122函数的表示方法

1.2.2函数的表示方法

（约三课时）

三维目标：

【知识与技能】

1．掌握函数的三种主要表示方法——解析法、列表法、图象法及它们的优缺点．

2．掌握分段函数的概念。

3．了解映射的概念；

4．掌握函数图象的两种作法——列表、描点、连线法和图象变换法；

5．掌握函数解析式的求解方法。了解集合的特性；了解有限集、无限集、空集的意义；

【过程与方法】

1．自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法；

2．探究与活动，明白如何适宜地选择函数的表示方法。

【情感态度与价值观】

培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，培养学生从具体到抽象，从观察到概括的分析问题和解决问题的能力，训练学生的思维能力。

重点与难点：

【重点】解析法和图象法。

【难点】函数图象的变换。

教学方法：启发引导，分析讲解，练习领会。

教具准备：POWERPOINT

教学过程：

第一课时函数的表示方法与函数图象的求作

一．引入新课

【师】前面，我们学习了函数的概念和区间的概念，重点就函数的定义域、值域、函数值的求解等问题进行了讲解和分析。那么，函数可以用什么方法表示，函数和映射之间有什么关系呢？下面，我们就来学习1.2.2函数的表示方法．

二．新课讲解

1．函数的表示方法

【师】说到函数的表示方法，我们在初中和本单元的第一节都已经接触过了，谁能说一下函数有哪几种表示方法吗？

【生1】解析法、列表法、图象法。

【师】大家听刚才这个同学说的对吗？谁能再详细地说一下什么是解析法、列表法、图象法？并举例！

【生2】⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

例如，2

60t s =，2

r S π=， ()02

≠++=a c bx ax y ， ()22≥-=x x y 等等都是用解析式表示

函数关系的。

优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，公共汽车上的票价表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的。

优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

【师】看来大家对函数的表示方法掌握的还是不错的。但是，我有问题是任意一个函数都能用这三种方法表示吗？

【生3】只有能用解析法表示的函数才能用三种方法表示，能用列表法和图象法表示的函数不一定能用解析法表示。

【师】其实，哪一种函数都不一定能用三种方法表示，如狄利克雷（Dirichlet ）函数

()?

??=是无理数是有理数x x x D 01，我们就作不出它的图象。希望大家能很好地体会函数的表示方法，

并能在实际当中作出选择。下面，我们就来体会一下，请同学们看例1

问题一：函数()x x f 5=与()[]5,0,5∈=x x x g 是相同函数吗？它们的图象是否一样？

【例1】某种笔记本每个5元，买{}5,4,3,2,1∈x 个笔记本的钱数记为y （元），试选择适

当的方法表示以x 与y 的函数关系。

【师】谁说一下用什么方法？ 【生4】

解：

这个函数的定义域集合是{}5,4,3,2,1∈x ，它可以用解析法表示为x y 5=，{}5,4,3,2,1∈x 它的图象由5个孤立点A (1， 5)

B (2， 10)

C (3， 15)

D (4， 20)，()25,5

E 组

成，如图所示。它也可以用列表法表示为如下表

【师】说的不错。但是，我们不是说作函数图象可以分为列表、描点、连线三步吗？它怎么没连线呢？什么时候连，什么时候不连，我们以什么作标准呢？

【生5】看x 的取值是否连续，连续就连。 【师】列表时应该注意什么？

【生6】定义域是无限集就要在表的两头用省略号。 【师】下面我们看

2．函数图象的作法

【例2】 作出以下函数的图象（4名同学板演） （1）12-=x y ；（2）111+-=

x y ；

（3）2x y =；（4）x

x y 1+=

【生7-10】略

【师】大家看他们所作的图象对吗？作图象时一定要注意： ①自变量当横轴，因变量（函数值）做纵轴；

②要标出函数图象和坐标轴的交点，标出表示图象的特征点（如定点，对称轴等）； ③要注意自变量的取值如果是有界的就要用空心点或实心点表示； ④要在图象的附近写上函数的解析式。

函数x

x y 1

+=叫对勾函数，它的图象如右，值域

是(][)+∞?-∞-,22,。其中，当0>x 时，2≥y ，当0

2-≤y 。

当然，该性质也可以证明如下：

∵x

x y 1

+=

∴421

22

2

≥++=x

x y ∴2≥y

【例3】画出函数x y =的图象 解：由绝对值的概念，我们有

{。

，

0,

0,<-≥=

x x x x y 所以，函数x y =的图象如图所示。

3.分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数。

三．练习反馈

1.已知函数()??

?<≥-=2

22

1

x x

x x x f 。 （1）求()3f ，()2-f ，()()1-f f 的值； （2）求()2=x f 的x 值； （3）作出()x f 的图象

四．课内小结

1.函数的表示方法

2.函数图象的作法及应该注意的地方

3.分段函数的概念和求分段函数值时应该注意的地方。

五．课外作业

课本P24习题1.2A 组7，B 组1

第二课时 函数图象的变换和认识

一．复习回顾

1.函数图象的作法及应该注意的地方

2.分段函数的概念和求分段函数值时应该注意的地方。

二．新课讲解

【例4】作出以下函数的图象（2名同学板演，第二名同学可以在第一名同学所作图象的基础上作。）

（1）322--=x x y （2）322

--=x x y 【生11-12】略

【师】第二名同学能说一下你是怎么根据第一名同学所画函数图象画出322

--=x x y 图象的吗？

【生12】略

【师】我们再回过头看x y =与x y =的图象之间的关系 4．函数图象的变换

【师】谁能说一下()2

2

1,1-=+=x y x y 的图象是把2

x y =的图象怎样变换得到的吗？ 【生13】略

【师】如果我记()2

x x f =，大家能把()2

2

1,1-=+=x y x y 表示成()m x f +或()k x f +中的哪一

种？

【生14】()()()11,112

2

-=-=+=+=x f x y x f x y

【师】此时，同学们有何感想？ 【生15】略 【师】一般地，

①()?+x f 的图象可以看成是把()x f 的图象向左（0>?）或向右（0

②()k x f +的图象可以看成是把()x f 的图象向上（0>k ）或向下（0

③()()0>k x kf 的图象可以看成是把()x f 的图象上所有点的纵坐标伸长（1>k ）或缩短（10<

④函数()x f y =的图像可以看作是把函数()x f y =的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折

到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()x f y =的x 轴上方部分即可得到。

【例5】（1）已知()x g 的图象是把()12

+-=x x x f 的图象向右移动2个单位得到的，则

()=x g ；

（2）已知()x g 的图象是把()x

x f 1=的图象向左移动2个单位，再向上移动3个单位得

到的，则()=x g ；

（3）()142

+-=x x x g 的图象是把()()2

1-=x x f 的图象 得到的。

三．练习反馈

填空

1.函数()2

1+=x y 的图象是将函数2x y =的图象向 方向移动 个单位得到的。

2. 函数12+=x y 的图象是将函数x y 2=的图象向 方向移动 个单位得到的。

3.函数()2

1+=x y 的图象是将函数2)1(-=x y 的图象向 方向移动 个单位得到

的。

四．课堂小结

①()?+x f 的图象可以看成是把()x f 的图象向左（0>?）或向右（0

②()k x f +的图象可以看成是把()x f 的图象向上（0>k ）或向下（0

③()()0>k x kf 的图象可以看成是把()x f 的图象上所有点的纵坐标伸长（1>k ）或缩短（10<

④函数()x f y =的图像可以看作是把函数()x f y =的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()x f y =的x 轴上方部分即可得到。

五．作业

设函数21+++=x x y （1）作出函数的图象； （2）求函数的值域；

（3）解不等式321>+++x x

第三课时 认识函数图象

一．复习回顾

①()?+x f 的图象可以看成是把()x f 的图象向左（0>?）或向右（0

②()k x f +的图象可以看成是把()x f 的图象向上（0>k ）或向下（0

③()()0>k x kf 的图象可以看成是把()x f 的图象上所有点的纵坐标伸长（1>k ）或缩短（10<

④函数()x f y =的图像可以看作是把函数()x f y =的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()x f y =的x 轴上方部分即可得到。

举例：略

二．新课讲解

5．认识函数图象

【例6】直线a x =和函数()x f y =的图象的交点个数是（C ）

A ．一个

B ．两个

C ．至多有一个

D ．不确定 【例7】下列可以作为函数图象的是（D ）

讲评：以上两题实际都考查的是函数的概念，“按照某种对应法则，对定义域范围内的任一个x 值，都有唯一的y 值和它对应”。就是每在x 轴上找一个点，就作一条和y 轴平行的直线，看这条直线和图象是否有唯一的交点。

【例8】已知函数()x f y =和函数()x g 的图象如下:

则函数()()x g x f y =的图象可能是（A ）

x

x

y y

y

O

y x

x

O

O

O

A B C D

1

-7

-2

O x

y

-1 3

-3

y x

2

O

x

1-

O 1

y

【例9】如图是()c bx ax x f ++=2

的图象。

（1）判断c b a ,,的正负；

（2）确定()5-f 与()2f 的大小； （3）判断c b a ++和c b a +-的符号； （4）解不等式()0)2(<-x f x 【例10】如图是()x f y =的图象。 （1）写出函数的定义域和值域； （2）解不等式()2

三．练习反馈

如图是()x f y =的图象， 1. 解不等式()0

<--x f x x 。

四．课堂小结

1.确定函数图象的前提是定义域。

2.识别图象要看反映函数性质的特征值。

五．作业

课本P24习题1.2B 组2

第四课时 ()x f 与()()x g f 的关系

一．复习回顾（检查提问）

1.()?+x f 的图象可以看成是把()x f 的图象向左（0>?）或向右（0

2.已知()x f 怎样求()a f

3.如果已知()12-=x x f ，求()1-x f ，()32+x f ，??

?

??x f 1

二．新课讲解

6．函数解析式的求解：

问题一：如果()()3121+-=-x x f ，()()132332-+=+x x g ，()()5222

-+=+x x h ，

求()x f ，()x g ，()x h 怎么去做？

归纳总结： （1）观察换元法

【例11】 (1) 已知()

2

2

11x

x x x x f ++=+ ，求()x f 。

(2)()222

++=+x x x f ，求()x f 。

解：（1）∵()

11112

2

2

++-+=++x x x x x

x x 且11≠+x x

∴()x f ()112

≠+-=x x x

（2）令t x =+2，则

()()()4322222

+-=+-+-=t t t t t f

∴()x f 432

+-=x x

（2）待定系数法

【例12】已知函数()x f 为一次函数，且())(x f f x 4=-3，求()x f 。 解：∵()x f 为一次函数， ∴可设()b ax x f +=。

∵()()b ab x a b b ax a x f f ++=++=2)(且())(x f f x 4=3-

∴?

??-=+=342b ab a ???

?-==12b a 或???=-=32

b a 故：()12-=x x f 或()32+-=x x f （3）利用解方程的方法（消元法）

将()x f 作为一未知数来考虑，建立方程（组），消去另外的未知数便得()x f 的解析式。

【例13】设函数()x f 满足()x

x f x f +=?

?? ??+112（0≠x 且1≠x ），求()x f 。 解：∵ ()x

x f x f +=?

?? ??+112 ① ∴以x 1代x 得()x x f x f 1121+=+?

?

? ??② ①-?2②得()1

213--

+-=-x x x f

∴()()

()1,013122

≠≠-++-=x x x x x x f

（4）取特殊值法（赋值法）

在已知条件中，将某些字母（变量）取特殊值，使问题具体化、简单化、从而求得()x f 的解析式。

【例14】已知()()()12+--=-y x y x f y x f ，且()10=f ，求()x f 的解析式。 解：可令0=x 得()()11+--=-y y y f 故()12

++=x x x f

（5）利用函数的性质

【例15】设函数=y ()x f 的图象关于直线1=x 对称，若当1≤x 时12

+=x y ，求1

>x 时函数的解析式。

解：∵1>x 时，21<-x 且1≤x 时12

+=x y ，

∴()()541222

2

+-=+-=-x x x x f

又∵=y ()x f 的图象关于直线1=x 对称 ∴()x f ()5422

+-=-=x x x f

注意：本题也可以在12

+=x y （1≤x ）上任取三个点，解出它们关于1=x 的对称点；然后，再利用这些点在1>x 时()x f 的图象上这一点，根据待定系数法解得。

7. ()x f 与()()x g f 定义域之间的关系

问题二：若函数()x f 的定义域是[]3,1∈x ，求()1-x f ，()x f 2，()3+x f 的定义域怎么做？

归纳总结：若函数()x f 的定义域是[]b a x ,∈，则()[]x g f 的定义域是()b x g a ≤≤的解集。 问题三：若函数()1-x f ，()x g 2，()3+x h 的定义域是[]3,1∈x ，求()x f 、()x g 、()x h 的定义域怎么做？

归纳总结：若函数()[]x g f 的定义域是[]b a x ,∈，则()x f 的定义域是[]b a x ,∈时()x g 的值域。

三．练习反馈

1．若()x x x f 21+=+,求f (x )。

解法一（换元法）：令1+=x t ，则12

-=t x ,1≥t 且代入原式有1)1(2)1()(2

2

-=-+-=t t t t f ， ∴1)(2

-=x x f （1≥x ）

解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x ， ∴1)1()1(2

-+=+x x f

又∵1+x ≥1 ∴1)(2

-=x x f （1≥x ）

2．若x

x x f -=1)1( 求()x f

解： 令x t 1= 则t x 1= (t ≠0) 则11111

)(-=-=t t

t t f ， ∴()11-=x x f (0≠x 且1≠x ) 3.若函数()x f 的定义域是()1,1-∈x ，求()1-x f ，()2+x f 的定义域。 4.若函数()2-x f 的定义域是[]1,0，求()x f 的定义域。

四．课堂小结

1.已知()()x g f 求()x f 的方法。

2.已知()x f （()()x g f 的定义域求()()x g f （()x f ）定义域的方法。

五．作业

1．已知()b ax x f +=,且()89+=+x b x af ， 求()x f

解：（待定系数法）

∵()()b ab x a b b ax a b x af ++=++=+2

∴{

8

92

=+=b ab a 解之{23==b a 或 {

4

3-=-=b a ∴()23+=x x f 或()43--=x x f 2．已知()x f 是一次函数, 且()()14-=x x f f , 求()x f 的解析式。

解：（待定系数法）设()b kx x f +=则()14-=++x b b kx k

∴{???-==?-=+=3

121)1(42b k b k k 或 {

1

2=-=b k ∴3

12)(-=x x f 或12)(+-=x x f 3．已知()x f 满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f ；

解：∵已知x x f x f 3)1()(2=+ ①，

将①中x 换成

x 1

得x

x f x f 3)()1(2=+ ②， 联立①②解得()x

x x f 12-=为所要求。

4.已知函数()x f y =的定义域是[]2,0∈x ，求()

x x f -2的定义域。 5若函数()

222+-=x x f y 的定义域是[]2,0∈x ，求函数()x f y =的定义域

6.设函数()f x 的定义域为+

N ，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，(1)1f =，求

()5f 。

7.已知()x f 对任意的正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=，且()24=f ，求()()()64,8,2f f f 。

第五课时 分段函数的应用与映射

一．复习回顾（检查提问）

1.已知()()x g f 求()x f 的方法（举例）。

2.已知()x f （()()x g f 的定义域求()()x g f （()x f ）定义域的方法（举例）。

二．新课讲解

7．分段函数的应用

【例16】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；

C

P

A P B

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x的取值范围为(]

20

,0。由“招手即停”公共汽车的票价制定规则，可得到以下函数解析式：

?

?

?

?

?

≤

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

.

20

15

,5

,

15

10

,4

,

10

5

,3

,5

,2

x

x

x

x

y

图象略。

【例17】动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：如图：当P在AB边上运动时, x

PA=

当P在BC边上运动时2)1

(

1-

+

=x

PA

当P在CD边上运动时2)

3(

1x

PA-

+

=

当P在DA边上运动时x

PA-

=4

∴

?

?

?

?

?

≤

<

-

≤

<

+

-

≤

<

+

-

≤

≤

=

.4

3

,

4

,3

2,

10

6

,2

1,2

2

,1

,

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

8．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B

A→为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：B

A→”。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射。

注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

【例18】从集合A 到B 的映射中，下列说法正确的是 A ．B 中某一元素b 的原象可能不只一个 B ．A 中某一元素a 的象可能不只一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同 D ．B 中两个不同元素的原象可能相同

【例19】已知集合A ={}40≤≤x x ，B ={}20≤≤y y ,下列从A 到B 的对应f 不是映射的是（ ）

A ．x y x f 21:=→

B ．x y x f 3

1:=→ C ．x y x f 32:=→ D ． 2

81:x y x f =→ 三．练习反馈

练习：学生做课本第23页练习第4题。

四．课堂小结

1.映射的概念

2.映射与函数的区别

五．作业：课本第25页习题1.2A 组10，B 组3、4