数列求和说课稿

课题 数列的求和 说课稿

制作人：袁红 单 位：沂水四中

一、考纲分析

1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；

2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.

二、考情分析

五年考情：在近5年高考理科卷中，数列在试卷中的位置：

14年，T 19（12分）； 13年，T 20（12分）； 12年，T 20（12分）； 11年，T 20（12分）； 10年，T 9 （5分），T 18（12分）

从近5年的考情看，数列是必考的一个解答题：

1.数列求和主要考查:(1)等差数列和等比数列的求和.(2)使用裂项法、错位相减法的求和.(3)根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和.

2.数列求和问题一般以数列的基本问题为先导,在解决数列基本问题后考查数列求和.

3.以解答题为主,难度中等或稍难.

三、学生感悟

1.（2014新课标全国卷）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )

A ．n (n ＋1)

B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）

2

【解析】由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，

即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1）

2×2＝n (n ＋1)．

【答案】A

通过此题，引出基础知识1.数列求和的基本方法—公式法.

2.（2012大纲全国高考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列

1

1

{

}n n a a +的前100项和为（ ） （A ）

100101 （B ）99

101

（C ）99100 （D ）101100

【解析】设{}n a 的公差为d,则有115

a 4d 55(a a )152

+=??

??+=??，，解得1,11==d a ，则n a n =，

11

1)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，设数列1

1{}n n a a +的前100项和为T 100，100111111100

T (1)()()1223100101101101

∴=-+-+???+-=-=

. 【答案】A

通过此题，引出基础知识2.数列的求和方法--裂项法. 3.（2011高考）若数列{}n a 的通项公式是()

()132n

n a n =--,则12a a ++…10a +=( )

（A ）15 (B)12 C ）-12 (D) -15

【解析】观察数列{}n a 的性质，得到.31094321=+==+=+a a a a a a 故()()()1210123492015.a a a a a a a a a +++=++++++=

【答案】A

通过此题，引出基础知识3.数列的求和方法—并项法. 4.（2012高考改编）已知等差数列

{}n a 中，98n

a

n =-，对任意*m N ∈，将数列{

}

n a 中

落入区间

2(9,9)m m 的项的个数记为m b ，则数列{}m b 的前m 项和m S .

【解析】由题意知

m

n m

a 29

9<<，即m

m n 29899<-<，所以

989989121+<<+

--m m n ，

1

1211299)98

9()989(-----=+-+=m m m m m b ，

于是

)

999(999110123121--+++-+++=+++=m m m m b b b S

89801980191098198099919191991212122

12m

m m m m m m m -+=+?-=---=-----=++++， 即

89801912m

m m S -

+=+. 【答案】

89801912m m m S -

+=+

通过此题，引出基础知识4.数列的求和方法—分组求和..

5.（2014高考改编）已知等差数列{a n }的公差为1，首项a 1＝1，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x

的图像上(n ∈N *

)．则数列????

??

a n

b n 的前n 项和T n 等于 .

【解析】由题意有a n ＝n ，2

2n

a n n

b ==,所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n 2

n ，

所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n

2n ，

2T n ＝ 11＋22＋ 322 ＋… +1

2

n n -＋n 2n －1，

因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －2

2n .

所以，T n ＝2n ＋1－n －2

2n

.

【答案】T n ＝2n ＋1－n －2

2n

.

通过此题，引出基础知识5.数列的求和方法—错位相减法.

这5个高考题，学生课前完成，根据学生做题情况，制定如下教学目标和要求.

四、教学目标和要求

根据上述教材分析和考情分析，制定如下教学目标：

1、知识与技能目标：

（1）掌握数列求和的几种常用方法； （2）灵活运用数列求和的几种常用方法.

2、过程与方法目标：

（1）提前让学生做这份学案，以学定教，体现学生自主学习；

（2）在学生自主学习中，发现问题，找出错误，师生共同寻找解决问题的突破口； （3）通过分析高考题目，了解数列在高考中的地位及高考动向.

3、情感态度与价值观目标：

通过学生独立思考，培养学生分析问题、解决问题的能力。 重点与难点

重点：掌握数列求和的几种常用方法

难点：灵活运用数列求和的几种常用方法处理数列求和问题 教学方法 分析、点拨、归纳

教具准备 学案纸及多媒体教学设备

四、教学过程

（一）基础知识

数列求和的基本方法：

1.公式法：适合求等差数列或等比数列的前n 项和. （１）等差数列的前n 项和公式：S n ＝

d n n na a a n n 2

)

1(2)(11-+=+ （２）等比数列的前n 项和公式：当,1=q 时，S n ＝1na ，

当1≠q 时，S n ＝q

q a n --1)

1(1.

2.裂项法

把数列的通项拆成两项，在求和时一些正负项相互抵消，这一求和方法称为裂项法.适用于求通项为11n n a a +的数列的前n 项和.其中{}n a 为等差数列，则

11

1111

()n n n n a a d a a ++=-. 3.并项法

对通项公式中含有(1)n

-的一类数列，常用并项法求和.

4.分组求和法

此方法适应于一个等差数列与一个等比数列（或者两个公比不同的等比数列）的对应项相加、减构成的新数列，或者数列的通项公式是分奇数项、偶数项讨论的数列等. 5.错位相减法

此方法适应于一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘构成的新数列． （二）高考题精析

例1. [2013高考（理）]设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1

（Ⅰ） 求数列｛a n ｝的通项公式； （Ⅱ） 设数列｛b n ｝的前n 项和T n ，且T n +12

n n

a + = λ（λ为常数），令c n =

b 2n ，（n ∈N *

）.求数列｛c n ｝的前n 项和R n .

【思路分析】（Ⅰ）先设出等差数列的首项和公差，然后根据12,4224+==n n a a S S 可列方程组求得数列的通项公式；

（Ⅱ）先根据前n 项和与通项的关系求出{} n b 的通项公式，由c n =b 2n 求出{}c ?n 的通项，再利用错位相减法求出R n .

【设计意图】（1）让学生熟练掌握等差数列的通项及前n 项和公式；（2）理解由前n 项和求通项的解法及错位相减法求和.本题由学生板演，主要展示错位相减法的具体解题步骤. 解:（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，

由12,4224+==n n a a S S 得()()??

+-+=-+1

122121111d n a d n a

解得2,11==d a ，因此*

,12N n n a n ∈-=.

（Ⅱ）由题意知1

2--

=n n n T λ， 所以2≥n 时，1--=n n n T T b =1212

2212----=-+-

n n n n n n , 故()*1

122,411222N n n n b c n n n n ∈??

?

??-=-==--

所以()01231

111110123144444n n R n -??????????=?+?+?+?+???+-? ? ? ? ? ???????????

，

则 ()1

2

3

4

11111101231444444n

n R n ??????????=?+?+?+?+???+-? ? ? ? ? ???????????

， 两式相减得()n

n n n R ??

?

??--?

?

?

??+???+??? ??+??? ??+??? ??+??? ??=-4114141414141431

4321

()n

n n

n n ??? ??+-=???

??---??? ??-=41331314114

114141, 整理得??

? ??+-=

-1413491n n n R ， 所以，数列{}n c 的前n 项和??

?

??+-=

-1413491n n n R . 变式：【2013高考（文）】设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1 （Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足

*2211,2

1

1N n a b a b a b n n n ∈-=+???++ ，求{}n b 的前n 项和n T . 【设计意图】进一步巩固等差数列的通项公式和前n 项和公式，及由前n 项和求通项的解法和错位相减法求和.本题放在自习课上，限时15分钟完成. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，

由12,4224+==n n a a S S 得()()??

+-+=-+1

122121111d n a d n a

解得2,11==d a ，因此*

,12N n n a n ∈-=

（Ⅱ）由已知

*2211,2

1

1N n a b a b a b n n n ∈-=+???++, 当1=n 时，

,2

111=a b 当2≥n 时，

n n n n n a b 212112111=??? ??---=-，所以*,2

1

N n a b n n n ∈=， 由（Ⅰ）知*

,12N n n a n ∈-=，所以*,2

1

2N n n b n

n ∈-=

， 又231135232122222n n n n n T ---=

+++???++， 14322

1223225232121+-+-+???+++=n n n n n T ， 两式相减得14322

1222222222212

1+--??? ??+???++++=

n n n n T 112122123+----=n n n =132322

n n ++-. 所以n

n n T 2323+-

=. 例2. [2014高考（理）] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，

S 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝(－1)n －14n

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

【思路分析】（1）根据条件建立首项1a 的方程求解.（2）分n 为奇数和偶数讨论，应用裂项法求和.

【设计意图】复习强化裂项法求和方法，掌握用裂项法求和的表达形式，本题由师生共同分析，第一问由学生回答，第二问教师板演n 为偶数时的情况，n 为奇数时由学生板演.

解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×3

2

×2＝4a 1＋12，

由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.

(2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －1

4n （2n －1）（2n ＋1）

＝(－1)n －1?

??

?

?12n －1＋12n ＋1.

当n 为偶数时，

T n ＝? ?

???1＋13－? ????

13＋15＋…＋? ?

1

2n －3＋

???1

2n －1－? ??

??

1

2n －1＋1

2n ＋1

＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

.

当n 为奇数时，

T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…－? ????12n －3＋12n －1＋? ????12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1

.

所以T n

＝?????2n ＋2

2n ＋1

，n 为奇数，2n

2n ＋1，n 为偶数.

?

??

??或T n

＝2n ＋1＋（－1）n －1

2n ＋1

变式：【2013新课标全国高考（文）】已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足03=S ，55=S . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列?

????

?

+-12121

n n a a 的前n 项和.

【设计意图】进一步巩固裂项法求和，本题较简单，由学生自己板演. 解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则d n n na S n 2

)

1(1-+=. 由已知可得??

?-=+=+.

5105,03311d a d a 解得1 1.

1.a d =??=-?

故}{n a 的通项公式为n a n -=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知

)1

21321(21)21)(23(111212---=--=+-n n n n a a n n ，从而数列

?

?

????+-12121n n a a 的前n 项和为)12132131111111(21---+???+-+--n n n n

21-= （备用例题）[2014高考（文）] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等

比中项．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设(1)2

n n n b a +=，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .

【思路分析】（1）根据条件建立首项1a 的方程求解；（2）分n 为奇数和偶数讨论，利用并项法求和.

【设计意图】通过此题让学生理解并项法求和的条件，及出现(1)n

-时，要对n 分奇数、偶数讨论.本题由教师点拨、提示，学生板演.

解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .

(2)由题意知，(1)2

(1)n n n b a n n +==+，

所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时，

T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n

2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）

2，

当n 为奇数时，

T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）2

2.

所以T n ＝?

????－（n ＋1）2

2

，n 为奇数，

n （n ＋2）

2

，n 为偶数.

（三）课堂小结

（1）由学生总结本节课的知识点及重点、难点问题； （2）总结在做题中遇到的困难，出现的错误； （3）困难和错误是怎样解决的. （四）真题演练

1.（2014全国大纲）(5分)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==,则6S =（ ） A.31 B.32 C.63 D.64

答案：C

2.（2013全国大纲）（5分）已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，24

3

a =-

，则数列{}n a 的前10项和等于( ）

A.()-10-61-3

B.

()-101

1-39

C.()-1031-3

D.()-1031+3 答案：C

3.（2012）（5分）数列{}n a 的通项公式cos 2

n n

a n π=，其前n 项和为n S ，则2012S 等

于（ ）