随机过程基本概念
如果对一个t?T,X(t)是一个随机变量，则称随机变量族{X(t), t?T}为随机过程(随机函数)，其中T称为指标集或参数集。随机过程{X(t), t?T}也可以记为
都有
，对任意的
相互独立
随机过程-答案
2012-2013学年第一学期统计10本 《随机过程》期中考试 一. 填空题 1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵() ()n ij P p =，二者之间的关系为 (n) n P P = 2.状态i 常返的充要条件为( ) n i i n p ∞ ==∑∞。 3.在马氏链{},0n X n ≥中，记() n i j p ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==，n ≥1. i j p =( ) 1n i j n p ∞ =∑,若i j p <1,称状态i 为 。 二. 判断题 1. S 是一个可数集，{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量，若 ( ) 1 01110011111 1,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-?≥?∈X =|====X =|X =并且满足，则{:0n n X ≥}是一个马氏链。 × 2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。 × 3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。× 4. 若状态i ?状态j ，则i 与j 具有相同的周期。 √ 5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。 √ 三. 简答题 1．什么是随机过程，随机序列？ 答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。 2 .什么是时齐的独立增量过程？
随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为 第二章随机过程的基本概念 §1随机过程及其概率分布 、随机过程概念： 一、随机过程概念： 初等概率论所研究的随机现象，基本上可以用随机变量或随机向量来描述.但在实际中有些随机现象要涉及(可列或非可列)无穷多个随机变量. 例1．某人扔一枚硬币，无限制的重复地扔下去，要表示无限多次扔的结果，我们不妨记正面为1，反面为0.第次扔的结果是一个，其分布，无限多次扔n n r vX ?{}{}1012n n P X P X ====，无限制的重复地扔，要表示无限多次扔的结果，我们不妨反面为其分布无限多次扔的结果是一个随机过程，可用一族相互独 立，，或表示.r v ?1X ，2X {},1n X n ≥ n n X 0n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 …… 例2．当固定时，电话交换站在时间内来到的呼叫次数是，记， ，其中是单位时间内平均来到的呼叫次数，而，若从变到，时刻来到的呼叫次数需用一族随机变量表 它为非降的阶，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多）(0)t t ≥[0,] t r v ?()X t ()()X t P t λ λ0λ>t 0∞t {}(),[0,)X t t ∈∞()X t ，电话交换站在记，若时刻示， 是一个随机过程. 对电话交换站作一次观察可得到一条表示以前来到的呼唤曲线，它为非降的阶梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，（假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多于一次呼唤）. E t 1()x t 同理，第二次观察，得到另一条阶梯形曲线； 同理，第n 次观察，得到另一条阶梯形曲线. 2()x t ()n x t ，第二次观察，得到另一条阶梯形曲，第，得到另一条阶梯形曲 总之，一次试验得到阶梯形曲线形状具有随机性 第二章 随机过程分析 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程 (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程 (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程 (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程 (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程 (t )在任意给定时刻t 的取值 (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程 1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。 二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=- 如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ? 100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise 第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)21(0+ =k t 即 πω)2 1 (10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0c o s 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 当 0c o s 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0c o s 2c o s 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0c o s 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然?? ?=?????=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,2 1*2,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 再求F （x ,1） 显然?? ?-=?? ?=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1(1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ?? ?-=?? ?=出现反面出现正面 出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1( X X ?????≥<≤<=??? ?? 11 102 1 00 21,x x x x F 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 ！ 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ￥ ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ? ? ?? ? ，；， 。 】 解： 00 11101222 11 【第一章】 1.1 证明： ∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈U 且∴1F 是事件域。 ∵222,,,,c A A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω- ∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,c c A A A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈U U U U U U ∴2F 是事件域。且12F F ∈。∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈ ∴3F 是事件域。且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。 1.2 一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为 (),,,,,,,,16,6,6i j k i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ ∴样本空间()6 1= ,,n i j i k j i j k ==≥≥ΩU 事件(){} ,,|,,i j k A i j k ωω==，,,,,,6,16,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度 ()()() ,,1P 677i j k A i j = --，,,,,,16,6,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ 则(),,F P Ω为所求的概率空间。 1.3 证明： （1）由公理可知()0P Φ= （2）有概率测度的可列可加性可得 ()11 n n k k k k P A P A ==??= ???∑∑ （3）∵,,A B F A B ∈? ∴B A F -∈,()A B A -=Φ 由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+- 即()()()P B A P B P A -=- 有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有() ()1P A P A =- （5） ∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设 ()()()()()1 121 1111m m m k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=??=-+-+- ???∑∑∑K K U 成 立，则 《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ??????=n n n n S 100 , ,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： { } ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放 在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的 长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： { }10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ； 2 0 — 1分布 P(X 1) P,P(X 0) q EX DX pq 二项分布 P(X k) C ： EX np DX npq 泊松分布 P(X k) k! EX DX 均匀分布略 正态分布 N(a, 2) f(x) (X a)2 2 2 EX DX 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1 .随机变量X ,分布函数F(x) P(X X) 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 P k P(X x k )分布函数 F(x) P k 连续型随机变量 X 的概率分布用概率密度 f(x) 分布函数F(x) X f(t)dt 2. n 维随机变量 X (X 1,X 2, ,X n ) 其联合分布函数 F (X ) F (X 1,X 2, , X n ) P(X 1 X [ , X 2 X 2 , , X n X n ,) 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX X k P k 连续型随机变量 X EX xf (x)dx 2 2 2 方差：DX E(X EX) EX (EX) 反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量 X,Y )： B XY E[(X EX )(Y 相关系数(两个随机变量 X, Y ) : XY t _ ____________________________________ VDX v'DY 独立 不相关 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 B XY EY)] E(XY) EX EY 则称X,Y 不相关。 4 ?特征函数 g(t) E(e ItX ) 离散 g(t) e ItX k p k 连续 g(t) e ltx f (x)dx 重要性质：g(0) 1 , g(t) 1 , g( t) g(t) , g (0) EX k 河北科技大学2012——2013 学年第一学期 《应用随机过程》试卷（A ′） 学院 理学院 班级 姓名 学号 一．概念简答题（每题5分，共40分） 1. 什么是随机过程，随机序列？ 2. 随机过程2{()(),,(,)}X t A t t T A N ?μσ=∈ 是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。 3. 设()X t 为二阶矩过程，2 12()12(,)t t X R t t e -- =，若()()()d Y t X t X t dt =+ ，试求12(,)Y R t t 。 4.设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。 5. 已知平稳过程() X t的功率谱密度为 2 42 4 () 109 X w S w w w + = ++ ，试求其自相关函数 () X Rτ。 6．一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每 位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为111 ,, 236 ，彼此如何订阅是相互独立的， 每订阅一年，店主即获利5元，设() Y t是[0,)t时段内，店主从订阅中所获得总收入。试求： （1）[()] E Y t（即[0,)t时段内总收入的平均收入）； （2）[()] D Y t。 7. 写出卡尔曼滤波的算法公式 8．写出ARMA（p,q）模型的定义 二．综合题（每题10分，共60分） 1.设二维随机变量(,) X Y的概率密度为(,) f x y= 2,01,01 0, x y x y --<<< 2随机过程的基本概念 §2.1 基本概念 随机过程是指一族随机变量 . 对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 . 其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 . 一随机过程的定义 1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量, (2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。 ((((({} {} [](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。 通常有三种形式: 参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。 随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。 为即若用映射来表示注意: t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R S T t e X t 21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令 掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1 t e X t X R t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例 例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则 (1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..}, 且对于不同的 t, 是不同的随机变量 . (2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 . (即:在多长时间内来 n 个人 ? 所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 . 相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 ( 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程测试题二答案 1．以1T 表示泊松过程}0),({≥t t N 中事件首次发生的时刻，则对于t s ≤，求条件概率}1)(|{1=≤t N s T P 解： ==≤}1)(|{1t N s T P t s .（细节请查书） （5分） 2．设{N (t ), t ≥0}是强度为λ的泊松过程，N (t )表示到时刻t 为止事件A 发生的次数，则对任意t s <≤0，求),(),(t DN t EN )).(),(cov(s N t N 解：t t DN t EN λ==)()(； （5分） .))(),(cov())(),(-)(cov())(),(cov(s s N s N s N s N t N s N t N λ=+= （5分） 3．设某公交车站从早晨5时至晚上21时有车发出．从5时至8时乘客的平均到达率呈现性增加，5时乘客的平均到达率为200人/小时，8时乘客的平均到达率为1400人/小时；8时至18时乘客的平均到达率不变；18时至21时乘客的平均到达率线性减少，到21时为200人/小时．假定在不相重叠的时间间隔内到达车站的乘客数相互独立． 求（1）12时至14时恰有2000名乘客到车站的概率； （2）这两小时内到车站的乘客平均数． 解：以N (t )表示0时到t 时到达的乘客数，则 211818885),18(4001400,1400),5(400200)(≤≤<<≤≤?? ???---+=t t t t t t λ, （1）).21400(~)12()14(?-P N N ==-}2000)12()14({N N P ! 200028002000 2800?-e ； （5分） （2）2800)]12()14([=-N N E ． （5分） 4．假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星. 试求 （1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率. （2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数. 解：（1）设早晨8时为0时刻，以N (t )表示0时到t 时观测到的流星数，则N (t )是强度为3（颗/小时）的泊松过程．).43(~)0()4(?-P N N ==-}0)0()4({N N P 12-e ； （5分）(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案
第十二章 平稳随机过程
第二章随机过程的基本概念
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平稳随机过程
第1章 随机过程的基本概念
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