数形结合的几个经典题
数形结合
1. 如图 1，大长方形的面积从整体看为
S=m （a +b +c ），
同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成： S ＝ S 1+S 2+S 3＝ ma +mb +mc ；
于是有
m （ a +b +c ）＝ m a +m b +m c 。
。 2. 如图 2，大长方形的面积从整体可以表示成（
a+b ）（m+n ），
同 时 这 个 大 长 方 形 的 面 积 也 可 以 从 局 部 表 示 成 S ＝ S 1+S 2+S 3+S 4 ＝
ma +mb +na +nb ；
于是有 （
a +
b ）（ m+n ）＝ ma +mb +na +nb . 。
3. 如图 3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面
2
2
积，即 a － b ；
若把小长方形 S 4 旋转到小长方形 S 3 的位置，
则此时的阴影部分的面积又可以看成
S 1+S 2+ S 3＝ ( a +b )( a －b ) 。
2
2
于是有 ( a +b )( a －b ) ＝a －b 。
4. 如图 4：将边长为 b 的小正方形放到边长为
a 的正方形的一角，
2
2
空白部分的面积从整体计算为
a －
b ；
其面积为 而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形
S 1+S
2 之和，
b) 。
2
2
于是有 ( a +b )( a －b ) ＝a －b 。
5. 如图 5，大正方形的面积从整体可以表示为 ( a +b ) 2
，
从局部可以表示为也可以表示为
S ＝ S 1 + S 2+ S 3 +S 4，
2
2
2
2
同时 S ＝ a +ab +ab +b ＝a +2ab +b ，
a b a 2
b
a b a 2
b
(a b )( a
2
2 2 2 2
2 2 2
于是有 ( a +b ) ＝a +2ab +b 。
6. 如图 6，从整体看，这个图形的面积为（
a+b ）（a+2b ），
2
2
从局部我们可以看出，它分为
6 部分，这 6 部分的面积之和为 a +3ab+2b ，
所以（ a+b ）（ a+2b ） = a 数形结合例题
2
+3ab+2b 2
。
例 1 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（ a >b ）（如图 1），
把余下的部分拼成一个长方形 （如图 2），根据两个图形中阴影部分的面积相等， 可以验证（
）
A ．（ a +b ） 2
＝ a 2
+2ab +b
2
B ．（a - b ） 2=a 2
-2 ab +b
2
C ．a 2
- b 2
=（a +b ）（ a - b ） D ．（a +2b ）（ a - b ） =a 2+ab -2 b 2
析解：图 1 的阴影部分面积等于边长为
a 的正方形面积与边长为
b 的正方
2
2
形的面积差， 表示为 a - b ．图 2 中阴影部分是长方形， 其中长为 a +b ，宽为 a - b ，
2
2
其面积为（ a +b ）（ a - b ）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有
a -
b =（ a +b ）
（a - b ）．故选 C ．
例 2 如图 3 是四张全等的长方形纸片拼成的图形， 请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于
a 、
b 的恒等式
．
析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为
a -
b ，所以面积为
（a - b ） ；空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方
2
2
形的面积为（ a +b ），每个长方形的面积为 ab ，所以空白部分面积为 （a +b ）-4 ab ．
因此有恒等式（ a +b ） -4 ab =（a - b ） 成立．故填（ a +b ） -4 ab =（ a -
b ） ． 例 3 图 4 是由一个边长为 a 的正方形与两个长、宽
分别为 a 、b 的小长方 形拼接而成的长方形
ABCD ，则整个图形可表达出一些等式，请你写出其中任意
2
2 2
2
三个等式
、 、 ．
析解：读懂题意， 观察图中数据关系是关键， 其次利用面积写出代数式， ．根据图形的组合特点，由面积间的相等关系，写出符合要求的等式，如：
a 2
+2ab =a （a +2b ）； a （a +b ）＋ ab =a （ a +2b ）； a
（a +2b ） - a （ a +b ）=ab ； a （ a +2b ） - ab =a （a +b ）；
a （a +2
b ） - a 数形结合解题
=2ab ； a （ a +2b ）-2 ab =a ．
1. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于 a 、b 的恒等式为（ ）
2
A a b a
2
2ab b
2
B. a b
2
a
2
2 a b b
2
C
D. a a b
a b a
2
ab
a - b
a
b
a －b
a
a －b
2. 图①是一个边长为
( m n) 的正方形，小颖将
a
b
b
图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图 ②能验证的式子是（ ） 甲
乙
A . ( m n)2 (m n) 2
4mn
B . ( m n)2 (m
2
n 2
) 2mn
C . ( m n)
2
2mn m
2
n 2
D . ( m n)( m n)
m
2 n
2
3. 如图，边长为 ( m +3) 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形
( 不重
叠无缝隙 ) ，若拼成的矩形一边长为 3，则另一边长是（ ）
A. 2m +3
B . 2m +6
C ．m +3
D ．m +6
4. 七年级学生小明剪出了多张如图⑴中的正方形和长方形的卡片，利用这些卡
片 他 拼 成 了 如 图 ⑵ 中 的 大 正 方 形 ， 由 此 验 证 了 我 们 学 过 的 公 式 ：
(a b) 2 a 2 2ab b 2
．现在请你选取图⑴中的卡片（各种卡片的张数不限）
，并
利 用b a
它 们 在 图 ⑶ 中 拼 出 一 个 长 方 形 ， 由 此 来 验 证 等 式 ：