n n n n n =?-==--?

2．D 男生2人，女生3人，有2

3

3020C C ；男生3人，女生2人，有3

2

3020C C

共计2332

30203020C C C C +

3．A 甲得2本有26C ，乙从余下的4本中取2本有24C ，余下的22C ，共计22

64C C 4．B 含有10个元素的集合的全部子集数为10

2S =，由3个元素组成的子集数

为3

10T C

=，

3

1010152128

C T S == 5．A 22

024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+

44

(2(21=+?-=

6．D 分三种情况：（1）若仅7T 系数最大，则共有13项，12n =；（2）若7T 与6T 系数相

等且最大，则共有12项，11n =；（3）若7T 与8T 系数相等且最大，则共有14项，

13n =，所以n 的值可能等于11,12,13

7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有1

4C

；

（2）平均分二个与二个，有2

4

2

C 共计有2

14

4

72

C C += 8．

D 复数,(,)a bi a b R +∈为虚数，则a 有10种可能，b 有9种可能，共计90种可能 二、填空题

1．9 分三类：第一格填2，则第二格有1

3A ，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；

第一格填3，则第三格有1

3A ，第一、四格自动对号入座，不能自由排列； 第一格填4，则第撕格有1

3A ，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；

共计有1

339A =

2．165 333

1267165C C C --=

3．180,30 0a ≠，111665180C C C =；2

60,30b A ==

4．4 3999219

9()((1))2r r r r r

r r r r a T C a C x x ---+==-，令393,82

r r -==

8

88999

(1),42164

aC a a -=== 5．13 322223222

33454453631,364,n n C C C C C C C C C +++++=+++++=L L 3223

551...364,13n n C C C C n ++++====L

6．28

25!6!77!

,23420!(5)!!(6)!10!(7)!

m m m m m m m m -=?-+=---

而05m ≤≤，得2

882,28m m C C ===

7．0.956

5520.991(10.009)150.00910(0.009)...10.0450.000810.956=-=-?+?+≈-+≈

8．2- 设()(12)n

f x x =-，令1x =，得70127(12)1a a a a ++++=-=-L

令0x =，得01a =，127012a a a a +++=--=-L 三、解答题

1．解：6个人排有6

6A 种, 6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.

(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有4

735C =种插法， 故空位不相邻的坐法有6

46725200A C =g

种。 (2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插

有27A 种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有62

6730240A A =种。

(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：

①4个空位各不相邻有4

7C 种坐法;

②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1

2

76C C 种坐法; ③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有27C 种坐法.

综合上述,应有64122

67767()118080A C C C C ++=种坐法。

2．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有4

424A =；

若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有22

3436C A =；

若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，

自动进入，不需要排列，即有11

3412C A =；

所以有24361272++=种。

3．解：5454

(12)(13)(21)(31)x x x x -+=--+

514413

54[(2)(2)...][(3)(3)...]x C x x C x =--+++

5443

(3280...)(81108...)x x x x =--+++

98898

(2592818032108...)25923024...

x x x x x =--?+?+=-++

4．解：22

113

89989(81)89n n n n n n +++--=--=+--

01112111111011211110112111188888964(88)8(1)18964(88)

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C n C C C n n M M C C C +-++++++---+++---+++=+++++--=++++++--=?=+++L L L 记 M Q 为整数，6464M ∴能被整除.

5．证明：01223...(1)n

n n n n C C C n C +++++

01212(...)(2...)n n

n n n n n n n C C C C C C nC =++++++++

121

1111

2(1...)

22

n n n n n n n n C C C n -----=+++++=+?

6．解：（1）3

1

2*(1)(2)

7,

7,3400,86

n n n n n C C n n n n N n --==--=∈=由,得；

（2）523443243

7772,213570,0C a C a C a a a a a +=+=≠

得2

510301a a a -+=?=； （3）44lg 44(1lg )

28(2)()1120,1,lg lg 0x x C x x x

x x +==+= 得lg 0x =，或lg 1x =- 所以1

1,10

x x ==

或。