勾股定理教案(华师大版)
§14.1 勾股定理
【教学目标】
一、知识目标
1.在探索基础上掌握勾股定理。
2．掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
二、能力目标
1.已知两边，运用勾股定理列式求第三边。
2．应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题)。
３．学会简单的合情推理与数学说理,能写出简单的推理格式。
三、情感态度目标
学生通过适当训练，养成数学说理的习惯,培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
【重点难点】
重点：在直角三角形中，知道两边,可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点:灵活运用勾股定理。
【教学设想】
课型:新授课
教学思路:探索结论-验证结论-初步应用结论-应用结论解决实际问题。
【课时安排】2课时。
【教学设计】
第一课时
【本课目标】
1．在探索基础上掌握勾股定理。
2.掌握直角三角形中的边边关系和三角之间的关系。
【教学过程】
1.情境导入:从观察课本中图14入手引入勾股定理。
2、课前热身
观看图1４.1.１和图1４．1.２,数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵。
3、合作探究
（１)整体感知
由观察课本中图14.1.1和图14．1．2入手得出勾股定理;通过在图１4.１.3中动手操作证实勾股定理;通过对本课本第46页例1的探索求解巩固勾股定理。
图
14.1.1 （每一格表示1平方厘米） 图
14.1.2
（2）四边互动
互动1:
师：你们能数出图14.1．1中三块面积Ｐ、Q 、R 的数值吗？数数看．
生:根据图形进行操作.
由此得出:以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积。
师生共同归纳：R Q P S S S =+ ,即两直角边的平方和等于斜边的平方．
互动2：
师:你们能数出图14.１．2中三块面积Ｐ、Q 、R 的数值吗?数数看.
生:根据图形进行操作.
由此得出：以直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.
师生共同归纳， R Q P S S S =+，即两直角边的平方和等于斜边的平方．
互动3：
师：由上述操作你发现了一般规律了吗?
生：略
明确:在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方。
互动4：
师：展示课本中图14.1．３.
师:在上图中画出直角三角形A ＢC,用直尺量量斜边是多长好吗？
生:每人画出一个三角形,并动手测量后在小组中交流讨论,然后举手
回答问题。
明确：师生合作通过操作证明勾股定理:222c b a =+．
例题教学：例1：如图１４.1.4，将长为5．41米的梯子ＡC 斜靠在墙
上，BC 长为2.16米,
求梯子上端A 到墙的底端B 的距离AB.(精确到0．01米)
师：你会用勾股定理解这道题吗？试试看
生：操作后相互交流。
明确:在一个直角三角形中:两直角边的平方和等于斜边的平方。
注:在实际问题中往往需要求取近似值。
解：略。
4、达标反馈
(1）在直角△ABC 中,∠Ｃ＝090，a ＝3,b=4，则ｃ值是 ，理由是
(2）在直角△ABC 中，∠B ＝0
90，ａ＝3，ｂ=4,则c 值是 ,理由是
(3）在△A ＢC 中, a=３，b ＝4,c=5,则△ABC 是
５、学习小结
（1)内容总结 图
14.1.4
直角三角形三边满足勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角。
（2）方法归纳
让学生经历观察、操作、交流合作、合理猜想等体验吸取知识。
6、实践活动：利用勾股数确定直角的方法在测量中的应用，如测量河宽时可用勾股数确定直角,再利用直角三角形知识解决实际问题。
7、巩固练习：课本第46页第1、2题。
第二课时
【本课目标】
１．通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。
2.通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能。
【教学过程】
１.情境导入
多媒体播放如何制作相同的直角三角形纸板。
2、课前热身
让学生分组练习用四块相同的直角三角形板拼成正方形。
3、合作探究
(１）整体感知
通过相同直角三角形的拼图体验,让学生找出多种不同的方法来说明勾股定理的正确性,通过运用勾股定理解题,训练培养学生应用知识的技能,通过阅读材料让学生体验勾股定理的妙用。（2）四边互动:出示课本中图１9.2.5和19.2.６。
图14.1.5 图14.1.6
互动1：
师:你会拼出如图１4．1.6所示的图形吗?
生:讨论交流，举手回答问题。
师:你能运用面积列出等式说明勾股定理吗？
生：讨论交流,举手回答问题，并尝试说理。
明确：①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是
2
2
2c
b
a=
+。
互动2：出示课本中图14．1.7和14．1.8.
图14.1.7
图14.1.8 师:你会拼出图14.1.7吗
生：动用操作
师:你会用面积等式说明勾股定理吗？
生:讨论交流，举手回答并说理。
明确:①大正方形面积减去小正方形面积等于四个直角三角形面积。
②大正方形面积减去四个直角三角形面积等于小正方形面积。
③大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积。
④结论是
2
2
2c
b
a=
+。
互动3:
师：出示如图１４-2-2所示的图形.
你会拼成如图所示的图形吗？它需要几块三角板？
生:独立尝试后,在小组之间交流,并举手回答问题.
师：你会列出面积等式说明勾股定理吗？
生:讨论交流,举手回答问题,并尝试说理．
明确：①梯形面积减去等腰直角三角形面积等于两直角三角形面积。
②梯形面积减去两个直角三角形面积等于等腰直角三角形。
③梯形面积等于两个直角三角形面积加上等腰直角三角形的面积。
④结论是
2
2
2c
b
a=
+。
例题教学:例2 如图１4．1.9，为了求出湖两岸的Ａ、B两点之间的距离,一个观测者在点Ｃ设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量,得到AC长160米,ＢC长１２8米.问从点Ａ穿过湖到点B有多远？
图14.1.9
解在直角三角形ＡBC中,
AＣ＝１6０,BＣ=１28，
根据勾股定理可得
22BC AC AB -=
22128160-=
= 9６(米）
答:从点A 穿过湖到点B 有96米.
明确：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方:2
22AB BC AC +=
4、达标反馈
配套练习。
5、学习小结
（1)内容总结
可以通过拼图，得到正方形，再根据面积相等列出等式，从而验证勾股定理;
运用勾股定理可以解决许多实际问题;
运用三角形相似或全等知识能证明直角三角形中的勾股定理。
(2)方法归纳
通过动手操作、合作交流和亲身体验培养学生食好的学习方法，逐步养成优良的学习。
6、实践活动：动手制作直角三角形,并以三边长度为边作一个你喜欢的正多边形，研究它们面积之间的关系。
7、巩固练习:课本第48页1、2
--
§14.1.２ 直角三角形的判定
● 教学目标
1. 知识与技能
掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用．
2. 过程与方法
经历探索直角三角形的判定条件的过程,理解勾股定理逆定理.
3. 情感态度与价值观
激发学生解决问题的愿望,体会勾股定理逆向思维所获得的结论,明确其应用范围和实际价值.
● 教学重点
理解和应用直角三角形的判定.
● 教学难点
运用直角三角形判定方法进行解决问题．
● 教学方法
运用合情推理的方法,对勾股定理进行逆向思维,形成一种判别方法.
● 教学用具
多媒体课件、三角板等．
● 教学过程
一 、创设情境、引入新课
1.回忆勾股定理
(１）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2）勾股定理的应用:在直角三角形中，已知两边求第三边.
2.引入新课
（1)问：如果知道了一个三角形的三边,我们又能否判定这个三角形是不是直角三角形呢? 这是我们本节课将要解决的问题．
（2）古埃及人画直角三角形
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结,然后如图1那样用桩钉钉成一个三角形,他们认为其中一个角便是直角。
图1
问：你认为古埃及人这样画出的三角形是不是直角三角形呢?
二、探索新知
１. 练习：教材48页试一试：
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
① 3,a = 4,b = 5c =；
② 4,a = 6,b = 8c =；
③ 6,a = 8,b = 10c =.
以①题为例画出三角形,再让学生画出②、③题中的三角形.
引导学生发现：按①、③所画的三角形都是直角三角形,最长边所对的角是直角；而按②所画的不是直角三角形.
2． 讨论
（１）问:通过练习我们发现,当三角形的三边长分别为3、４、５时,所画出的三角形为直角三角形，那么这时三角形的三边满足什么样的数量关系呢?
引导学生发现:222
345+＝
即:较短两边的平方和等于第三边的平方.
（2)验证“试一试”中②、③题的数据
② 222468+≠ ③ 222
6810+＝
（3）如果三角形中较短两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
３. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形． 注意:最长的边c 所对的角为直角.
４. 教材49页例
例3、设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形:
（1)7, 24， 2５; (2)12, 3５, 37; （3)13， 11, 9. 解:（１) 22272425+＝ ∴ 这个三角形是直角三角形.
(２) 222
351237+＝
∴ 这个三角形是直角三角形. （３) 22211913+≠
∴ 这个三角形不是直角三角形.
5． 解答“古埃及人画直角三角形”的问题
如图所示,在此三角形中，三边长分别为3、4、５,满足222
345+＝,因此古埃及人画出的三角形确实是直角三角形,且最长的边所对的角为直角。
6. 练习:教材4９页
设三角形的三边长分别等于下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形。若是，指出哪一条边所对的角是直角．
(1) 12, 1６， ２0 ； (是,2０所对的边是直角)
(2) 8, 12, 15 ; （不是）
(3) 5， 6, 8 . （不是)
7. 探索：当三角形较短两边的平方和不等于第三边的平方时三角形的形状
(1）由教材49页(2）、（３)可知,22281215+<,222568+<，猜测此时的三角形是锐角三角形还是钝角三角形， 并通过画图进行验证。
(2）由教材４9页例3（3）可知，22211913+>，此时的三角形又是什么锐角三角形还是钝角三角形呢？画图进行验证。
8. 教材4９页
有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形？
(勾股定理的逆定理;直角三角形的定义； 一个三角形有两个角的和为90?等.）
9． 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别
勾股定理应用是在直角三角形中，已知两边求第三边.其使用的前提是该三角形已经是直角三角形；勾股定理的逆定理则是用于已知一个三角形的三边，判断这个三角形是否为直角三角形．
10. 练习
试判断以如下的a 、ｂ、c 为三边长的三角形是不是直角三角形. 如果是，那么哪一条边所对的角是直角?
（1）1,a = 2,b = 3c =； (是． b 所对的角是直角）
(2）a :b :ｃ=5:1２:13． （是. c 所对的角是直角)
三、知识回顾、归纳小结
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：222
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形． 注意：最长的边c 所对的角为直角.
2. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别
勾股定理应用在直角三角形中，已知两边求第三边.其使用的前提是该三角形已经是直角三角形;勾股定理则是用于已知一个三角形的三边，判断这个三角形是否为直角三角形.
四、作业
教材49页2-6
§14.2．1 勾股定理的应用
【教学目标】：
知识与技能目标:能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题.
过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,明确应用的条件．
情感与态度目标:培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法,激发学习热情
【教学重点】：
勾股定理及逆定理的应用
【教学难点】：
勾股定理的正确使用．
【教学关键】：
在现实情境中捕抓直角三角形,确定好直角三角形之后，再应用勾股定理.
【教学准备】:
学生准备:复习勾股定理及逆定理，自制课本14.２．１图
【教学过程】：
一、创设情境
1、问题情境：如图14-2-1所示,有一个圆柱,它的高等于12厘米，底面半径等笼
3厘米,在圆柱下底面的A点有一点妈蚁,它想吃到上底面上与A点相对的Ｂ点处白
食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?（ 的值取3)
(1)自制一个圆柱,尝试从Ａ点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路寒
最短呢?图１４-2－1（a)所示．
（2）如图１4-２-1（b)，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短线路是什么？你画对了吗？
（3)蚂蚁从A 点出发,想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多
少？
2. 思路点拨：引导学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线,提醒学生将圆柱侧面展开成长方形,此时学生发现了“两点之间的所有连线中,线段最短”这个结论较易解决问题.
教师活动操作投影仪，启发、引导学生动手操作,通过感性认识来突破学生空间想像的难点. 学生活动:观察、拿出事先准备好的学具，边操作边讨论边理解,寻求解决问题的途径.
二、范例学习
例２一辆装满货物的卡车，其外形高2．5米,宽１.6米,要开进厂门形状如图１4.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
图14.2.３
分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于C Ｈ.如图14.2.３所示,点D 在离厂门中线0.8米处,且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H.
解 在Rt △O ＣＤ中，由勾股定理得
ＣＤ=22OD OC -=228.01-＝0.６米，
CH=０.６+2.３＝２.9（米)＞２.5(米)．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.
教师活动：分析例2,帮助学生寻找RT △ＯCD ，强调应用方法
学生活动:听教师分析,积累实际应用经验
教学形式:接受式
引导学生完成P58页“做一做”
课堂演练：
演练一:从地图上看（如图所示）,南京玄武湖东西向隧道与中央路北
段及龙姗路大致成直角三角形．从B 处到C 处,如果直接走湖底隧道B
Ｃ,将比绕道BAC(约．3６ｋｍ)和AC(约2. 95ｋm ）减少多少行程（精
确到0.lkm)?
演练二:若△ABC 的三边a 、ｂ、c 满足条件c b a c c a 2624103382
22++=+++
请你判断△ABC 的形状.
教师活动:显示“课堂演练”,启发、引导学生、关注“学困生”
学生活动：先独立完成，再有困难时，寻求同伴的帮助，通过交流,解决问题
三、随堂练习
１、课本Ｐ５4练习第1、2题
2、探研时空.
一、《九章算法》中的“折竹问题”如下“今有竹高一丈末折抵地,去根三尺，问折者高几何？”题意是有一根竹子原高1丈（1丈=10尺)，中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根３尺，试问折断处离地面多高？
提出问题,引导学生思考.
学生活动:先独立解题，再踊跃上台演示．
二、如图所示,由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开.使剪成的若干块能够拼成一个大正方形.
(１）如果剪4刀,应如何剪拼？
（２)少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗?
教师活动：操作投影仪，引导学生动手操作,感受方法．
学生活动分小组合作交流,得到答案.
四、课堂总结
由学生分小组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾定理的应用方法.
五、布置作业：
P54页习题1４．２第1，2，3，4题