微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分(下)试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛,则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分)
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答 案 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
微积分大一基础知识经典讲解
Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ? =)()(x g x f :N ote 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f Example )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x Given two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by )) (())((x g f x g f = Note )))((())((x h g f x h g f =
微积分试卷及答案4套
微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε,总存在δ>0,使得当 时,恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。 3. 若当0x x →时,α与β 是等价无穷小量,则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导,则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=,52 +=Q C ,则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域(a -ε,a +ε)内有无穷多个点,则( )。 (A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的( )。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点
(D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x ( ) 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=,需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞,则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞,则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在,则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是( ) 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y ( )。 (A) 只有水平渐近线; (B) 只有垂直渐近线; (C) 没有渐近线; (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续,其导函数图形如右图所示,则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ,则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x
知识讲解_微积分基本定理
微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
微积分试卷及答案
2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人 2010 年 6 月10日使用班级 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题(共5小题,每题3分,共计15分) 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.设,则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设,则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设,其中可导,则(). (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立,则() (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是(). (A) (B) (C) (D) 三、计算(共2小题,每题5分,共计10分)
1. 2. 四、计算(共3小题,每题6分,共计18分) 1.设,求 2.设函数,而,求. 3.设方程确定隐函数,求 五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、(共2小题,每题8分,共计16分) 1.判别正项级数的收敛性. 2. 求幂级数收敛区间(不考虑端点的收敛性). 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积(本题10分) 八、设,求.(本题6分) 徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题(共5小题,每题3分,共计15分) 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.设,则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B)
《微积分基础》作业
微积分基础形成性考核作业(一) ————函数,极限和连续 一、填空题(每小题2分,共20分) 1.函数)2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 . 2.函数x x f -=51)(的定义域是 . 3.函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 . 4.函数72)1(2+-=-x x x f ,则=)(x f . 5.函数???>≤+=0 e 2 )(2x x x x f x ,则=)0(f . 6.函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f . 7.函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 . 8.=∞→x x x 1 sin lim . 9.若2sin 4sin lim 0=→kx x x ,则=k . 10.若23sin lim 0=→kx x x ,则=k . 二、单项选择题(每小题2分,共24分) 1.设函数2 e e x x y +=-,则该函数是( ). A .奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D .既奇又偶函数 2.设函数x x y sin 2=,则该函数是( ). A .奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D .既奇又偶函数
3.函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于( )对称. A .x y = B .x 轴 C .y 轴 D .坐标原点 4.下列函数中为奇函数是( ). A .x x sin B .x ln C .)1ln(2x x ++ D .2x x + 5.函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为( ). A . 5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x 6.函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是( ). A . ),1(+∞ B .),1()1,0(+∞? C .),2()2,0(+∞? D .),2()2,1(+∞? 7.设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( ) A .)1(+x x B .2x C .)2(-x x D .)1)(2(-+x x 8.下列各函数对中,( )中的两个函数相等. A .2)()(x x f =,x x g =)( B .2)(x x f =, x x g =)( C .2ln )(x x f =,x x g ln 2)(= D .3ln )(x x f =,x x g ln 3)(= 9.当0→x 时,下列变量中为无穷小量的是( ). A .x 1 B .x x sin C .)1ln(x + D .2x x
高等数学基础模拟试题2及参考答案
高等数学基础试题 一、单项选择题(每小题4分,本题共20分) 1.函数2 e e x x y -=-的图形关于( )对称. (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中,( )是无穷小量. (A) )(1 sin ∞→x x x (B) )0(1 sin →x x (C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1 ∞→x x 3.设)(x f 在0x 可导,则=--→h x f h x f h 2)()2(lim 000( ). (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 4.若?+=c x F x x f )(d )(,则?=x x f x d )(ln 1( ). (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x F +)1( 5.下列积分计算正确的是( ). (A) 0d sin 11 =?-x x x (B) 1d e 0=?∞--x x (C) πd 2sin 0=?∞-x x (D) 0d cos 11=?-x x x 二、填空题(每小题4分,共20分) 1.函数24) 1ln(x x y -+=的定义域是 . 2.若函数?????≥+<+=0 0) 1()(21x k x x x x f x ,在0=x 处连续,则=k . 3.曲线1)(3 +=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 . 4.函数x y arctan =的单调增加区间是 .
5.若?+=c x x x f sin d )(,则=')(x f . 三、计算题(每小题11分,共44分) 1.计算极限1)1sin(lim 21-+-→x x x . 2.设x x y e cos ln +=,求'y . 3.计算不定积分 ?x x x d e 21. 4.计算定积分?e 1d ln x x . 四、应用题(本题16分) 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时用料最省? 高等数学基础 答案 一、单项选择题 1.A 2.C 3. C 4. B 5. D 二、填空题 1. )2,1(- 2. e 3. 3 4. ),(∞+-∞ 5. x sin - 三、计算题 1. 解:21)1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 2. 解:x x x y e sin e 1-=' 3. 解:由换元积分法得 c u x x x u u x x +-=-=-=???e d e )1(d e d e 121 c x +-=1e 4. 解:由分部积分法得 ??-=e 1e 1e 1)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e 1?=-=x 四、应用题(本题16分)
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 选择题(6X2) 1?设f(x) 2cosx,g(x) (1严在区间(0,—)内()。 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数 2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)紺勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1)n B X n si n - n n 2 1 1 C X n-(a 1) D X n cos a n 5、若f "(x)在X0处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o)1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2 x ;3 y 也厂,?1)^ 4?0) lim (x 1)(x m) 5 解:原式=x 1 (x 1)(x 3) m 7 b limU 」2 x 1 x 3 4 7,a 6 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小 lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X 0处连续不可导( ) 5、 (x) 在 0,1 f '(x) 0令 A f'(0) f'(1),C f(1) f (0),则必有 A>B>C() 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 x im 0 1 e x2 解:原式=lim x 0 1 x lim e x2 ( 2x x 0 J 2x 3 1 lim e x x 0 2 若 f (x) (x 3 10)4,求f ''(0) 解: 4( x 3 24x f'(x) f ''(x) f ''(x) 0 3 2 2 , 3 10) 3x 12x (x .3 3 2 3 (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 10)3 3 . 3 3 4 , 3 2 24x (x 10) 108x (x 10) 4 I o 2 3 求极限 lim(cos x) x x 0