1994考研数三真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

2

x + x | (1) [——x =

2 +x 2

-------

⑵已知f(X)二-1,则lim _ J 0

f (怡—？X)- f(X 。—X) ⑶设方程0

-护=°Cosx 确定定y |0 0 32 L 0 (4)设 A= M M M M 0 0 0 L a n i ⑸设随机变量X 的概率密度另

命n 0 0 L F

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

12

x 2

+x +1

(1)

曲线y 二e x arctan 的渐近线有()

(x+1)(x-2)

(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条

00

2

00

n |an |

⑵设常数■ 0,而级数a 2收敛,则级数(-1)n 」2

()

(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与'有关

⑶设A 是m n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r,矩阵B 二AC 的秩为*，则

(

)

(A) r r 1

(B) r ::片

(C) r = r 1 (D) r 与*的关系由C 而定

(4)设 0 vp(A) *1,0 ￡P(B) ￡1,P(A B) +P(AB)=1,贝 U ()

(A)事件A 和B 互不相容(B)事件A 和B 相互对立

为x 的函数，则dy = ___________

dx

,其中 a 仔0,i=1,2,L ,n,则

丄 2x, 0：：x ：1, f(x)二

10,其他，『

、

以丫表示对X 的三次独立重复观察中事件 X 乞-出现的次数,则

I 2J

(C)事件A 和B 互不独立(D)事件A 和B 相互独立

⑸设X 「X 2丄，X n 是来自正态总体N(?2f 2

)的简单随机样本2X 是样本均值，记 S T^—Z (X i -X)2, (X i —X)2

,

n -1 i 二 n i A

1 n i n

S 2 =——迟(X i -曰2

, s 2=—送(X i -巴2

,

则服从自由度为n 钊■的t 分布的随机变量是Ov

(A)t=^ (B)t=^ (C)t=X0(D)t=X

/l

6 S

4

三、(本题满分n

6分)

'、

n

计算二重积分 I i(x - y)dxdy,其中 D - '(x, y) x 2 y 2 — x y 亿

D

四、(本题满分5分)

「V "+4V "+4V = 0

-tc

设函数"满足条件y(o —y(O"4求广义积分o

V(x)dx.

五、(本题满分5分)

已知 f (x, y) = x 2 arcta n#_y 2arcta n 二 求 —

x y exey 六、(本题满分5分)

设函数 f (x)可导,且 f(0) =O,F(x) x t n 」f (x n -t n )dt ，求 lim 卩^)

0 ^^0 x 七、(本题满分8分)

y = ln x 在点(x o , y o )处有公共切线，求: (1)常数a 及切点(x o , y o )；

⑵两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V x . 八、 (本题满分6分)

假设f (x)在［a,二)上连续,f (x)在a,内存在且大于零，记

F(x)=空上他— a), x -a

证明F(x)在a, V 内单调增加? 九、 (本题满分11分)

设线性方程组

已知曲线y 二a 、、x(a 0)与曲线

X i +a 2X 2 +a ；X 3 = a 2,

X i a 3X 2 a ；X 3 二 a 3,

⑴证明:右印,比,玄,印两两不相等4X 则此线性方程组无解;

= a4=-k （k^O ）且已知P i J?2是该方程组的两个解 「-1〕 「1〕

X = | 1，^2 = | 1，

Ji

十、（本题满分8分）

0 0 1]

设A = x 1 y 有三个线性无关的特征向量，求X 和y 应满足的条件.

1 0 0

十、（本题满分8分）

假设随机变量X 1,X 2,X 3,X 4相互独立，且同分布

P 〈X j =0.；=0.6,P 〈X j =1.；=0.4（i =1,2,3,4）, X 1 X 2

求行列式X =

的概率分布?

X 3 X 4

十二、（本题满分8分）

假设由自动线加工的某种零件的内径 X （毫米）服从正态分布N （?1）,内径小 于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合 格品亏损.已知销售利润T （单位:元）与销售零件的内径X 有如下关系：

-1, X <10, T =三20, 10 EX 乞12,

1-5, X >12.

问平均内径■取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.） （1）【答案】In 3

【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数 时,积分为

（2）设 a i = = k, a ? 写出此方程组的通解?

，其中

a 1

0 - a

【解析】由分块矩阵求1

⑷【答案】

a 2

01和

所以,本题对A 分块后可得 ⑸【答案】—

-

64

【解析】已知随机变量

做的运算性 :1

a

n 4

a

2

|0加

B 「 [B a 0

*

一

.

■i

f 1]

1

率吊X 、兰一》= f 2xdx

2j L

X 的概率密度

「1

二项分布的概率参数后，故Y~B(3,).

4

2

由二项分布的概率计算公式，所求概率为

14丿14丿64

a

n 4 0 ；被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.所以知

：42

2 In 6 -1n 2 = In 3.

⑵【答案】1

x

所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式，从而求得极限值.由于

f (x

- 2x) - f

(x

- x)

lim

X —

x

f (x ° -2x) - f (x °) - f (x ° -x) + f (X 0)

=lim

X

X

f(x 。-2x) - f (x 。) = (-2)lim lim T _2x T x 1 所以原式=lim 1 .

T f(X °；2x)— f(X 。—X) 1

⑶【答案】y —空异严

xe +2y

【解析】将方程e xy y 2

cosx 看成关于x 的恒等式，即y 看作x 的函数.

2

x

2

原式.，厂7dx ，

/ X

2 dx = 2 --- dx

2 x

2

2 x 2

2

=ln (2 x 2

)

【解析】根据导数的定义，有f(X 。)=啊

f (X 0

X) f (X)

f(X0-X)— f

(X0

)= _2f(X 0)f (x °)=1.

-2x X 方程两边对x 求导，得

1 I

|0

e y

(y%3+2y 乔 【相关知识点两函数乘积的求导公

— sinx= y =

* sinx

xe xy

+ 2y

〔f(x) g(x) = f (x) g(x) f (x) g (x).

III 0

III 0

1 「求得

【相关知识点】二项分布的概率计算公式：

若 Y 、B( n,p),则 P9 =k ；=C n k p k (1-p 严，k =0,1,川，n ,

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B) 【解析】本题是关于求渐近线的问题

1

2

采 4 X X 1 二 由于 lim e x arctan F (x+1)(x_2) 4 TT

故y 为该曲线的一条水平渐近线?

又 lim e^ arctan —X

X

—1

x )0

(x 1)(x-2)

故x =0为该曲线的一条垂直渐近线，所以该曲线的渐近线有两条 故本题应选(B).

【相关知识点】水平渐近线：若有lim f(x)二a ,则y=a 为水平渐近线；

x

铅直渐近线：若有x m a f(x)=°o ,则x = a 为铅直渐近线；

斜渐近线：若有a =lim 丄(勺，b =lim[ f (x)-ax]存在且不为二，则y = ax ? b

为 x x ~?t

斜渐

近线.

(2) 【答案】(C)

(3) 【答案】(C)

【解析】由公式r(AB)'mi n(r(A),r(B))，若 A 可逆，则

【解析】考查取绝对值后的级数.因

(-止

I

：n 2 - ■ 12 11 a n 2 一

2 2 n 2

J 2 .丄

2 2n 2

(第一个不等式是由a _0,b _0,ab —(a 2 b 2)得到的.)

1 2

2

00

1

收敛,(此为p 级数：—-当p 1时收敛；当p - 1时发散.) n (讪务丨

又& a ；收敛

n#

n#

2n

nJ

所以送1

a n

2

+2收敛,由比较判别法 得瓦 n i 2

2n

n=±

故原级数绝对收敛，因此选(C).

收敛.