《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析

第1-2章行列式和矩阵

⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。

矩阵的运算满足以下性质

⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。

是同阶方阵，则有：

若是阶行列式，为常数，则有：

⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。

若为阶方阵，则下列结论等价

可逆满秩存在阶方阵使得

⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。

用初等行变换法求逆矩阵：

用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）

可逆矩阵具有以下性质：

⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。

典型例题解析

例1 设均为3阶矩阵，且，则。

解：答案：72

因为，且

所以

例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。

解：答案：A

因为，所以A可进行。

关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。

关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。

关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。

例3 已知

求。

分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。

解：因为

得。

例4 设矩阵

求。

解：方法一：伴随矩阵法

可逆。

且由

得伴随矩阵

则=

方法二：初等行变换法

注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。

例4 设矩阵

求的秩。

分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。

解：

。

例5若是阶矩阵，且，试证

证明：

注意：在证明中用到了已知条件和转置行列式相等的结论。

第三章线性方程组

一、本章主要容

主要概念：齐次线性方程组非齐次线性方程组方程组的矩阵表示系数矩阵增广矩阵一般解通解（全部解）特解基础解系自由元（自由未知量）

n 维向量线性组合（线性表出）线性相关线性无关极大线性无关组向量组的秩向量空间向量空间的基和维数

主要性质：齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质主要定理：

线性方程组的理论

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组有解的充分必要条件非齐次线性方程组解的结构

向量组线性相关性的有关定理（教材中第三章第三节）定理1、2、3及有关推论；极大无关向量组的有关定理（教材中第三章第四节）定理1、2、3 主要方法：高斯消元法

齐次线性方程组解的情况判别非齐次线性方程组解的情况判别 0=AX 基础解系的求法 )0(≠=B B AX 通解的求法

向量组线性相关（无关）的判别法极大线性无关组的求法

二、本章重点：向量组相关性的概念及判别，线性方程组相容性定理，齐次线性方程组基础解系几通解的求法，非齐次线性方程组特解和全部解的求法。三、典型例题解析

例1 向量组)2

1(,)110(,)111(321'='='=k ααα，若向量组线性相关则k =

。

解：答案：2

因为由有关定理，向量组线性相关的充要条件是向量组的秩数小于向量组向量个数，所以求向量组的秩，决定k 的取值，使其秩数小于3。具体解法是

()??

??????-→??????????-→??????????=20011010

11101101011121110132

k k k ααα

当2=k 时，32)(321<=αααr ，故向量组线性相关。

例2 设向量组为 )1631(,)3211(,)4121(,)503

1(4321'--='='='=αααα

求它的一个极大无关组，并判断向量组的相关性。

分析：解：

????

???????---→????????????------→?????????

???--=000000006210111

162106210621011111345

6210312311

11)(43

21ααααΘ 21,αα∴是向量组的一个极大无关组，42)(4321<=ααααr ，此向量组线性相关。

例3 线性方程组

???

??=--+=+--=--+λ

4321

43214321895443313x x x x x x x x x x x x 当λ为何值时方程组有解，有解时解的情况如何？

分析：因为增广矩阵的秩与λ的取值有关，所以选择λ的值，使)()(B A r A r M

= 解

????????---→??????????------→??????????------=λλλ0000176401131117640176401131189514431311311)(B A M Θ0=∴λ当时，有42)()(<==B A r A r M ，方程组有解且有无穷多解。

例4 设线性方程组B AX =的增广矩阵经初等行变换后化为

?????--→000001311021011)(B A M

求方程组的通解。

分析：将阶梯形矩阵继续化为行简化阶梯形矩阵，求出方程组的一般解，然后求特解，相应齐次方程组的基础解系，写出方程组的通解。

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数例求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数．解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='．指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程．解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

高中数学经典例题错题详解

高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域：解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球的最近距离。解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式

||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

高中数学典型例题分析

高中数学典型例题分析第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。记作a -b 。 7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

高一数学必修三知识点总结及典型例题解析

新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度的侧度D d A P = （这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积）几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

高中数学典型题型与解析

高中数学典型题型与解析一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中正确的结论是（） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1）（3，＋∞） D ．（-∞，-3）（1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）德蒙德行列式数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

考研线性代数重点内容和典型题型

考研线性代数重点内容和典型题型线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、

伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、

高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）高中数学经典例题、错题详解

高中数学必修二_知识点、考点及典型例题解析(全)

高中数学必修二第一章空间几何体知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：33 4　R V π=，球的表面积公式：24　R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：222121h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面典型例题： ★例1：下列命题正确的是( )

Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（） A 21 倍 B 4 2倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（） A ．28cm π B 212cm π. C 216cm π． D ．2 20cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 __ 倍.

高中数学典型例题解析---- 数列

高中数学典型例题解析---- 数列 §等差数列的通项与求和一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝ 2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系： ???≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2), 则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2 d ，则n S ＝An 2+6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。

②向量减法：同一个图中画出a b a b r r r r 、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A ．OA O B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r C ．00AB r u u u r r D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则