微机保护中基于DFT傅氏算法的频率特性研究_李吉德

０前言

计算机继电保护是用数学运算方法实现故障量的测量、分析和判断的。而当电力系统发生故障时，出现的最多的就是周期分量，按照傅立叶级数的定义，任何周期信号都可以描述成一种傅立叶级数形式，而利用傅氏算法［4］，能够准确的得到周期信号傅立叶级数的所有系数。然而，为了保证保护的速动性，计算的时间就成为了我们首要考虑的问题。基于DFT的FFT算法，由于其具有的原位性，计算量小且易于流水操作等特点，所以非常适合用数字信号处理器进行处理。利用FFT来实现傅氏算法，可以大大减少计算量，进而加快计算速度，对加快保护动作速度，增强其速动性有明显的效果。

然而，要满足傅立叶算法的条件是比较困难的，因为电力系统发生故障的时候，信号并非只有故障的周期分量，与此同时，还有衰减的直流分量［7］、幅值不断变化的各次斜波和系统的频率偏移［3］等。如果不对这几种情况加以考虑，那么所得到的误差在保护装置中的影响是巨大的，特别是对于幅值比较型和相位比较型的保护，其动作判据就是傅立叶系数之间的关系，误差的增大会造成保护判据的失灵，达不到保护的可靠性要求。

因此，本文就电力系统故障中可能出现的几种情况，给出了基于DFT的傅氏算法应用所需要的必要条件，而后简要介绍了几种消除误差的方法。

１周期信号的傅氏算法及其频率特性按照文献［5］中的要求，将信号模型设定为余弦函数模型，即信号为如下形式

：

（1）

参数如下：

ω０－系统中的基频角频率；

m－１－系统中的最高斜波次数；

I k－各次斜波的幅值；

φk－各次斜波的相位；

A k－各次斜波余弦函数的幅值；

B k－各次斜波正弦函数的幅值。

按照文献［5］，得到各次斜波的幅值和相位表达

微机保护中基于DFT傅氏算法的频率特性研究Research on the Frequency Character of Fourier Algorithm based on DFT in Microprocessor-based Protection

李吉德赵作斌廖哓波

长岛县供电公司山东长岛265800

【摘要】为了保证微机保护的速动性，大部分微机保护的信号采集装置利用DFT来实现傅氏算

法的系数求解。本文由连续信号的频域出发，推导出了基于DFT的傅氏算法离散信号频率特

性。通过对该频率特性的研究，既给出了基于DFT的傅氏算法在微机保护中的理论依据，又得

到了基于傅立叶算法应用的必要条件。并在最后简要的介绍了某种剔除信号中衰减直流分量

的算法。

【关键词】微机保护DFT傅氏算法频率特性

【中图分类号】TM７７１【文献标识码】A

·电力工程·

Journal of Shandong Electric Power Coll e ge

式为

：

（2）

（1）式又可以表达为如下形式

：

（3

）

（4）

根据傅氏算法［4］的表达式，积分时间取（0，T 0），即从0时刻到第一个基频周期积分

：

（5）

上式又可以转换成如下形式

：

（6）

其中r =０，１，２，…，m -1。

从以上看来，傅氏算法其实就是分别计算C r

和D r ，然后再计算A r 和B r 的过程。这样的话，我们就直接分析C r 和D r 在傅氏变换中的频率特性

。

（7）

其中r =０，１，２，…，m -1。

其中F （ω）为时限信号i ～

（t ）的傅立叶变换，其时限区间为（０，T ０），即

：

（8）

那么i ～

（t ）的傅立叶系数就是其傅立叶变换F （ω）在各个r ω0的取值，r ＝０，１，…，m －１。接下来我们

来看F （ω）的特性。（3）式的傅立叶变换F （ω）表达成如下

：

（9）

这就类似于，原始信号加窗后的傅立叶变换，而原始信号就是（3）式中的i （t ），其时域是从（－∞，

＋∞），而窗函数就是

：

该函数的傅立叶变换如下

：

（10）

其幅频特性曲线为

：

图1

窗函数的幅频特性

每一个过零点位于r ω0处，其中r =0，±１，±２，…而原始信号（3）式中i （t ）的傅立叶变换为

：

（11）

那么F （ω）的时域信号i ～

（t ）就是i （t ）与窗函数

w （t ）的乘积

。

（12）

由于时域的乘积就是频域的卷积［1］，那么F （ω）的表达式为

：

（13）

33

根据图1，我们可以得到连续时限信号i ～

（t ）的幅频特性为

：

图2F （ω）的幅频特性将所有分量取和得到的结果如下

：

图3F （ω）的幅频特性

由上图可以发现，在连续信号中，经过移动后，每一个窗函数的频谱曲线C k W （ω-k ω0）在k ω0处的贡献始终为0，而傅立叶系数均在F （ω）上的k ω0处取得，且F （ω）在每一个k ω0处的值始终为C k T 0或

D k T ０或（C ０＋D ０）T ０，因此得到的傅立叶系数与式（7）

是一致的。

总的说来，傅氏算法得到的傅立叶系数A k 、B k ，

就是其时限信号i ～

（t ）的频谱F （ω）上各个k ω0处的

值C k 、D k 经过线性组合后的结果。

２周期信号的DFT 及其频率特性

离散后的i

（t ）信号为

：（14）

其中的参数为：

T s －采样时间间隔，N －T 0时间内的采样点数

那么离散周期信号i ～

（t ）的Fourier 变换为

：

（15）

其中

，根据式（6）和（7），得到离散情况

下，傅氏算法的形式为

：

（16

）

（17）

其中r ＝０，１，２，…，m -1。

根据式（15），我们得到F ˇ

（ω）的幅频特性如下图所示

：

图4F ˇ

（ω）的幅频特性

图2、式（13）描述的F （ω）和图4、式（15）描述的

F ˇ

（ω）比较后得，只有当采样的频率满足以下条件

：

（18）

（m -1）ω0－周期信号i （t ）中的最高次斜波频率才有

：

（19）

利用基于DFT 的傅氏算法求得的傅立叶系数才和原始信号的傅立叶系数一致。

这样的话，我们就得到了在微机保护中，基于

，

Journal of Shandong Electric Power Coll e ge

DFT 傅氏算法的必要条件，现将其列出：

Condition 1：信号必须是完全的周期信号；Condition 2：信号中含有有限次斜波分量，且

最高次斜波分量角频率为（m -1）ω0；

Condition 3：采样的周期必须是基频的周期；Condition 4：采样的频率必须满足式（18）的要

求。

３引起DFT 求解误差的若干因素讨论

由于电力系统发生故障的时候，微机保护中数

据采集装置所采集到的信号，不可能同时满足以上

4种条件，因此，就系统故障时，信号中出现最多的

几种影响因素进行讨论。

１）系统工频频率偏移的影响［3］

。电力系统中的

频率，并非一直保持在某一固定频率不变的，而是随着系统运行方式、负荷的变化等动态变化的。因此，对于DFT 算法来说，如果在频率变化较大的情况下，仍然以固定的工频作为基频，进行DFT 或

FFT 求解，那么得到的系数必然会产生较大的误

差，从而对微机保护的可靠性产生影响。系统工频频率偏移的情况，按照以上得到的4大必要条件，就是条件3不满足的情况。

在这种情况下，将采样周期T ０，纠正为系统中基频的周期T ，即对原来的采样数据窗N ，增加一个附加修正的数据窗△N ，使得N ＋△N 所对应的周期，为系统中的实际工频周期。进而满足了4大必要条件，从而求得准确的傅立叶系数。具体的修正方案，文献［3］

中有详细的说明，在此不加赘述。

２）信号中的衰减直流分量的影响。在电力系统

短路的瞬间，影响保护最大因素的就是信号中的衰减直流分量，由于其较长的衰减时间和较大的幅值，对保护的动作判据影响十分大，是造成保护误动或拒动的主要因素之一。只要能够消除信号中的衰减直流分量，那么就能够增强保护的可靠性。以下仅说明某种消除衰减直流分量的原理。

假设输入的信号有如下形式

：

（20）

那么考虑在某一时刻t 的信号值i （t ）和下一个时刻t+T 0的信号值i （t+T 0

）：

（21）

则两个信号值之差为

：

（22）

那么，在t 时刻和t+T 0时刻，利用DFT 得到的

直流分量的傅立叶系数为

：

（23）

将式（22）除以式（23）得

：

（24）

由于采样时间间隔已知，通过式（24）就可以得到衰减直流分量的衰减时间常数，将带入到式（22）就可以得到衰减直流分量的幅值，那么在离线状态下先求得衰减直流分量的各个状态量并放入微机保护装置的存储器中，然后在线计算的时候，只需要从其存储器中得到这些状态量，并用其对采样值进行修正，消除衰减直流分量的采样值，就可以满足那4个条件，从而可以进行DFT 求解傅立叶系数。

３）信号中的衰减周期分量的影响。在电动机启

动的时候，其启动电流在上升沿阶段，会产生一个幅值逐渐增大的基频电流分量。对保护而言，如何能够准确的采得该电流的幅值，直接决定了保护是不是能够对电动机的启动或短路加以正确的判断。若假设上升沿阶段，基频电流的幅值是时间的一个线性函数关系，那么利用DFT 算法得到的基频电

流幅值误差是

，其中α是幅值线性函数中时

间的斜率，以此看来，提高采样频率，即减少采样时间间隔T s ，对减少该误差是有帮助的。

35

参考文献

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［2］张志勇.创新教育中国教育模式的转型［M］.济南:山东教育出版社,2005.455-469.

Abstract:This paper mainly compares and contrasts the traditional“knowledge class”and modern“life

classroom”.Through discussing“value concept of

teaching”,“main body of teaching”,“content of

teaching”,“mode of teaching”and“professional

quality of teachers”,it describes the construction

and significance of“life classroom”which makes

class more energetic and facilitates the process and

desire of modern teaching reform..

Key words:knowledge class；life class；main status；teaching modes；quality of profession

4结语

本文通过严格的数学推导和图形描述，将基于DFT的傅氏算法，进行频域上的频谱分析，从而将傅立叶系数和信号频谱上的离散点，做了一一映射，并通过对离散周期信号频谱上离散点的分析，得到了基于DFT傅氏算法在微机保护中应用的4个必要条件，最后通过讨论电力系统故障时，引起DFT求解误差的若干因素，给出了为保持这4个必要条件，所做出的相应修正。进一步的证实了为使微机保护中的DFT算法得到更准确的结果，必须使得信号满足这4个条件。

参考文献

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devices in microprocessor-based protection relays

utilize DFT to figure out the coefficients of Fourier-

Series.Starting with an analysis in the frequency

domain of continuous signal,this paper deduces the

frequency character of discrete signal within Fourier

algorithm based on DFT.The research on this

frequency character not only gives us the theoretical

essence of Fourier algorithm based on DFT in

microprocessor-based protection,but also shows us

the necessary conditions of the applications based

on Fourier algorithms.Finally,the paper briefly

introduces an algorithm which could eliminate the

decaying DC component in the signal.

Key words:microprocessor-based protection relay;DFT;

Fourier algorithm;frequency character

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（上接２７页）