《经济数学基础》课程考核说明

《经济数学基础》课程考核说明

I．相关说明与实施要求

本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融专业的学生．本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由平时作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格．其中平时作业成绩占考核成绩的20%，期末考试成绩占考核成绩的80%．平时作业的内容及成绩的评定按《广播电视大学高等专科经济数学基础课程教学实施方案》的规定执行．

经济数学基础课程考核说明是根据《广播电视大学高等专科“经济数学基础”课程教学大纲》制定的，参考教材是《经济数学基础》（黎诣远主编，高等教育出版社出版）和《跟我学经济数学》（李林曙主编，高等教育出版社出版）．考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求．本考核说明是经济数学基础课程期末考试命题的依据．

经济数学基础是广播电视大学财经类各专业高等专科学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校财经类专业的大专水平．因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度．试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点．考试旨在测试有关一元函数微积分、概率论和矩阵代数的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力．

期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点．

一元函数微积分、概率论和矩阵代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比与它们在教学内容中所占的百分比大致相当，一元函数微积分约占60%，概率论约占20%，矩阵代数约占20%．

考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比为：单项选择题30%，填空题10％，解答题60％(其中若有证明题，分数约占5％)．

期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为120分钟．

考试时不得携带除书写用具以外的任何工具．

II. 考核内容和考核要求

考核内容分为一元函数微分学、一元函数积分学、概率论和矩阵代数四个部分，包括函数、一元函数微分学、导数应用、一元函数积分学、积分应用、数据处理、随机事件与概率、随机变量与数字特征、矩阵、线性方程组等方面的知识．

（一）一元函数微分学

⒈函数

考核知识点：

函数的概念

函数的奇偶性

复合函数

分段函数

基本初等函数和初等函数

经济分析中的几个常见函数

建立函数关系式

考核要求：

⑴理解函数概念，掌握函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同；

⑵掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；

⑶掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；

⑷了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；

⑸了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；

⑹知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；

⑺了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；

⑻会列简单应用问题的函数表达式．

⒉一元函数微分学

考核知识点：

极限的概念

无穷小量与无穷大量

极限的四则运算法则

两个重要极限

函数的连续性和间断点

导数的定义

导数的几何意义

导数基本公式和导数的四则运算法则

复合函数求导法则

高阶导数

微分的概念及运算法则

考核要求：

⑴知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；

⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；

⑶掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；

⑷了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；

⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；

⑹熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；

⑺知道微分的概念，会求函数的微分；

⑻知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．

⒊导数应用

考核知识点：

函数的单调性

函数的极值和最大（小）值

导数在实际问题中的应用

考核要求：

⑴掌握函数单调性的判别方法；

⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；

⑶了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；会计算需求弹性；

⑷熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最值问题．

（二）一元函数积分学

⒋一元函数积分学

考核知识点：

原函数、不定积分和定积分概念

积分的性质

积分基本公式

第一换元积分法

分部积分法

无穷限积分

考核要求：

⑴理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念，会求当曲线的切线斜率已知且满足一定条件时的曲线方程，知道不定积分与导数（微分）之间的关系；

⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法；

⑶掌握第一换元积分法（凑微分法）；

⑷掌握分部积分法，会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分：

①幂函数与指数函数相乘，

②幂函数与对数函数相乘，

③幂函数与正（余）弦函数相乘；

⑸知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分．

⒌积分应用

考核知识点：

积分的几何应用

积分在经济分析中的应用

常微分方程

考核要求：

⑴掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积；

⑵熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；

⑶了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；

⑷掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解．

（三）概率论

⒍数据处理

考核知识点：

总体与样本

重要特征数

直方图

考核要求：

⑴了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，掌握均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数的计算方法；

⑵会作频数直方图和频率直方图．

⒎随机事件与概率

考核知识点：

随机事件与概率

事件的关系与运算

概率的加法公式与乘法公式

事件的独立性

考核要求：

⑴知道随机事件的概念，了解概率概念及性质；

⑵知道事件的包含、相等以及和、积、差，了解事件互不相容和对立事件等概念；

⑶会解简单古典概型问题；

⑷了解条件概率概念，掌握概率的加法公式和乘法公式；

⑸理解事件独立概念，掌握有关计算．

⒏随机变量与数字特征

考核知识点：

两类随机变量

常见分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布）

期望与方差 考核要求：

⑴了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；

⑵了解二项分布、泊松分布的概率分布列或密度，记住它们的期望与方差，会计算二项分布的概率；

⑶了解均匀分布，理解正态分布、标准正态分布，记住其期望与方差．熟练掌握一般正态分布的概率计算问题；

⑷了解随机变量期望和方差的概念及性质，掌握其计算方法． （四）矩阵代数 ⒐矩阵

考核知识点：

矩阵概念与矩阵的运算 特殊矩阵

矩阵的初等行变换与矩阵的秩 可逆矩阵与逆矩阵 考核要求：

⑴了解矩阵和矩阵相等的概念；

⑵熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； ⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质． ⑷理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； ⑸了解矩阵秩的概念；

⑹理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵． ⒑线性方程组 考核知识点： 线性方程组 消元法

线性方程组有解判定定理 线性方程组解的表示 考核要求：

⑴了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解；

⑵理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理； ⑶熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．

III. 试题类型及规范解答举例

一、单项选择题

⒈若函数f x ()在x x =0处极限存在，则下列结论中正确的是（ ）． （A ）f x ()在x x =0处连续 （B ）f x ()在x x =0处可能没有定义

（C ）f x ()在x x =0处可导 （D ）f x ()在x x =0处不连续 （B ）正确，将B 填入题中括号内．（中等题）

⒉当（ ）时，线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，其中n 是未知量的个数． （A ）秩秩()()A A = （B ）秩秩()()A A =-1 （C ）秩秩()()A A n == （D ）秩秩(),()A n A n ==+1 （C ）正确，将C 填入题中括号内．（容易题） 二、填空题 ⒈函数y x

x =

--42ln()

的定义域是 ．

在横线上填写答案“(,)(,]2334 ”．（容易题） ⒉若F x ()是f x ()的一个原函数，且a ≠0，则f ax b x ()+=⎰d ．

在横线上填写答案“

1

a

F ax b c ()++”．（中等题） 三、解答题

⒈（计算题）设随机变量X 的密度函数为

f x x x ()()=-≤≤⎧⎨

⎩

3112

02其它 试计算：⑴P X (..)1525<<；⑵E X ()

解：⑴按密度函数定义有

P X f x x x x x (..)()() (152531015)

25

215

22

25

<<==-+⎰

⎰⎰d d d

875.0)5.0(1)1(325

.13=-=-=x

⑵由期望的计算公式得

E X x f x x x x x x x x ()()()()()==-=----∞

+∞⎰⎰⎰d d d 11131

2

31

2

31

2

=-

-=-

=214

21474

41

2

()x （中等题）

⒉（应用题）已知某产品的销售价格p （单位：元／件）是销量q （单位：件）的函数p q

=-

4002

，而总成本为C q q ()=+1001500（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：由已知条件可得收入函数

R q pq q q ()==-4002

2

进而得到利润函数

L q R q C q q q q q q ()()()()=-=--+=--400210015003002

150022

对利润函数求导得

'=-L q q ()300

令'=L q ()0得q =300，显然是唯一的极大值点，因此是最大值点．同时得

L ()3003003003002

1500435002

=⨯--=

即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．（中等题） ⒊（证明题）设f x ()是连续的偶函数，试证f x x f x x a

a

a

()()d d -⎰

⎰=20

．

证明：由定积分的性质得

f x x f x x f x x a

a

a

a

()()()d d d --⎰⎰⎰=+0

对上式右端第一项做变量替换x t =-，由此可得

f x x f t t f t t a

a

a

()()()()d d d -⎰

⎰⎰=--=--00

由定积分的性质和偶函数的定义可得

--==⎰⎰⎰f t t f t t f x x a

a

a

()()()d d d 0

最终得

f x x f x x f x x f x x a

a

a a a

()()()()d d d d -⎰

⎰⎰⎰=+=0

2

证毕．（较难题）

IV. 样卷

一、单项选择题（每小题3分，本题共30分） 1.下列极限计算中，正确的是（ ）． (A) limln()x x →+=011 (B) lim x x →∞-=1202

2

π

e

(C) lim sin x x

x

→∞=1 (D) lim()t t t →-=01

1e

2.关于函数f x x ()=-1，正确结论是（ ）． (A) f x ()在x =1处连续，但不可导 (B) f x ()在x =0处连续，但不可导 (C) f x ()在x =1处既不连续，又不可导 (D) f x ()在x =1处既连续，且可导

3.曲线y x =-1

2在x =2处的切线斜率是（ ）．

(A) -14 (B) -12 (C) －1 (D) 1

4

4.设y x =lg2，则d y =（ ）．

(A) 12d x x (B) 1d x

x (C) 1d x x ln10 (D) ln10

x x d

5.设某商品的需求函数为q p p

()=-102

e

，则当p =6时，需求弹性为（ ）．

(A) --53

e (B) －3 (C) 3 (D) -12

6.设

f x x F x C ()()d =+⎰，则sin (cos )x f x x d =⎰（ ）．

(A) -+F x C (cos ) (B) F x C (cos )+ (C) -+F x C (sin ) (D) F x C (sin )+

7.

1

21x x -=⎰d （ ）．

(A) ln()21x C -+ (B) ln()21x C -+

(C) 1

2

21ln()x C -+ (D) -

-+2212()x C 8.实际问题中，测量一物体的长度，反复测量6次，所得数据如下：

数据次数484950321...

则该物体的长度计算公式应选用（ ）． (A)

16484950(...)++ (B) 1

3

484950(...)++

(C)

16348249150(...)⨯+⨯+⨯ (D) 13

348249150(...)⨯+⨯+⨯ 9.如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（ ）． (A) E X D X (),().==321 (B) E X D X (),()==33 (C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==0321 10.非齐次线性方程组A X b m n ⨯=有无穷多解的充要条件是（ ）． (A) m n < (B) 秩()A n <

(C) 秩()A ＝秩()A m < (D) 秩()A ＝秩()A n < 二、填空题（每小题2分，本题共10分）

11.函数y x x =

+--1

13ln()

的定义域是 ．

12.设f x x

()=e ，则lim ()()x f x f x

→-=00 ．

13.[(]x x x 20

1

e )d '=⎰

．

14.齐次线性方程组AX =0的系数矩阵为A =--⎡⎣⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥⎥112301020000，则此方程组的一般解为

．

15.如果事件A B ,满足AB =∅，且A B U +=，那么称事件A B ,互为 事件．

三、极限与微分计算题（每小题６分，本题共12分）

16.求极限lim[

sin()]x x x x →--++1211

1

21．

17.设y x =-ln()21，求d y ．

四、积分计算题（每小题６分，本题共12分）

18.计算积分

ln x x x +⎰2

d ．

19.求微分方程'=y x y

x

e 32

满足y ()00=的特解． 五、概率计算题（每小题６分，本题共12分） 20.假设事件A ，B 独立，已知P A ().=04，P B ().=07，求A 与B 只有一个发生的概率．

21.设随机变量X N ~(,.)3052

，求P X (.)236≤<．已知

ΦΦ(.).,().1208849209772==

六、矩阵代数计算题（每小题６分，本题共12分）

22.设矩阵A =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥1213，且有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=+2453T

AB A ，求矩阵B ．

23.就a b ,的取值，讨论线性方程组

x x x x x x x x ax b

1231231

2323136223++=++=++=⎧⎨⎪

⎩⎪

解的情况．

七、应用题（本题8分）

24.生产某种产品产量为q （单位：百台）时总成本函数为C q q ()=+3（单位：万元），销售收入函数为R q q q ()=-

612

2

（单位：万元），问产量为多少时利润最大？最大利润是多少？

八、证明题（本题4分）

25.设A I 2=，且I AA =T ，则A 为对称矩阵．