求动点的轨迹方程(方法例题习题答案)
求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）
在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与
交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”
求动点轨迹的常用方法
动点P的轨迹方程是指点P的坐标（X, y）满足的关系式。
1.直接法
（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；
（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长等与MQ 求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
解：设动点M（x,y），直线MN切圆C于NO
2 2
依题意：MQ=IMN ,即MQl = MN
而MNl=Mo — NO ,所以
2 2
MQ =IMO -1
2 2 2 2
（x-2） +y =X +y -1
化简得：X= 5。动点M的轨迹是一条直线。
2.定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M过定点P （- 4，0 ），且与圆C：X2+y2—8χ = 0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M（x,y）,动圆M的半径为r。若圆M与圆C相外切，则有∣ MC I =r + 4
若圆M与圆C相内切，则有∣ MC ∣ =r-4
而∣ MP ∣ =r,所以
∣ MCl - ∣ MP ∣ =± 4
动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2,
C=4。
动点的轨迹方程为：
2 2
4 12
3. 相关点法
若动点P(X，y)随已知曲线上的点Q(χ0，y0)的变动而变动，且χ0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：已知线段AB的端点B 的坐标是(4,3),端点A
在圆C :(x 1)2y^4
上运动，求线段AB 的
中点M的轨迹方程。
解：设M(x,y), A(X A V B),依题意有：
4 X A 3 y A
X= , y=
2 2
则：X A=2X-4, y A =2y-3,因为点A(X A V B)在圆C: (x 1)2y^4 上，所以(2X-4)2 (2y -3)2=4
点M的轨迹方程为：
(x_2)2+(y-舟)2=1
动点M的轨迹为以(2, 3 )为圆心，1为半径的圆。
4.参数法
例题：已知定点A( -3,0)，M、N分别为X轴、y轴上的动点(M、N不重合)，且AN丄MN 点P在直线MN上，NP =3 MP。求动点P的轨迹C的方程。
解：设 N(O,t), P(x,y)
由 NP =2 MP ,
y = -2t
所以动点P 的轨迹方程为：y 2 = 4x
5.交轨法
例题：如图，在矩形 ABCD 中，AB =8, BC = 4, E, F,G, H 分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设
OP = ?OF,CQ = CFC -0)。求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹-的方程。
X ￡ X
则直线EP 的方程为y 2 ,直线GQ 的方程为y 2，
2人 2
y+2= y-2=-
2 2
两式相乘，消去■即得M 的轨迹-的方程为- Z=I(XH 0)
16 4
直线 AN 的斜率k A M -
因为 AN _ MN ,所以直线MN 的斜率k MN
直线 MN t 2 t 2
3 的方程为y-t= X ,令y=0得X=,所以点M( ,0)
3 3
NP=(X,y-t), MP =(x -t
3 I y)
3
2(x-3), y-t = 2y ,则
X=S t2
练习与答案
.. .. 2 2 ..
1. 设圆C 与圆X + (y.3) =1外切，与直线y=0相切，则C 的圆心轨迹为
A
A ?抛物线
B ?双曲线
C .椭圆
D .圆
2 2 2 2 2. 已知圆M i ：(x ，4) y =25 ,圆M 2：(x-4) y =1, 一动圆与这两个圆外 切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
2
y
12 2 2
3. 过点A(4 , 0)作圆O ： X +y =4的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹。
2 2
(x-2) +y =4 (0 ≤ x<1) 2 O
4. 已知圆C : (X —3) +(y-4) =1,动点P 是圆外一点，过 P 作圆C 的切线，切点为 M , 且丨PMl = I Pol (O 为
坐标原点)。求动点P 的轨迹方程。
2 2 2
提示：| POl = I PMl = PC -1
3x+4y-12=0
5. 已知圆G ：(x-4) y =1 ,圆C 2: X ?(y-2) =1 ,动点P 到圆G , C ?上点的距离的最 小值相等 .求点P 的轨迹方程。
解：动点 P 到圆C 1的最短距离为I
PC 1 I -1, 动点 P 到圆C 2的最短距离为I
PC 2 I -1, 依题意有:
I PC 1 | -1= I PC 2 | -1, 即 I PC 11 = I PC 2 I
所以动点 P 的轨迹为线段 C 1C 2的中垂线。所以动点
P 的轨迹方程为
2x+y-5=0 2 X 2
6.已知双曲线 一—y =1的左、右顶点分别为 A h A ,点P ( X 1,y 2 ), Q(花，一丫2 )
2
是双曲线上不同的两个动点。求直线
AP 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程。 解：由A ,A 为双曲线的左右顶点知， A(T 2,0), AC.2,0),
_ 2
AP ： y=—
(x +T 2) , A 2Q: y= ~y ^(^√2),两式相乘 y 2=^y -(χ2-2), x 1 +√2
x 1 -√2 X 1 -2 2 2 因为点P(X1,yI)在双曲线上，所以X Pz ,即x∕12 2
所以2十y 2 =1 ,即直线AP 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程为 (x>0)
2 =1
”2)，