等腰直角弯与全等三角形(佳德 易建洪)

等腰直角弯与全等三角形

泸州市七中佳德学校 易建洪

【概念解读：】

等腰直角弯：在等腰直角三角形中，去掉斜边的部分，叫等腰直角弯。

（弯头双垂线）

（共点双弯）

“V”型

“K”型等腰直角弯

等腰直角

弯头双垂线：有直线经过等腰直角弯的直角顶点时，经过两弯头顶点画已知直线的垂线段，称为弯头双垂线，弯头双垂线与等腰直角弯中的两条线段组成的直角三角形全等。由直线与等腰直角弯的位置关系分为“K ”型与“V ”型。

共点双弯：有时在等腰直角弯的直角顶点处造出共顶点的另一个等腰直角弯，称为共点双弯。共点双弯中的两组等边分别组成的三角形全等。

等腰直角弯往往隐含在等腰直角三角形与正方形中，有时也通过核心全等三角形识别等腰直角三角形与正方形。

【核心全等三角形：】

1.如图，△ABC 中,∠ACB ＝90o ,AC ＝BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E .

⑴ 直线MN 绕点C 旋转到图⑴的位置时,求证:△ACD ≌△CBE ； ⑵ 直线MN 绕点C 旋转到图⑵的位置时,求证: △ACD ≌△CBE .

（图1）

N

M

E

D

C

B

A

（图2）M

D

C E

N

B

A

解析：在图1与图2中，∠ACD 与∠BCE 互余，∠ACD 与∠DAC 互余，由同角的余角相等得∠BCE ＝∠DAC ，又∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC ，由角角边判定△ADC ≌△CE B . 证明：（1）∵点D 、C 、E 在同一直线上，且∠ACB ＝90o

∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－∠ACB ＝180°－90°＝90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°

在Rt △ADC 中，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，且∠ACD ＋∠BCE ＝90° ∴∠DAC ＝∠BCE ，又∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝BC ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）

（2）∵∠ACB ＝90o

，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°

∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°

在Rt △ADC 中，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，且∠ACD ＋∠BCE ＝90° ∴∠DAC ＝∠BCE ，又∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝BC ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）

2. 如图，△ABC 与△DEC 都是等腰直角三角形，

∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝BC ，DC ＝E C .

求证：△ACD ≌△CE B .

解析：由∠ACB ＝∠DCE ＝90°知，∠ACD ＝∠BCE ，且AC ＝BC ，DC ＝EC ，由边角边公理即可判定△ACD ≌△CE B . 证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°

∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB 即：∠ACD ＝∠BCE ，又AB ＝BC ，DC ＝EC ∴△ACD ≌△CEB （SAS ）

在图1、图2和图3中的全等三角形就是等腰直角弯中的核心全等三角形。

（图3）

A

B

C

D

E

【等腰直角弯的运用：】 一、弯头双垂线

出现等腰直角弯的图形中，往往需要作弯头双垂线。构造全等三角形解决问题。 例题1. 如图4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2,0)，点A 的坐标为(－6,3)，则B 点的坐标是___________.

解析：因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，符合等腰直角弯的条件，因此过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点D 、E ，如图5，则△ADC ≌△CEB ，由点C (－2,0)，A (－6,3)，知AD ＝CE ＝3，BE ＝DC ＝D 0－C 0＝6－2＝4，OE ＝CE －CO ＝3－2＝1，又点B 在第一象限，所以点B 的坐标为（1，4）.

答案：（1，4）.

例题2. 如图6，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2

，BC ＝3，将腰CD 以D 为旋转中心逆时针旋转90o至ED ，连接AE ，则△ADE 的面积为

___________.

（图6）

（图7）

B

解析：因为∠EDC ＝90°，腰CD 与ED 旋转重合，DC ＝DE ，符合等腰直角弯的条件，

因此过点C 、E 分别作直线AD 的垂线段，如图7，则△DCF ≌△EDG ，∴EG ＝DF ＝AF －AD ＝BC －AD ＝3－2＝1，∴S △ADE ＝2

1AD EG ＝

2

1×2×1＝1.

答案：1.

例题3.如图8，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝

x

2(x ＞0)的图象上，

顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3反比例函数y ＝

x

2(x ＞0)的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为_________________.

解析：在正方形A 1B 1P 1P 2中，有等腰直角弯P 1B 1A 1和B 1A 1 P 2，因此过P 1作P 1C ⊥y 轴于点C ，过P 2作P 2D ⊥x 轴于点D ，过P 3作P 3E ⊥于x 轴于点E ，过P 3作P 3F ⊥P 2D 于点F .如图9，则有△P 1B 1C ≌△B 1A 1O ≌△A 1P 2D ，△P 3P 2F ≌△P 3A 2E .因为P 1在双曲线上，所以设点P 1的坐标为（a ,a 2），即CP 1＝a ,OC ＝a

2,所以OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，OA 1＝B 1C ＝P 2D

＝

a

2－a ，故OD ＝a ＋

a

2－a ＝

a

2，所以点P 2的坐标为（

a

2，

a

2－a ），将点P 2的坐标代入

反比例函数解析式，得：（a

2－a ）×

a

2＝2，化简得：a 2＝1，所以a 1＝－1（舍），a 2＝1，

所以点P 2的坐标为（2，1），设点P 3的坐标为（b ,b

2），因为P 3E ＝P 3F ＝DE ＝

b

2，OE ＝

OD ＋DE ＝2＋

b

2，所以2＋

b

2＝b ，解得：b 1＝1－3（舍），b 2＝1＋3，所以

b

2＝

133

12-=

+

，所以点P 3的坐标为（

3＋1，

3－1）.

答案：（3＋1，3－1）. 二、共点双弯

有等腰直角弯的图形中，直角顶点没有直线或者用弯头双垂线不能求解时，可以考虑

制造共点双弯，再借助全等三角形解决问题。

例4．如图10，点P 在双曲线y ＝

x

6上，以P 为圆心的⊙P 与两坐标轴都相切，E 为y

轴负半轴上的一点，PF ⊥PE 交x 轴于点F ，则OF －OE 的值是 ．

解析：设⊙P 与x 和y 轴分别相切于点A 和点B ，连结P A 、PB .则P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴. 与等腰直角弯EPF 形成共点双弯，并设⊙P 的半径为R .∴∠P AF ＝∠PBE ＝∠APB ＝90°，∵PF ⊥PE ∴∠FP A ＝ ∠EPB ＝ 90°－∠APE ，又∵P A ＝PB ，∴△P AF ≌△PBE ，∴ AF ＝ BE ，∴OF －OE ＝（OA ＋AF ）－（BE －OB ）＝2R . ∵点P 的坐标为（R ，R ），点P 在双曲线y ＝x

6上，∴ R ＝

R

6解得 ：R ＝6，∴OF －OE ＝2R ＝26.

答案：26.

例5．将一把三角尺放在正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，一条直角边始终经过点B .

（图12）

Q

P

D

C

B

A

（图13）

A B

C Q

D

P

(1)如图12所示，当另一条直角边与边CD 交于点Q 时，线段PB 与PQ 之间有怎样的大小关系？试说明你的理由；

(2)如图13所示，若另一条直角边与DC 的延长线交于点Q 时，上面的结论还成立吗？为什么？

解析：在（1）问和（2）问中，图形出现等腰直角弯中的直角∠BPQ ＝90°，要求证PB

＝PQ ，运用弯头双垂线不易证明核心三角形全等。因此考虑画共点双弯，过点P 作BC 、DC 的垂线，垂足分别为E 、F ，易得正方形PECF ，由∠BPQ ＝∠EPF ＝90°得，∠BPE ＝∠FPQ ，且∠PEB ＝∠PFQ ＝90°，PE ＝PF ，△PEB ≌△PFQ ，因此PB ＝PQ . 解：（1）PE ＝PF ，理由如下：如图14，

过点P 分别作BC 、DC 的垂线，垂足为点E 、F .

A

（图11）

B

（图10）

在正方形ABCD 中

∠ACD ＝∠ACB ＝45°，∠BCD ＝∠PEC ＝∠PFC ＝90° ∴四边形PECF 是矩形，

∴∠PCE ＝∠CPE ＝45°，∴PE ＝EC ， ∴矩形PECF 是正方形， ∴PE ＝PF ，∠EPF ＝∠BPQ ＝90° ∴∠EPF －∠EPQ ＝∠BPQ －∠EPQ ， 即：∠FPQ ＝∠EPB

又∠PEB ＝∠PFQ ＝90°，PE ＝PF ， ∴△PFQ ≌△PEB ，∴PB ＝PQ （2）PE ＝PF ，理由如下：如图15，

过点P 分别作BC 、DC 的垂线，垂足为点E 、F . 理由同（1）得 ∴△PFQ ≌△PEB ，∴PB ＝PQ

三、综合运用

例6． (2016·曲靖)如图16，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 交x 轴于，t an ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点H 是线段AC 上任意一点，过H 作直线HN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点P ，求线段PH 的最大值；

（3）点M 是抛物线上任意一点，连接CM ，以CM 为边作正方形CMEF ，是否存在点M 使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解析:本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的应用、一次函数的解析式以及正方形。（1）根据点C （0，3）和tan ∠OAC ＝

4

3可得

到点A 坐标为（－4，0），再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（图16）

A

B

C

D P

Q

E

F （图14）

P

D

Q

C B

A E F （图15）

（2）利用待定系数法求出直线AC 的解析式，设出点N （n ,0）的坐标，进一步表示出点H ，点P 的坐标，由此得出PH 的长度关于n 的二次函数，化为顶点式后，再利用二次函数的性质求最大值；

（3）由点E 、M 、C 是正方形的三顶点，构成等腰直角弯，抛物线对称轴与y 轴平行，因此过点M 作MK ⊥y 轴，垂足为点K ，交对称轴G ，易证核心三角形△MCK ≌△EMG ，得到CK ＝MG ，再设出点M 坐标（m ,－34

383

2

+-

m m ），进一步表示出点G ，K 的坐标及

CK ，MG 的长度，根据CK ＝MG 列出关于m 的一元二次方程，求出m 的值，得到点M 的坐标。

解：(1）根据题意可知C （0，3），∴OC ＝3，在Rt △OAC 中，tan ∠OAC ＝

=OA

OC 4

3，

∴OA ＝4，所以A (－4,0)。将A (－4,0)和C （0，3）代入抛物线解析式得：

??

?==+-30816c c a a ，解得??

???

=-

=3

83c a ， ∴抛物线的解析式为：y ＝－

34

38

32

+-

x x

.

（2）设直线AC 的解析式为：y ＝kx ＋b ，将A (－4,0)和C (0,3)代入可得：

??

?==+-304b b k ， 解得??

???

==

3

43b k ， ∴直线AC 的解析式为：y ＝

4

3x ＋3.

设点N (n ,0)(－4＜n ＜0)，∵点H 在直线AC 上，则点H (n , 4

3n ＋3)，

∵点P 在抛物线上，则点P (n , 34

38

32

+-

-n n )，则线段PH 表示为：

PH ＝y P －y H ＝34

3832

+-

-

n n

－( 4

3n ＋3)＝ 23)

2(832

+

--

n ， ∵抛物线开口向下，所以有最大值，当n ＝2时，y 有最大值为2

3，

∴线段PH 的最大值为

2

3.

（3）如图17所示，过点M 作MK ⊥y 轴，垂足为点K ，交对称轴于点G . ∵四边形CMEF 是正方形，EM ＝MC ，∠EMC ＝90° 且∠MKC ＝∠EGM ＝90°，∠MEG ＋∠EMG ＝90°，

∴∠CMK ＋∠EMG ＝90°，∴∠CMK ＝∠MEG . 在△MCK 和△EMG 中，

??

?

??=∠=∠∠=∠EM MC MGE

CKM

MEG CMK ，

∴△MCK ≌△EMG （AAS ），∴CK ＝MG . 设M (m , 34

3832

+-

-

m m

)，

根据抛物线的对称轴为x ＝－1， 则点G （－1，34

3832

+-

-

m m

），K （0，3438

32

+--

m m

），

则CK ，MG 的长度可表示为：|CK |＝|y K －y C |＝|34

38

32

+-

-m m

－3|＝

|m m

4

3832

-

-

|＝|

m m

4

38

32

+

|,

MG ＝|x M －x G |＝|m －(－1)|＝|m ＋1|，由CK ＝MG 可得，|m ＋1|＝|m m

4

38

3

2

+

|，

∴

m m

4

38

32

+

＝±(m ＋1)，解得：m 1＝－4，m 2＝－

3

2，m 3＝3

4-

，m 4＝2，

分别代入抛物线解析式得：y 1＝0，y 2＝310，y 3＝

3

10，y 4＝0，

∴点M 的坐标为（－4，0），（－3

2，3

10），（3

4-，

3

10）或（2，0）.

【对应练习：】

1.如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ） A ．50 B ．62 C ．65 D ．68

2. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行线间的距离都相等，若正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，AB 与l 2交于点E ，则△AED 与正方形ABCD 的面积之比为 ．

（图17）

3.如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为（－3，1），以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ，双曲线y 1＝

x

k 1

在第一象限内的图象经过点B .设直线AB 的解析式为y 2＝k 2x ＋b ，当y 1＞y 2

时，x 的取值范围是（ ）

A ．－5＜x ＜1

B ．0＜x ＜1或x ＜－5

C ．－6＜x ＜1

D ．0＜x ＜1或x ＜－6

4.如图1,OA ＝2，OB ＝4,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ?ABC , (1) 求C 点的坐标;

(2) 如图2,P 为y 轴负半轴上一个动点,当P 点向y 轴负半轴向下运动时,以P 为顶点,PA 为

腰作等腰Rt ?APD ,过D 作DE ⊥x 轴于E 点,求OP －DE 的值;

(3) 如图3,已知点F 坐标为(－2，－2),当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时,作Rt ?FGH ,

始终保持∠GFH ＝90°,FG 与y 轴负半轴交于点G (0,m ),FH 与x 轴正半轴交于点H (n ，0),当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时,以下两个结论:(1)m －n 为定值;(2)m ＋n 为定值,其中只有一个结论是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x －1与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋c 经过A 、B 两点. （1）求抛物线的解析式；

（2）C 是抛物线对称轴上一点，连接AC ，将线段AC 绕点C 逆时针旋转90°，当点A 的对应点D 恰好落在第四象限的抛物线上时，求点D 的坐标；

附：对应练习答案

1．解析：由核心三角形全等知：△EF A ≌△AGB ，△BCG ≌△CDH ，∴F A ＝BG ＝3，AG ＝EF ＝6，GC ＝DH ＝4，CH ＝BG ＝3，∴FH ＝3＋6＋4＋3＝16，∴S 梯形

EFHD ＝

2

1（4

＋6）×16＝80. ∴S ＝ S 梯形

EFHD －2S △EF A －2S △DCH ＝80－2×

2

1×6×3－2×2

1×3×4

＝50. 答案：A.

2. 解析:设相邻两条平行线之间的距离为1.方法1：如图1，将等腰直角弯ADC 看作是“V ”型，过点A 、C 作直线l 2的垂线，垂足为点F 、G ，由核心三角形全等知：△AFD ≌△DGC ，∴AF ＝DG ＝1，FD ＝CG ＝2，得AD ＝5，由△ADF ∽△DEA ，对应边成比例

得AE ＝2

5，得S △AED ＝

4

5，S

正方形

ABCD ＝5，∴S △AED ：S

正方形

ABCD ＝1：4. 方法2：

如图2，将等腰直角弯ADC 看作是“K ”型，过点D 作直线l 1和l 4的垂线，垂足为点F 、G ，也可得S △AED ：S 正方形ABCD ＝1：4.

方法3：连结图3中的点EF ，证△ADE ≌△FED ≌△EFB ≌△CBF ，∴S △AED ：S 正方形ABCD ＝1：4.

（1）

l l l l

（2）

l l l l F

（3）

l 1l 2l 3l 4

A

B

C

D E

答案：1：4.

3.解析：由△AOB 是等腰直角三角形，因此过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点C 、D ，∵点A （－3，1）由核心三角形全等知：AC ＝OD ＝1，CO ＝BD ＝3，点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（1，3），由待定系数法得直线AB 的解析式y 2＝2

521+

x 和双曲线的解析

式y 1＝

x

3，令y 1＝y 2，则

x

3＝

2

52

1+

x ，解之得：x 1＝－6，x 2＝1，∴当y 1＞y 2时，x 的取值

范围是0＜x ＜1或x ＜－6.

答案：D

4．解：（1）如图1，过C 作CM ⊥x 轴于M 点，

∵∠MAC ＋∠OAB ＝90°，∠OAB ＋∠OBA ＝90°， 则∠MAC ＝∠OBA ，在△MAC 和△OBA 中 ∠CMA ＝∠AOB ＝90°∠MAC ＝∠OBAAC ＝AB

∴△MAC ≌△OBA （AAS ），∴CM ＝OA ＝2，MA ＝OB ＝4， ∴OM ＝OA ＋AM ＝2＋4＝6，∴点C 的坐标为（－6，－2）． （2）如图2，过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE ＝OQ ∴OP －DE ＝OP －OQ ＝PQ ，∵∠APO ＋∠QPD ＝90°， ∠APO ＋∠OAP ＝90°，∴∠QPD ＝∠OAP ， 在△AOP 和△PQD 中，

∠AOP ＝∠PQD ＝90°∠OAP ＝∠QPDAP ＝PD ， ∴△AOP ≌△PQD （AAS ）． ∴PQ ＝OA ＝2．即OP －DE ＝2．

（3）第②个结论成立，m ＋n ＝－4，理由如下：

过点F 作FD ⊥x 轴于点D ，过点F 作FE ⊥y 轴于点E .

则FE ＝FD ＝2，∵∠EFG ＋∠HFE ＝90°，∠HFE ＋∠DFH ＝90°， ∴∠EFG ＝∠DFH ，在△EFG 和△DFH 中，

0). AAS），