数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案
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一、命题逻辑基本知识（5分）
1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）
（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：—p ∧q ,其中，P :小刘怕吃苦；q :小刘爱钻研。
（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→-p ,其中，P :怕敌人；q :战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：—r→（P→P）,其中，P:别人有困难；q :老张帮助别人；r:困难解决了。
（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P:小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）
（0）A ：（-（p^q）_；（（P -q）（.p^q））） r
（1）B : （P 一9一；P））（r q）
（2）C: （P -r）＞（q r）
（3）E : p-;（P q r）
（4）F ：—（q-；r） r------------------------------------------------------------------------ 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取.2的余，完成1题。共2分）
（0）设y=2∣x∣，X为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，X为实数。令P: y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，P为假，q为真。本题推理符号化为：（p—；q） q—；P。由P、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。
（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。
解：令P:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，S:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，S=O。本题推理符号化为：（（P q）→ S） P q）→ （r S）。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。
二、命题逻辑等值演算(5分)
1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完
成1题。共2分)
(0)求公式p→ ((q ∧r) ∧(P ∨(―q ∧-r)))的主析取范式。
解：p→((q ∧r) ∧(P ∨(—q ∧-「)))：= 一p∨(q ∧r∧P) ∨(q ∧r ∧一q ∧—r)二一P ∨(q ∧r∧P) ∨0 二(P ∧q∧r) ∨= (一p∧1 ∧1) ∨(q ∧r∧P)
二(—p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨-r)) ∨(q ∧r∧P) U (~p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨一r)) ∨m7
二(一P ∧—q ∧ F ∨ (一P ∧—q ∧r) ∨ (一P ∧q ∧_r) ∨ (一P ∧q ∧r) ∨m7 m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ∨m7.
(1)求公式一(一(P → q)) ∨(—q → 一P)的主合取范式。
解：一(一(P → q)) (—q →-p)二(P → q) (P →q) U (P → q)
U —P0q U M2.
(2)求公式(P→(P ∨q)) ∨r的主析取范式。
解：(p→ (P q)) r -P (P q) r 二(—p P q r)二1
U m0 ∨ml ∨m2 ∨m3 ∨m4 ∨m5 ∨m6 ∨m7.
2、应用分析(总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分)
(0)某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：
甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。
乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。
丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。
村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？解：设P1 :赵炼玉为村长，p2 :钱谷王为村长，p3 :孙竹湾为村长，
q1 :赵炼玉为村支书，q2:钱谷王为村支书，r1 :赵炼玉为村妇女主任。
判断公式F=( (p1 -q2) (一p1 q2)) ( (p3 — q1) (—p3 q1)) ( (p2 —「1) (一p2 r1)) U — p1 q2 p3 一q1 — q2 r1=1=q2 p3 r1，
由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。
说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。
(1)某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：
①若赵去，钱也去。②李、周两人必有一人去。
③ 钱、孙两人去且仅去一人。④孙、李两人同去或同不去。
⑤ 如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？
解：①设P:派赵去，q :派钱去，r:派孙去，s:派李去，u派周去。
②⑴(P >q) ⑵(S U) (3) ((q F (-q r))
(4) ((r S) (■唇S)) (5) ( u-;(P q))
③⑴~⑸构成的合取式为：
A= (p—；q) (S U) ((q F (一q r)) ((r S) (一r -S)) (U r(P q))
=(―p _q r S -U) (P q _r -S U)
由此可知，A的成真赋值为00110与11001，
因而派孙、李去(赵、钱、周不去) ，或派赵、钱、周去(孙、李不去) 。
三、命题逻辑推理(5分)
在自然推理系统中，构造下列推理过程(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5 分)
(0)如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。解：形式化：
P :张老师出国；q :李老师出国；r:王老师出国；S :孙老师出国。
前提:pτ(qτr)，PM
结论:-I IS
证明：①pτ(qτr)【前提引入】
②^ψ V (^Vr) U PAL r【①置换】
③PAq【前提引入】
④r【②③假言推理】
⑤r VS【④附加规则】
⑥m^r∨S【⑤置换】
⑦-rτs【⑥置换】证毕。
(1)若张同学与李同学是乐山人，
则王同学是雅安人， 若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而,
王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。所以，李同学不是乐山人。 解：形式化：
P
:张同学是乐山人；q ：李同学是乐山人；r ：王同学是雅安人；
S
:王同学喜欢吃雅鱼。
前提: (PmT r , r -? S ,-s , P
结论:
F
证明： ①(PM)τ
r 【前提引入】
②r τ S
【前提引入】
③(P F q)T S
【①②假言三段论】
④-S 【前提引入】
⑤
-(PAq) 【③④拒取式】
⑥
-
Pt I
q
【⑤置换】 ⑦P
【前提引入】
⑧-q
【⑥⑦析取三段论】
证毕。
(2) 若n 是偶数并且大于5 ,则m 是奇数。只有n 是偶数，m 才大于6。现有n 大于5。所以，若
四、一阶逻辑的基本概念(5分)
1、一阶逻辑命题形式化
(总共6题，完成的题号为学号尾数取 6的余，完成1题。共2分)
(0)人人都生活在地球上。
解：-X(F(X) →G(X)),其中，F(X) : X 是人，G(X) : X 生活在地球上。 (1) 有的人长着金色的头发。 解：X (F(X)
G(X)),其中，F(X) : X 是人，G(X) : X 长着金色的头发。 (2) 没有能表示成分数的无理数。 解：—X (F(X)
G(X)),其中，F(X) : X 是无理数，G(X) : X 能表示成分数。
(3) 说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。 解：一-x-y (F(X)
G(y) →S(x,y)),其中，F(X) : X 是男人，G(X) : X 是女人，S(x,y) : X 比 y 力气大。
(4) 有的学生不住在校内。
解：X (F(X) -G(X)),其中，F(X) : X 是学生，G(X) : X 住在校内。 (5)
说有的男人比所有的女人力气大是正确的。
。
解：X (F(X)
-y(G(x) → S(x,y))),
其中，F(X) : X 是男人，G(X) : X 是女人，S(x,y) : X 比y 力气大。
m 大于6 ,则m 是奇数。 解：形式化：
P : n 是偶数；q : n 大于5 ； r ： 前
提：(P q)-? r ，S > P ，q 结论：S r r 证明：① q
------------- ② r 思q -----------------------
③ S J q ④ S T P
⑤
(S T q )
( S T P )
⑥ sτ(p,??q ) ⑦ (P q)》r
⑧
S r r
m 是奇数；S : m 大于6。
【前提引入】
【①附加规则】(这是证明的关键) 【②置换】 【前提引入】 【③④合取】 【⑤置换】 【前提引入】 【⑥⑦假言三段论】 证毕。
2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题<
共3分)
(0)-X(F(X) G(X))
解：取解释11 :个体域为人的集合，F(X) : X是男人，G(X) : X是女人。
----------- 则在I1解释下，-X(F(X) G(X))为真命题。
取解释I2 :个体域为人的集合，F(X) : X是中国人，G(X) : X是美国人。
则在I2解释下，-X(F(X) G(X))为假命题。
(1)X(F(X) G(X) H(X))
解：取解释11:个体域为人的集合，F(X) : X是教师，G(X) : X是党员，H(X) : X是班主任。
则在I1解释下，次F(X) A G(X) A H(X))为真命题。
取解释I2 :个体域为人的集合，F(X) : X是男人，G(X) : X是女人，H(X) : X是班主任。
则在I2解释下，ΞX(F(X) A G(X) A H(X))为假命题。
(2)X(F(X) -y( G(y) H(x,y)))
解：取解释I1 :个体域为整数集合，F(X) : X是正整数，G(X) : X是负整数，H(x,y) : X比y大。则
在I1 解释下，X(F(X) -y( G(y) H(x,y)))为真命题。
取解释I2 :个体域为自然数集合，F(X) : X是奇数，G(X) : X是偶数，H(x,y) : X比y大。则在
I2 解释下，X(F(X) -y( G(y) H(x,y)))为假命题。
五、一阶逻辑等值演算(5分)
1、证明等值式(总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共1分)
(0)证明等值式:-X(A(X)Jj B)= XA(X) >B。
证明：一X(A(X)「.B) x( — A(X) B) χ-A(x) B
^-X A(X) B ：= X A(X) → B O
(1)证明等值式: X(A(X)》B>=-XA(X) >B。
解：X(A(X) > B) U X ( A(X) B) ：= X A(X) B
U —_x A(X) B ：= -X A(X) → B
2、给出下列公式的前束范式(总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分)
(0) - - X(F(X) → G(X))
解：—-x(F(X) → G(X))= X —(―F(X) G(X))= X (F(X) -G(X))
(1)— X(F(X) G(X))
解：一x(F(X) G(X))= -X -(F(X) G(X))= -X (一F(x) -G(X)) -X (F(X) → 一G(x))
(2)yF(χ,y) -χG(χ,y,z)
解：yF(χ,y)-χG(χ,y,z) ：= yF(u,y) -xG(x,v,z)二y -X (F(u,y) G(χ,v,z))
(3)-XF(X) → y (G(χ,y)H(χ,y))
解：-XF(X) → y (G(χ,y)H(x,y)) = -ZF(Z) → T y (G(χ,y)H(χ,y))
二-z(F(Z) → y (G(χ,y)H(x,y)))二-Z y(F(z) →(G(χ,y)H(χ,y)))
3、例证(总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分)
(0)举例说明“ -对无分配律”。
解：-对无分配律指：不存在等价关系-X(A(X) B(x)):= - XA(X) -XB(X)。例如，取解释I :个体域为人的集合，F(x): X是男人，G(X) : X是女人。-X(A(X) B(X))的真值为真，而-XA(X) -XB(X) 的真值为假。
(1)举例说明“对无分配律”。
解：对无分配律指：不存在等价关系X(A(X) B(x))u X A(X)八二I X B(X)。例如，取解释I :个体域为人的集合，F(x): X是
男人，G(X) : X是女人。X (A(X) B(X))的真值为假，而-I X A(X)八二I X B(X)) 的真值为真。
六、一阶逻辑推理(5分)
在自然推理系统中，构造下列推理过程(总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共5分)
(0)每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车。所以，有的人不喜欢步行。(个体域为人类集合)
解：形式化：
F(X):X喜欢步行；G(X) : X喜欢骑自行车；H(X) : X喜欢乘汽车。
前提:VX(F(X) ^G(X))，VX(G(X) VH(X))，才H(X)
结论:
三無(X)
证明：①嘀F(x) → P(x))【前提引入】
②F(y) →F(y)Z】
③?X(G(X) VH(X))【前提引入】
④G(y)聲y)【主】
⑤-G(y) → H(y)【④置换】
⑥ F(y) → H (y)【②⑤假言三段论】
⑦-H(y) "F (y)【⑥置换】
⑧-H(y) →2χ ^F (X)【⑦Ξ+】
⑨ ^-IH(X) → 有(X)【⑧3+】
⑩孜-I H(X)【前提引入】
(11)改-F (X)【⑨⑩假言推理】
证毕。
(1)每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且聪明。所以，王大海在他的事业中将获得成功。(个体域为人类集合)
解：形式化：
F(X) : X是科学工作者；G(X) : X刻苦钻研；H(X) : X聪明；I(X): X事业成功；a:王大海。
前提:型F(X) → G(X))，
?→ I(X))，F(a)，H(a)
结论:I(a)
证明：① F(a)【前提引入】
② 亦(F(X) → G(X))【前提引入】
③ F(a) → G(a)【②W-】
④ G(a)【①③假言推理】
⑤ H(a)【前提引入】
⑥ ?X(G(x)八H(X) → I(X))【前提引入】
⑦ G(a) /H(a) → I(a)【⑥N-】
⑧ G(a) -Hl(a)【④⑤合取】
⑨ I(a)【⑦⑧假言推理】
证毕。