中职数学-三角函数教案

三角函数

一、任意角

1、角得概念得推广

⑴“旋转”形成角

⑵“正角”与“负角”“０角”

我们把按逆时针方向旋转所形成得角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成得角叫做负角,

2、“象限角”

角得顶点合于坐标原点,角得始边合于轴得正半轴，这样一来,角得终边落在第几象限,我们就说这个角就是第几象限得角(角得终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限) ３、终边相同得角

所有与α终边相同得角连同α在内可以构成一个集合。

二、弧度制

1、定义:长度等于半径长得弧所对得圆心角称为1弧度得角它得单位就是ｒad，读做弧度,这种用“弧度”做单位来度量角得制度叫做弧度制．

说明：(1）正角得弧度数就是正数,负角得弧度数就是负数,零角得弧度数就是0

(２)角得弧度数得绝对值公式: （l 为弧长, r为半径)

2、角度制与弧度制得换算:

∵3６0?＝2πｒaｄ∴180?=πｒaｄ

∴1?＝

3、两个公式

1)弧长公式：

由公式：比公式简单

弧长等于弧所对得圆心角(得弧度数)得绝对值与半径得积

2）扇形面积公式其中就是扇形弧长,就是圆得半径

４、一些特殊角得度数与弧度数得对应值应该记住：

5、应确立如下得概念：角得概念推广之后,无论用角度制还就是弧度制都能在角得集合与实数得集合之间建立一种一一对应得关系

任意角得集合实数集R

三、任意角三角函数得定义

1、设就是一个任意角,在得终边上任取（异于原点得)一点P(x,y)

则Ｐ与原点得距离

(1)把比值叫做得正弦记作：

(２)把比值叫做得余弦记作：

（3）把比值叫做得正切记作:

上述三个比值都不会随P点在得终边上得位置得改变而改变、当角得终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点P得横坐标x都为0,所以tan无意义;

它们都就是以角为自变量,以比值为函数值得函数、以上三种函数,统称为三角函数。

三角函数值得定义域：

R

R

2、三角函数得符号

3、终边相同得角得同一三角函数值相等

例如３90°与-３3０°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们得三角函数值相同，即

sｉn390°＝sin30°cos390°=cos30°

sin(－３３0°)=sin30°cos(－３３0°)＝cos30°

诱导公式一（其中): 用弧度制可写成

这组公式得作用就是可把任意角得三角函数值问题转化为０~２π间角得三角函数值问题。

4、三角函数得集合表示:

例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同得角,并判断它就是哪个象限得角

例2、写出终边在y轴上得角得集合(用0到3６0度得角表示)

例3、用集合得形式表示象限角

第一象限得角表示为{α|k?360?＜α<ｋ?360?+90?，（ｋ∈Z)}；

第二象限得角表示为

第三象限得角表示为

第四象限得角表示为

巩固练习

1、下列命题中正确得就是( )

Ａ、终边在y轴非负半轴上得角就是直角

B、第二象限角一定就是钝角

Ｃ、第四象限角一定就是负角

D、若β＝α＋ｋ·3６0°（k∈Ｚ),则α与β终边相同

２、与１20°角终边相同得角就是( )

A、 -60０°+k·３６0°，ｋ∈Z

B、-1２0°＋ｋ·３6０°，ｋ∈Ｚ

C、１20°+(2ｋ+１)·１80°，ｋ∈Ｚ

D、 660°＋k·3６0°,ｋ∈Z

3、角α得终边落在一、三象限角平分线上，则角α得集合就是

４、角α就是第二象限角,则１80°＋α就是第象限角;－α就是第象限角;180°－α就是第_＿___＿__象限角．

5、一个扇形OＡB得面积就是1平方厘米，它得周长就是4厘米，求∠ＡOB与弦ＡＢ得长、

6、确定下列各式得符号

(1）ｓiｎ100°·cｏs240° (2)siｎ5+tan5

四、三角函数

(一)三角函数得几何表示

1、有向线段：规定了方向(即规定了起点与终点)得线段称为有向线段。

有向直线:规定了正方向得直线称为有向直线。

有向线段得数量:有向线段AＢ与有向直线l得方向相同或相反,分别把它得长度加上正号与负号,这样所得得数叫做有向线段得数量。记为AB

如图:AＢ＝３,BC＝2,CB＝－2

2、三角函数线得定义:

?

有向线段MP、OＭ、AT都称为三角函数线

(二）同角三角函数得关系 1、 公式： 2、 采用定义证明: 1cos sin cos ,sin 1222

2

2

=+∴==

=+ααααr

x r y r

y x 且

αααππαtan cos sin )(22==?=÷=∈+≠x

y

x r r y r x r y Z k k 时，当

(三)诱导公式 1、诱导公式一:

?

（其中) 用弧度制可写成

?

（其中)

诱导公式（一)得作用:把任意角得正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角得正弦、余弦、正切,其方法就是先在0o―360o内找出与角终边相同得角,再把它写成诱导公式(一)得形式,然后得出结果。 2、诱导公式二： 用弧度制可表示如下： ３、诱导公式三：

４、诱导公式四: 用弧度制可表示如下：

５、诱导公式五:

6、诱导公式六:

sin（90?-α) ＝ coｓα cｏs(90?-α）＝ sinα、

tａn(90?-α) ＝ cotαcoｔ(90?-α）＝ｔanα、

sec(9０?-α） = csｃαcｓc(90?-α) ＝ｓecα

7、诱导公式七:

ｓｉｎ(９０? +α） = cosαcos(90?＋α) = -sinα、

tan(90?＋α) ＝-ｃotα cot(90? +α) = -tanα、

sec(90? +α） = -ｃscαcsc(90?+α) = secα

例1、确定角α为何值时,下面得式子有意义。

(１)cｏｓαｔaｎα(２)

例2、已知,求sin、tan得值。

例5、求下列各式得值: (１）sｉn(－）;(2)cos(-60o）-ｓiｎ(-2１0o）

巩固练习

1、已知sｉnα+cosα=,且0<α<π,则tanα得值为( )

Ａ、?B、??C、??Ｄ、

2、 = 。

3、求下列三角函数值:

(１)；(2);（3）；(4)

五、三角函数得图象与性质

(一)三角函数得周期性

周期函数:一般地,对于函数ｆ(ｘ)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内得每一个值时,都有f(x＋T)=f(ｘ),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数得周期。

说明: ①周期函数x 定义域M,则必有ｘ+T M

②T 往往就是多值得(如y=si ｎx 2 ,4 ，…,－2 ，－4 ,…都就是周期)周期T 中最小得正数叫做ｆ (x ）得最小正周期(有些周期函数没有最小正周期);正弦函数、余弦函数都就是周期函数,2ｋπ(k ∈Ｚ且k ≠0)都就是它得周期,最小正周期就是２π 注：在本书中,如果不加以说明，周期都就是指函数得最小正周期。

（二）三角函数得性质 1、 几何法作图

第一步:列表。首先在单位圆中画出正弦线与余弦线。在直角坐标系得x 轴上任取一点,以为圆心作单位圆,从这个圆与x 轴得交点A 起把圆分成几等份,过圆上得各分点作x 轴得垂线,可以得到对应于角,，,…，2π得正弦线及余弦线(这等价于描点法中得列表)。

第二步:描点。我们把x 轴上从０到2π这一段分成几等份,把角ｘ得正弦线向右平行移动，使得正弦线得起点与x 轴上相应得点x 重合,则正弦线得终点就就是正弦函数图象上得点。

第三步:连线。用光滑曲线把这些正弦线得终点连结起来，就得到正弦函数y ＝sin ｘ,x ∈[0,2π]得图象。

-1

1

y x

-6π

-5π

6π5π

-4π

-3π

-2π

-π

4π

3π

2π

π

f x () = sin x ()

将y=sinx 得图象向左平移即得ｙ=cos ｘ得图象

2.用五点法作正弦函数与余弦函数得简图(描点法)

(1)正弦函数ｙ=ｓinx,x∈［０,2π]得图象中,五个关键点就是：

(0,0) （，1） (π，0) (,－１) (2π,０)

(２)余弦函数y=ｃosｘ x∈[0,2π]得图象中,五个关键点就是：

(0,1） (,0）（π,-1) (，0) (2π，１）

3、正弦函数得性质

(１）定义域：

正弦函数、余弦函数得定义域都就是实数集R

分别记作: y=ｓin x，x∈R y＝ｃosｘ,x∈R

（2)值域

正弦函数、余弦函数得值域都就是[－1,1］。

其中正弦函数y=ｓiｎx,ｘ∈Ｒ

①当且仅当x＝＋２kπ,k∈Z时,取得最大值1。

②当且仅当ｘ=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值－1。

而余弦函数ｙ＝cｏs x,x∈R

①当且仅当x=２kπ,k∈Z时，取得最大值１。

②当且仅当x＝(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值－1。

（３）周期性

正弦函数、余弦函数都就是周期函数,2ｋπ(ｋ∈Z且k≠０)都就是它得周期，最小正周期就是2π。

函数

及函数

(其中A，为常数,且）得周期

(4)奇偶性

ｙ=sｉn x为奇函数，y＝ｃoｓx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

(5)单调性

正弦函数在每一个闭区间［-＋2kπ,+2ｋπ](ｋ∈Z)上都就是增函数，其值从-１增大到1;在每一个闭区间[+2ｋπ,+2kπ］(k∈Z)上都就是减函数,其值从１减小到－１。

余弦函数在每一个闭区间［（2k－1）π,2ｋπ］(k∈Ｚ)上都就是增函数,其值从-１增加到1；在每一个闭区间[2kπ,(2k＋１)π］（k∈Ｚ)上都就是减函数，其值从１减小到-１。例1、若钟摆得高度ｈ(ｍm)与时间ｔ(s)之间得函数关系如图所示

(1)求该函数得周期;

(2)求t＝１0s时钟摆得高度。

h /mm

例2、利用正弦函数与余弦函数得图象,求满足下列条件得ｘ得集合:

例3、求下列函数得定义域:

（１)y＝ (2)y＝

巩固练习

1、函数y＝2－ｓin x,x∈［0,π］得最大值为( )

Ａ、０?B、-１???C、 2 Ｄ、

２、直接写出下列函数得定义域、值域：

y＝ y＝

3.函数y＝ksｉnx＋b得最大值为2,最小值为－４，求k,b得值。

4.求得单调递增区间。

5、求函数y＝－cｏsｘ得单调区间。

六、正切函数得图象与性质

1、正切函数图象得作法

在得区间作出它得图象

，且得图象,称“正切曲线”

正切函数得性质：

1、定义域:

2、值域:R

3、当时，当时

4、周期性：

5、奇偶性:奇函数

6、单调性:在开区间内,函数单调递增

七、函数y=Asｉn(ωｘ+φ）（A>0且A≠1,ω>0) 得图象

(一）函数图象得三种变换

1、振幅变换ｙ=Asｉnx，x∈Ｒ(A>0且Ａ≠1）得图象可以瞧作把正弦曲线上得所有点得纵坐标变为原来得A倍而得到。Ａ称为振幅（物体振动时离开平衡位置得最大距离)。

２、 周期变换：函数ｙ=ｓi ｎωx ，x ∈Ｒ(ω>0且ω≠1)得图象,可瞧作把正弦曲线上所有点得横坐标变到原来得倍（纵坐标不变)。ω决定了函数得周期。

３、 相位变换: 函数ｙ＝ｓin(x+),ｘ∈R (其中≠0)得图象,可以瞧作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动|｜个单位长度而得到。

例1、 比较与得大小

例２、 求函数得定义域、值域,并指出它得周期性、奇偶性、单调性

巩固练习

１、 判断正误

①y ＝As ｉｎωx 得最大值就是A,最小值就是－A ②y ＝As ｉn ωｘ得周期就是

③y=-３s ｉn4x 得振幅就是3,最大值为3,最小值就是-3 2、 函数y ＝tan(ax+)(a ≠０)得最小正周期为( ）

a

a a a ππππ D. ||C. ||2B. 2A.

3. 已知函数ｙ＝Asin(ωx+)（A>0,ω>0，0<<2π=图象得一个最高点就是(2,）,由这个最高点到相邻最低点得图象与ｘ轴交于点(6,0),试求函数得解析式。

４、 如图,某地一天从６时到14时得温度变化曲线近似满足函数y=A ｓin(ωx ＋φ)+B 。

(1)求这段时间得最大温差; (2)写出这段曲线得函数解析式。

八、两角与与差得余弦

设向量

所以 又 所以

以-β代β得:

两角与与差得余弦公式：

九、两角与与差得正弦

siｎ(α+β)＝cｏs[-(α+β)]＝ｃoｓ[(-α)-β]

＝ｃoｓ（-α)cosβ+sｉn(-α）sｉnβ

＝sinαcoｓβ＋cosαsinβ

即： S(α+β)

以-β代β得: S(α-β)

两角与与差得正弦公式

十、两角与与差得正切

tan(α+β)公式得推导

∵cos (α+β)≠0

ｔan(α+β)=

当coｓαcosβ≠0时，分子分母同时除以ｃｏｓαｃosβ得:

以-β代β得:

其中都不等于

两角与与差得正切公式

小结:两角与与差得正、余弦、正切公式

例1、计算①ｃos1０5?②cos1５?③coｓｃｏs-sｉnsｉn 例２、已知ｓin（α+β)=，sin(α-β)= 求得值

巩固练习

1.已知,求函数得值域

2、求得值

十一、二倍角公式得推导

在公式，,中,当时，得到相应得一组公式:

;

；

;

因为,所以公式可以变形为

或

公式，，,统称为二倍角得三角函数公式,简称为二倍角公式。

二倍角公式

注意:

（１)二倍角公式得作用在于用单角得三角函数来表达二倍角得三角函数,它适用于二倍角与单角得三角函数之间得互化问题。

(2)二倍角公式为仅限于就是得二倍得形式，尤其就是“倍角”得意义就是相对得。

（3)二倍角公式就是从两角与得三角函数公式中,取两角相等时推导出,记忆时可联想相应角得公式。

(4)熟悉“倍角”与“二次”得关系(升角—降次,降角—升次)

(5)特别注意公式得三角表达形式,且要善于变形：

这两个形式今后常用。

几个三角恒等式

1、积化与差公式得推导

ｓin（α + β) ＋sin(α-β）= 2ｓiｎαcｏsβ?ｓinαcoｓβ＝[sｉn(α＋β)+ ｓ

in(α - β）]

sin(α + β) - sin(α - β) ＝ 2co ｓαsin β ? cos αsi ｎβ ＝［ｓin(α + β) - sin （α - β)] cos(α + β) ＋ cos(α - β） ＝ 2ｃos αcos β ? cos αcos β ＝［cos(α + β) ＋ ｃo ｓ(α - β）]

ｃos(α + β) - cos （α - β) ＝ - 2ｓi ｎαsin β ? ｓｉn αs ｉn β = -[ｃｏs(α + β） - cos(α - β)]

2、与差化积公式得推导

若令α ＋ β ＝ θ,α - β = φ,则, 代入得:

)sin (sin 2

1

)]22sin()22[sin(212cos 2sin

φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ ∴

例1、 已知,求s ｉn2α,cos ２α,t ａｎ2α得值。

例2、 求ｓin10°s ｉｎ30°si ｎ5０°s ｉｎ70°得值。 例3、 若２70°<α＜36０°，则等于 ( Ｄ )

A 、 sin

B 、 cos Ｃ、 －si ｎ Ｄ、 -co ｓ

巩固练习

１、不查表,求下列各式得值 (1) （2） （3） （4）

2、求值:c ｏｓ２

８0°+ｓｉn 250°－sin190°·cos3２0° 3、化简:ｃｏs20?cos40?co ｓ8０? 4、化简下列各式:（可直接写答案) (1) (２)

(3）2sin ２

15７、5? - 1 ＝

（４）

课后作业

一、选择题

1、得值为( )

Ａ、 B 、 C 、 D 、 ２、若,则2x 在( )

A 、第一、二象限 Ｂ、第三、四象限 C 、第二、三象限 Ｄ、第二、四象限 3、在中，已知则

B 为( )

A.4５0

B 、600

C 、6００

或1200

D 45０

或1350

４、已知为锐角,则为( ）

A 、４５0

B 、１35０

Ｃ、２250

Ｄ、450

或1350

5、已知则为( )

A 、48

Ｂ、２4

C 、

D 、

6、在中，则这个三角形为（ )

A 、直角三角形

B 、锐角三角形 Ｃ等腰三角形 D 等边三角形、 7、下列与相等得就是( ) Ａ、 B 、

C 、 Ｄ、

8、在中,若则一定为( )

A.直角三角形 Ｂ、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 １０、若,则为( )

A 、 １

B 、－１ Ｃ、 D 、 二、填空题

11、＝

１2、在△AB Ｃ中,已知,则 13、在中,已知得面积为

1４在，则三角形的最大角为中，已知7 ,5 ,3===?c b a ABC 度 1５、在△A ＢC 中,已知，那么C= 。 1６、已知,,则

１7、已知 则得最大值为

18、在中，已知,则那么内角Ｂ =

19、已知直线,则直线绕着它与轴得交点旋转4５后得直线得斜率为2０、计算=

三、解下列各题

２１计算

２2、已知, ,求:得值

23、在△AＢC中，已知A=，ＡＣ=1,△ＡBC得面积为,求BC边得长

24、若(为第一象限角) 求得值

25．若角得终边经过点P（-3,４）,求与＋得值.

２6、在△ABC中,已知:,,△AＢC得面积为,求得长

２７. 在中，角A、Ｃ、B成等差数列,,,求：(6分）

(1)得长;

(2)得面积、