高等数学上册知识点
高等数学上册知识点 Prepared on 24 November 2020
高等数学上册
第一章 函数与极限
(一)函数
1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性);
2、 反函数、复合函数、函数的运算;
3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函
数、双曲函数、反双曲函数;
4、 函数的连续性与间断点;
函数)(x f 在
0x 连续)()00
x f x = 第一类:左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定
理、介值定理及其推论。
(二)极限 1、 定义 1) 数列极限 2) 函数极限
左极限:)(lim )(0
0x f x f x x -
→-= 右极限:)(lim )(0
0x f x f x
x +→+
= 2、 极限存在准则
1) 夹逼准则:
1))(0n n z x y n n n ≥≤≤
2)
a z y n n n n ==→∞
→∞
lim lim a x n n =∞
→
2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限。 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若0lim =α
则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大
量。
2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小
Th1 )(~ααββαo +=?;
Th2 αβαβαβββαα'
'
=''''lim lim lim
,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则;
3) 极限运算准则及函数连续性; 4)
两个重要极限:
a) 1sin lim 0=→x
x x b)e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1
5)
无穷小代换:(0→x )
a) x e x ~1- (a x a x ln ~1-) b)
x x ~)1ln(+ (a x
x a ln ~
)1(log +)
第二章 导数与微分
1、
定义:0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='→
左导数:000)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='-→-
右导数:0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='+
→+
函数
)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='?
2、
几何意义:)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜
率。
3、 可导与连续的关系:
4、
求导的方法
1) 导数定义; 2) 基本公式; 3) 四则运算;
4) 复合函数求导(链式法则); 5) 隐函数求导数; 6) 参数方程求导; 7) 对数求导法。
5、
高阶导数
1)
定义:??
? ??=dx dy dx d dx y d 22
2)
Leibniz 公式:()
∑=-=n
k k n k k n n v u C uv 0)
()()
(
1) 定义:)()()(00x o x A x f x x f y
?+?=-?+=?,其中A 与x
?无关。
2) 可微与可导的关系:可微?可导,且
dx x f x x f dy )()(00'=?'=
第三章 微分中值定理与导数的应用
(一)中值定理
1、 Rolle 定理:若函数
)(x f 满足:
1)
],[)(b a C x f ∈; 2)),()(b a D x f ∈; 3)
)()(b f a f =;
则0)(),,(='∈?ξξf b a 使.
2、 Lagrange 中值定理:若函数
)(x f 满足:
1)
],[)(b a C x f ∈; 2)),()(b a D x f ∈;
则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈?ξξ使.
3、 Cauchy 中值定理:若函数
)(),(x F x f 满足:
1)
],[)(),(b a C x F x f ∈; 2)),()(),(b a D x F x f ∈;3)
),(,0)(b a x x F ∈≠'
则)
()
()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈?使
(二)洛必达法则 (三)Taylor 公式
n 阶Taylor 公式:
ξ在0x 与x 之间.
当00=x 时,成为n 阶麦克劳林公式:
ξ在0与x 之间.
常见函数的麦克劳林公式:
1)1
2)!
1(!1!211+++++++=n n x x n e x n x x e ξ
ξ
在0与x 之间,+∞<<∞-x ;
2)
121
21753)!
12(2)12(sin )!12()1(!7!5!3sin +--+??????
+++--++-+-=m m m x m m m x x x x x x πξ ξ
在0与x 之间,+∞<<∞-x ;
3)m m m x m m m x x x x x 22
21
642)!
2(22cos )!22()1(!6!4!21cos ??????
?++--++-+-
=--πξ ξ
在0与x 之间,+∞<<∞-x ;
4)1
11432)1)(1()1()1(432)1ln(++-++-+-++-+-
=+n n n n
n n x n x x x x x x ξ
ξ
在0与x 之间,11<<-x
5)
n
x n n x x x x !
)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32+--++--+-++=+αααααααααα
11
)!
1()1)(()1(+--++--+
n n x n n αξααα ,
ξ
在0与x 之间,11<<-x .
(四)单调性及极值
1、 单调性判别法:
],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,则若
0)(>'x f ,则)(x f 单调增加;则若0)(<'x f ,则)(x f 单调
减少。
2、 极值及其判定定理:
a) 必要条件:
)(x f 在0x 可导,若0x 为)(x f 的极值点,则
0)(0='x f .
b) 第一充分条件:
)(x f 在0x 的邻域内可导,且0)(0='x f ,则①
若当0x x <时,0)(>'x f ,当0x x >时,0)(<'x f ,则0x 为极大值点;②若当0x x <时,0)(<'x f ,当0x x >时,
0)(>'x f ,则0x 为极小值点;③若在0x 的两侧)(x f '不变号,
则0x 不是极值点。
c) 第二充分条件:
)(x f 在0x 处二阶可导,且0)(0='x f ,
0)(0≠''x f ,则
①若0)(0<''x f ,则0x 为极大值点;②若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点。
3、 凹凸性及其判断,拐点
1))(x f 在区间I 上连续,若2
)
()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈?,则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的;若
2
)
()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈?,则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的。
2)判定定理:)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 上有一阶、二阶导数,则 a) 若0)(),,(>''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的; b) 若0)(),,(<''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的。 3)拐点:设)(x f y =在区间I 上连续,0x 是)(x f 的内点,如果曲线
)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点
))(,(00x f x 为曲线的拐点。
(五)不等式证明
1、 利用微分中值定理;
2、 利用函数单调性;
3、 利用极值(最值)。 (六)方程根的讨论
1、 连续函数的介值定理;
2、 Rolle 定理;
3、 函数的单调性;
4、 极值、最值;
5、 凹凸性。 (七)渐近线
1、 铅直渐近线:∞=→)(lim
x f a
x ,则a x =为一条铅直渐近线;
2、 水平渐近线:b x f x =∞
→)(lim ,则b y =为一条水平渐近线;
3、 斜渐近线:k x
x f x =∞→)
(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在,则b kx y +=为一条斜
渐近线。
(八)图形描绘
步骤 :
1. 确定函数)(x f y =的定义域,并考察其对称性及周期性;
2. 求
)(),(x f x f '''并求出)(x f '及)(x f ''为零和不存在的点;
3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点;
4. 求渐近线;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
第四章 不定积分
(一)概念和性质
1、 原函数:在区间I 上,若函数)(x F 可导,且)()(x f x F =
',则
)(x F 称为)(x f 的一个原函数。
2、 不定积分:在区间I 上,函数
)(x f 的带有任意常数的原函数称为
)(x f 在区间I 上的不定积分。
3、 基本积分表(P188,13个公式);
4、 性质(线性性)。 (二)换元积分法
1、 第一类换元法(凑微分):
[])()(d )()]([x u du u f x x x f ???=??='
2、 第二类换元法(变量代换):
[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=?????
(三)分部积分法:
??-=vdu uv udv
(四)有理函数积分
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换等)。 第五章 定积分
(一)概念与性质:
1、 定义:∑?
=→?=n
i i
i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
2、 性质:(7条)
性质7 (积分中值定理) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则
],[b a ∈?ξ,使
))(()(a b f dx x f b
a
-=?
ξ (平均值:
a
b dx x f f b
a
-=
?)()(ξ)
(二)微积分基本公式(N —L 公式)
1、 变上限积分:设?=Φx
a
dt t f x )()
(,则)()(x f x =Φ'
推广:)()]([)()]([)()
()(x x f x x f dt t f dx
d x x ααβββα'-'=? 2、 N —L 公式:若)(x F 为
)(x f 的一个原函数,则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
(三)换元法和分部积分
1、 换元法:
??
'=β
α
??t t t f dx x f b
a
d )()]([)(
2、 分部积分法:[]??
-=b
a
b a
b
a vdu uv udv
(四)反常积分
1、 无穷积分:
2、 瑕积分:
??+→=b
t
a
t b
a dx x f dx x f )(lim )((a 为瑕点)
??
-→=t
a
b
t b
a
dx x f dx x f )(lim )((b 为瑕点)
两个重要的反常积分:
1) ?
??
??>-≤∞+=-∞+?1 ,1
1
,d 1p p a p x x p a p 2) ?
????≥∞+<--=-=--??1
,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x a x x q
b a q b a q
第六章 定积分的应用
(一)平面图形的面积
1、 直角坐标:
?-=b
a
dx x f x f A )]()([12
2、 极坐标:?-=βαθθ?θ?d A )]()([2
12
122 (二)体积
1、 旋转体体积:
a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕x 轴旋转而成的旋转
体的体积:?
=b
a x dx x f V )(2
π b)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕y 轴旋转而成的旋转
体的体积:?=b
a
y
dx x xf V )(2π (柱壳法)
2、 平行截面面积已知的立体:?=b
a
dx x A V )(
(三)弧长
1、 直角坐标:[]?
'+=b
a
dx x f s 2
)(1
2、 参数方程:[][]?'+'=β
α
φ?dt t t s 2
2)()( 3、 极坐标:[][]?
'+=β
α
θθρθρd s 22)()(
第七章 微分方程
(一) 概念
1、 微分方程:表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的
方程。
阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
2、 解:使微分方程成为恒等式的函数。
通解:方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同。
特解:确定了通解中的任意常数后得到的解。
(二) 变量可分离的方程
dx x f dy y g )()(=,两边积分??=dx x f dy y g )()(
(三) 齐次型方程
)(x y dx dy ?=,设x y u =,则dx du x u dx dy +=; 或)(y x dy dx φ=,设y x v =,则dy
dv y v dy dx += (四) 一阶线性微分方程
用常数变易法或用公式:
???
???+??
=?-C dx e x Q e y dx x P dx
x P )()()(
(五) 可降阶的高阶微分方程
1、)()
(x f y
n =,两边积分n 次;
2、),(y x f y '=''(不显含有y ),令p y =',则p y '='';
3、),(y y f y '=''(不显含有x ),令p y =',则dy dp
p y =''
(六) 线性微分方程解的结构
1、21,y y 是齐次线性方程的解,则2211y C y C +也是;
2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解,则2211y C y C +是方程的通解;
3、*
2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解,其中21,y y 为对应齐
次方程的线性无关的解,*
y 非齐次方程的特解。
(七) 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程:
0=+'+''qy y p y
特征方程:02
=++q pr r ,特征根: 21,
r r
特征根 通 解
实根 21
r r ≠
(八) 常系数非齐次线性微分方程
1、
)()(x P e x f m x λ=
设特解)(*x Q e x y m x k λ=,其中
???????=是重根
是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、
()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=
设特解[]x
x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()
2()1(*+=,
其中 } ,max{n l m =,?????++=是特征根
不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0