三角函数总结大全(整理好的)

三角函数

（一）任意角的三角函数及诱导公式

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2．象限角、终边相同的角、区间角

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|

6π≤α≤65π}=[6

π，65π]。

3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角α的弧度数的绝对值是：r

l

=

α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?

=。弧度与角度互换公式：1rad ＝π

180°≈57.30°=57°18ˊ；

1°＝180

π≈0.01745（rad ）。弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）； 扇形面积公式：2

||2

121r r l S α==。

4 三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P

到原点的距离记为(0)r r ==

>，那么

sin y r α=

； cos x r α=； tan y x α=； （cot x y α=； sec r

x

α=； csc r y α=）

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；

（3）y

x

叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。

5 三角函数的符号：

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们

可以得知：①正弦值

y

r

对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；

②余弦值

x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

6．三角函数线

三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方

法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题

时，十分方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注

意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角α为第一象限角时，则其终边与

单位圆必有一个交点(,)

P x y，过点P作PM x

⊥轴交x轴于点M，根据三角函数

的定义：|||||sin|

MP yα

==；|||||cos|

OM xα

==。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos

OM xα

==

同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，

规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的横坐标。

这样,无论那种情况都有sin

MP yα

==。像MP OM

、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图,过点(1,0)

A作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT

、,我们有tan

y

AT

x

α==

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT

、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式

sin2α+cos2α=1（平方关系）；

α

α

cos

sin

=tanα（商数关系）；tanαcotα=1（倒数关系）.

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)

同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。

7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin

k

απα

+=，cos(2)cos

k

απα

+=，其中k Z

∈

诱导公式二：sin(180)

α

+=

o sinα

-；cos(180)α

+=-

o cosα

诱导公式三：sin()sin

αα

-=-；cos()cos

αα

-=

诱导公式四：sin(180)sin

αα

-=

o；cos(180)cos

αα

-=-

o

诱导公式五：sin(360)sin

αα

-=-

o；cos(360)cos

αα

-=

o

O

x

y

a角的终

P T

M A

（1）要化的角的形式为180k α?±o

（k 为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；

（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)； （4）sin cos cos 444x x x πππ?

?

????+

=-=- ? ? ??

?????；cos sin 44x x ππ????

+=- ? ?????

。 （二）三角函数的图像与性质

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2.

3．三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是??????+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是??

????

++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，

-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈;

x y tan =的递增区间是??? ?

?

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

4．对称轴与对称中心：

sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；

cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；

对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

5．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+

=+π

π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

6．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω

1

倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移ω

?||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。

三角函数图象的平移和伸缩

函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A

k ω?，，，来相互转

化．

A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称

周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．

变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象???0)或向右(0)平移个单位长度

得sin()y x ?=+ sin()y x ?=+的图象

()

ωωω

?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1到原来的纵坐标不变得sin()y x ω?=+ sin()y x ω?=+的图象()

A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ω?=+ sin()y A x ω?=+的图象

(0)(0)

k k k >

得sin()y A x k ?=++图象

先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><

→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =

sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω= sin()y A x ω=的图象

(0)(0)???

ω

>

个单位

得

sin ()y A x x ω?=+

sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)

k k k >

得sin()y A x k ω?=++图象 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?

?=++ ??

?的图象．

解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ?

?=+ ??

?的图象；②将所得图象的横坐标缩

小到原来的12，得πsin 24y x ??=+ ???的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ?

?=+ ???的图象；④

最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?

?=++ ??

?的图象．

（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来

的

12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ?

?=+ ??

?的图象；④最后把图象沿

y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?

?=++ ??

?的图象．

说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π

8

个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ??=+ ???而不是πsin 28y x ??=+ ???，把πsin 4y x ?

?=+ ???的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式

是πsin 24y x ??=+ ???而不是πsin 24y x ?

?=+ ???．

对于复杂的变换，可引进参数求解．

例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?

?=- ??

?的图象．

分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．

解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ????==-=- ? ?????，在πcos 22y x ??=- ???中以x a -代x ，ππcos 2()cos 2222y x a x a ???

?=--=-- ???????

．

根据题意，有ππ22224x a x --

=-，得π

8

a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ?

?=- ??

?的图象．

5．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y =A sin （ωx +?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－

ω

?

，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．

第一个零点的位置。 8．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

9．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

10．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图：

五点取法是设x =ωx +?，由x 取0、

2π、π、2

π

3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

（三）三角恒等变换

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

m 。

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan α

αα

=

-。

3．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式

ααα2sin 21cos sin =

；22cos 1sin 2αα-=

；2

2cos 1cos 2

αα+=。 （2）辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ?+=+

，sin cos ??=

=

其中

4．三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

（四）解三角形

1．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝

c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b

a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：

如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。 （R 为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）△＝

21ah a ＝21bh b ＝2

1

ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；

对

边

邻边

C

（2）△＝

2

1

ab sin C＝

2

1

bc sin A＝

2

1

ac sin B；（3）△＝

)

sin(

2

sin

sin

2

C

B

C

B

a

+

＝

)

sin(

2

sin

sin

2

A

C

A

C

b

+

＝

)

sin(

2

sin

sin

2

B

A

B

A

c

+

；

（4）△＝2R2sin A sin B sin C。（R为外接圆半径）（5）△＝

R

abc

4

；

（6）△＝)

)(

)(

(c

s

b

s

a

s

s-

-

-；?

?

?

?

?

+

+

=)

(

2

1

c

b

a

s；（7）△＝r·s。

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。

解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。

（1）角与角关系：A+B+C = π；

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

（3）边与角关系：

正弦定理R

C

c

B

b

A

a

2

sin

sin

sin

=

=

=（R为外接圆半径）；

余弦定理c2 = a2+b2－2bc cos C，b2 = a2+c2－2ac cos B，a2 = b2+c2－2bc cos A；

它们的变形形式有：a = 2R sin A，

b

a

B

A

=

sin

sin

，

bc

a

c

b

A

2

cos

2

2

2-

+

=。

5．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

2

sin

2

cos

,

2

cos

2

sin

C

B

A

C

B

A

=

+

=

+

；

（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

r为三角形内切圆半径，p为周长之半。

（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角角度

函数

sin cos tan cot sec csc

0 0 1 0 \ 1 \

15

30 2

45 1 1

60 2

4

2

6-

4

2

6+

3

2-3

2+2

6-2

6+

2

3

2

1

3

33

3

3

2

2

2

2

222

2

3

2

1

3

3

3

3

3

2