圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

x

专题：圆锥曲线之轨迹问题

一、 临阵磨枪

1?直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些 几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线 的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。

2?定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3?坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随 着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的， 或是可分析的,

这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，

根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方

程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4. 参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间 等）的制约，即动点坐标（x, y ）中的x, y 分别随另一变量的变化而变化，

我们可以把这个变

量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程， 只要消去参变量即可。

5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标， 再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、 小试牛刀

1. _________________________________________________________________________ 已知M （-3,0），N （ 3,0） PM PN 6,则动点P 的轨迹方程为 ______________________________ 析：Q MN PM PN ???点P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 y 0（x 3）

圆所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程为 __________________________

析：???圆O 与圆o 外切于点M （2,0） ?两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等,

故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为

x 2

2 2

x y

一

3.已知椭圆 — 亍1（a b 0） ,M 是椭圆上一动点，F i 为椭圆的左焦点，贝U 线段MF i

a b

的中点P 的轨迹方程为 _____________________________ 析：设P （x, y ） M （x °,y °）又F , （ c,0）由中点坐标公式可得:

2

2.已知圆0的方程为x 2 2

y 2，圆0的方程为x

2

y 8x 10 0 ,由动点P 向两

X。C

2 yp . 2 x0 2x c

y。2y

又点M（X0,y°）在椭

圆

2

x

2

a

2 y

b21(a b 0)上

x

2 2 2

b 0 1(a b 0)因此中点P

的轨迹方程为

y

迹一定过三角形的重心。

三、大显身手

1、直接法

例1、设过点P (x,y )的直线分别与 x 轴的正半轴和 BP 2PA,且OQ AB 1,则P 点的

轨迹方程为

"" 3 2 2

又OQ AB 1所以3y 1这个方程即为所求轨迹方程。

变式1、已知两点M (-2,0)，N ( 2,0)，点P 满足MN MP 迹方程为

又 MN| |MP MN NP 0

4 , (x 2)2 y 2 4(x 2) 0化简得所求轨迹方程为:

4.已知 A 、B 、C 是不在同一直线上的三点, R JH 定点， P 是动点，若OP OA (AB 则点P 的轨迹一定过三角形 ABC 析：设点D 为BC 的中点，显然有 O 是平面 !BC ), 2 __ 心。 uuu ABC 内的

0,

uu u AB uu

u AP 1 uu u -BC 2 umr AD, uuu uuu AB BD uur AD 0, 故点P 的 重 uuu uuu OP OA AP 的轨迹是射线AD ， 所以，轨

解：设 A(a,O), B(O,b) 又 P(x, y)

uuu uuu

所以 BP (x,y b), PA (a

x, y)

又BP 2PA,所以

2(a b

x) 2y

3

x

2 3y

A(|x,0), B(0,3y)

uu

u AB

(3x,3y) 而Q 点与P 点关于y 轴对称, uur

???点Q 的坐标为(x, y)即OQ (

x,y)

解:设 P(x, y)则：MN 4, MP | J (x 2)2 y 2

,MN

uuu

(4,0), NP (x 2,y).

2

?

X

。

? ~2

a

y 轴的正半轴交于 A 、B 两点，点Q

与点P 关于y 轴对称，若

MN NP 0,动点P 的轨

2

小

y 8x

y

2、定义法 例 2、 已知圆

2 2

(x 3) y 100，点 B 上任意一点，

BM 的中垂线交 P 的轨迹方程。 解：由题意知：MP BP

PB PA MP PA

又圆A 的半径为10，

2 2

的两交点除外)其轨迹方程为

—y 1(x 5)

25 16

2

爲 1(a b 0)的焦点为

b 2

F 1,F 2，P 是椭圆上的任意一点，如果 M 是线段F 1 P 的

中点，则动点 M 的轨迹方程是 ________________________

解：因为M 是线段F 1P 的中点，连接 OM ，贝U

1 1

|OM| 2IPF 2 |MR 2IPF 1

由椭圆的定义知：|PF 」|PF 2| 2a

1

MF1I |MO 2(P R| I PF 2) a

4(x |)2

以a 为长轴的椭圆，其方程为 22

a

(说明：此题也可以用代入法解决)

3、坐标转移法(代入法)

2 2

例3、从双曲线x y 1上一点Q 引直线x+y=2的垂 线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

即点P 的轨迹是以定点 A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 (椭圆与长轴所在的对称轴

PA PB 10

变式2、已知椭圆

2

x

~2

a

即点M 到定点0、定点F 1的距离和为定值

a ，故动点M 的轨迹是以0、F 1为焦点,

4y 2 b 2

解：设Q (x o , y °)则由

x y x o

y o

o

可得N 点坐标

x y 2 o X o 2 y o 2 设P(x :,y)

人坐

公

2

J 式可

3x o \丄、J

1寸 2

2x o 3x

2

2

y X o

3y o 2 2y o

X 3y 2

2

4x 2 4y 2 4 代入得 (3x y 2)2 y 2x 2y

所以 -即为所求轨迹方程。 2

(x 3y 2)2 (y 2)2

X X o y o 2

又点Q (x o ,y °)在双曲线x 2 y 2 1上,

化简得(

x -)2

2 变式3、自抛物线 y 2 2x 上任意一点P 向其准线I 引垂线, 的直线和连接焦点 F 与Q 的直线交于R ,求点R 的轨迹方程。 解：设R(x,y), P(x o ，y 。)

???抛物线的方程是

y 2 2x 1 1 ?- F (2,O ),Q (

”) 所以 直线OP 的方程是y o x x o x 直线QF 的方程是

y o x y 1

2y o X o

联立两方程得: y o

所以护)2

4、参数法

2( 2x 2x 1 2y 2x 1 2x 2x 1)

y 2x 。 例4、设椭圆方程为x

于A 、B ,点P 满足OP M 旋转时，求: (1)动点P 的轨迹方程; 1 Q !

1

r

\ z

1

0 \ F

\ \

垂足为Q ,连接顶点0与P

(2)

2

1 —

2(0A

x 0即为所求轨迹方程。

化简得：2x 2 2 y 4

解：(1)设直线I 的方程为y kx 1代入椭圆方程得

(4 k 2)x 2 2kx 3

设 A (

X i ，yj, B(X 2,『2)则

X i X 2

2k

y i y 2 k (x i

X 2) 2

2k 2 k 2

设动点P 的坐标为 (x, y)，由 OP

!(OA OB)可得 2

X 1 x 2 X

2

y 上吐

2

k 4

, k 2消去参数 4 4 k 2

k 即得所求轨迹方程

为: 4x 2

y 2 y 0

当斜率k 不存在时，点P 的坐标为 (0,0 )显然在轨迹上, 2 故动点P 的轨迹方程为4x 0。 (2) P 点的轨迹方程可以化为16x 2

4(y 1)2 所以可设点P 的坐标为Qcos 」 4 2 (1sin 7 PN 2八

(cos 4 3 /

(co s

16

12

所以当cos PN max

1 1 . sin

2 )2

3 2 cos 16 1 cos

4 21 「 当cos 6

1

时 l PN mi min

2x 的顶点作互相垂直的两弦

2

变式4、过抛物线y

OA 、OB.

y 2 x 2

(2)直线AB 的斜率为k AB 所以，其方程为y 2k k i k 2

k 2 2

(x 2k 2

)令 y 0 得 x 2 i k 故直线AB 与x 轴的焦点为定点(

5、交轨法 2,0) 例5、垂直于x 轴的直线交双曲线

2 y i 于M 、N 两点, b 2 A , A 2为双曲线的顶点，求直线A l M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程, 并指出轨迹的形状。

解：.解：⑴设M 点的坐标为(x i ,y i ), -屮),又有 A i ( a,0),A 2(

a,0) 则A i M 的方程为：y=

丿一

(x x i a

a) A 2N 的方程为：y=------ yi (x x i a

a)

1 I Y

/

4

7

占0

?

我

则N 点坐标为(x i ,

又因点M 代入③并整理得2 a

y i 2 2

x a

线上，故 2 2 x y . ①X

②得：『=— 2 x i ~~2 a 2

(x 2 a 2) 2 y i b 2

2

i.即

y i ￡(X i 2

a a 2).

b 2=-此即为P 的轨迹方程. 2

变式5、设点A 、B 为抛物线y 2px( p 0)上除原点以外的两个动点， 已知OA L OB,

OM L AB 于M 求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解：设OA=y=kx,则OB :

y y kx 2

c

y 2px

得 A(2p

2p

)同理 B(2pk 2, -2pk)

(1) X (2)消去 k, 2 2 2

y =-(x-2p)x, ??? x +y -2px=0(x 工 0)

即为所求.

四、享受战果

2、经过抛物线y 2 2px 焦点的弦的中点的轨迹方程为

析：设过焦点的弦AB 所在的直线方程为y k （x 卫）代入抛物线方程消去

y 的

2

■ 2 2 ,2“

P 、2 2 2 “2

k p

k (x ) 2 px k x p(k 2 )x

设 A(x n y i ), B(x 2, y 2) AB 的中点为 M (x,y)

2

论 x 2 p(k 2)

x

2

2

k

消去参数k 得

今 k (X 1 X 2)p 2p

2

2

k

p （x

自这就是所求轨迹方程。

2

y 4x 0外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 x 2 y 2 4x 0外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的左侧,

k

AB

AB: y

p

2pk 1 k k k

p c i 2 T pk k

k

k 2pk 2 (x

1 k

k

1 I

而op:

―x 2pk k 2 1 k 2 ------- x k "

1 _ k 2丄匚1 k

k 2X

1 k k 2

x

1 k

2pk 2) 2pk 3 1 k 2

为AB 与 OM 的交点，联立①② 2pk 3 1 k 2 2pk 1 k 2

k

1 k 2

(x 1 k 2

x k

k

T (x 2p)■-①

2p)...? (1)

(2)

1、已知 M( 2,0),N(2,0), PM

PN

4，则动点 P 的轨迹方程为

析:满足条件的点在线段MN 上，故轨迹方程是

y 0( 2 x 2)

2

3、与圆x 析：若与圆

则所求轨迹方程为y 0( x 0)

若与圆x 2 y 2 4x 0外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的右侧 则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径 2等于动圆圆心到y 轴的距离，

故所求轨迹方程为y 2

8x.

2 2

x y

一

4、设A I ,A 2是椭圆

1的左右顶点，R , P 2是垂直于长轴的弦的端点， 则直线 A R

9 4

与A 2 P 2的交点的轨迹方程为 ___________________________

解析：设交

点 P(x,y ) ,A i (- 3,O),A 2(3,O),P i (x o ,y o ),P 2(x o , — y o )

角平分线作垂线于 D ，则点D 的轨迹方程为 _ 解：设F i D 的

延长线交直线F ?A 于P ，

D(x,y), P(x i , y i )由椭圆的定义知：

PF 2 AF j AF 2 2a =8

??? (x i i)2 y i 2 8

①

x i i

又x 2

x i 2x i

代入①得 y 11

y i 2y

2

x 2 y 2

2( y 0)即为点D 的轨迹方程。

??? A i 、P i 、P 共线，?‘

.y y °

y

x x x 3 T A 2 、P 2、P 共线，

?‘ .y y 。 y

x x x 3

解得 X 0=9,y ° 塑，代 入得

2 x

°

2 2 2

y 0

i,即 x

y

i

x

x

9 4

9

4

2

2

专1的焦点为Fl,F2 ,A 是椭圆上任意一点，过点Fi 向/ FlAF2的外

5、已知椭圆

6、过原点的双曲线以 F (4,0)为一个焦点，且实轴长为2,则此双曲线的中心的轨迹方程为_______________________

9

y

8

x 3

1, 1(y 0), 此即点H 的轨迹方程.

x

再将

y 8

代入上式,得9y1

故点A的轨迹方程为

2

X1

64

8

1,

8 2

齐11,

x28

2

81y1(y 0).

⑵由(1)可知，P, Q分别为椭圆的左右焦点,设H(x, y),且

HP PQ

—能成等差QH

数列, 则_2

PQ

1

HP HQ

PQ 2, HP

3 ^x, HQ

3

1

3 x,故

3

1

3 ^x 3

2 但此时(

8 1

1

x

3

2

x 1 3 0,矛盾!

9

,化简得27

HP PQ QH

不可能成等差数列.

析：设双曲线的中心为P(x, y)，则双曲线的另一个焦点为 F (2x 4,2 y) 又双曲线过原点，且实轴长为2,

所以||0F| |0F || 4 即 4 7(2x 4)24y24

化简得：(x 2)2 y2 16(x 6).

7、在ABC中，已知 B (-3,0), C(3,0),AD丄BC于D,

1o (1)求点H和点A的轨迹方程；(2)设P (-1,0),

8

1 1 1

(1,0)那么 1 1 1

HP ' PQ ' HQ能成等差数列吗?

解(1)设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为

(X i,y i),则D的坐标为区,0), 由H分有向线段

—1

AD所成的比为1知

8 % 8 9y1

又BH AC y1

捲3

ABC的垂心H分AD所成的比为

48

2

2 2

8、已知直线I 与椭圆笃耸 i (a b 0)有且仅有一个交点 Q ,且与x 轴、y 轴分别 a b 交于R 、S,求以线段SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程. 解：由已知，直线I 不过椭圆的四个顶点，所以设直线

I 的方程为 y kx m(k 0).

代入椭圆方程 b * 2x 2 a 2y 2 a 2b 2，得 b 2x 2 a 2(k 2x 2 2kmx m 2) a 2b 2. ,2,2,2、 2

2

2

2

2, 2

小

(a k b )x 2ka mx am a b 0.

(2ka 2m)2 4(a 2k 2 b 2)(a 2m 2 a 2b 2)

4a 2b 2 (a 2k 2 b 2 m 2).

在直线方程y=kx+m 中，分别令y=0, x=0,求得 令顶点P 的坐标为(x , y)，由已知，得

即为所求顶点P 的轨迹方程.

4，若抛物线过点 A(0 , -1),B(0,1)，且以圆的切线为准线,

求抛物线的焦点的轨迹方程。

化简得：3x 2 4y 2 30 x 63 0

10、已知 A (0,7),

另一焦点F 的轨迹方程。 -7) C (12,2),以C 为一个焦点作过 A 、B

的椭圆，求椭圆的

解：由题意得: 所以 AF 支，其方程是

AC BF AF 故动点 1

(y BC BF 而 AC 13, BC 15 F 的轨迹是分别以 A 、B 为焦点，实轴为 1)

2的双曲线的下半

11、已知圆O 的方程

化简后，得关于的一元二次方程

于是其判别式

由已知，得△ =0 ?即

a 2k 2

b 2 m 2.

①

R( ￡，0)，S(0，m).

y m.

代入①式并整理，得

m y.

2

a ~~2

x

b 2

~2

y

1,

9、动点P 到直线x=1的距离与它到点 A 是 (4,0)的距离之比为2,则点P 的轨迹方程

略解：由题意知：点 P 到点 A (4,0)与它到直线x=1的距离之比为

解：首先设焦点为F (x,y ),准线(即圆的切线) 为L A 到L 的距离为a ， B 到L 的距离为b 那么根据抛物线的性质 有 a=|AF| b=|BF| 于是 |AF|+|BF|=a+b

而a+b 恰是圆的直径(画个示意图想想为什么) 既有 |AF|+|BF|=4

故 动焦点F 的轨迹是分别以 而且半长轴是2

2

故所求轨迹方程是乂

4

的另一交点Q 的轨迹方程。

2 2

解：设A(*-,y 1), B(里，y 2).由OA 丄OB 可得

2p 2p

2 p 2 p

2

k oA k oB

1, yy 4p ......................... ??①

y 1 y 2

可以求得，以OA 为直径的圆的方程为：

x(x

xj

y(y yj o

2

即 x(x f ) y(y yj 0.

2p

同理，以OB 为直径的圆的方程为 x(x

2

上)

2p

y(y

y 2) o.

设P(x o ,y o )，点P 为两圆交点，贝V

2 y

1

x o (x °

) y o (y o yj o,x °(x ° 2p

2

y2

) 2p

y o (y o y 2) o.

2

12、已知圆O 的方程x

2，圆O 的方程x 2

2

y 8x 10 0，由动点P 向圆O

和圆O 所引的切线长相等， 解:设由动点P 向圆O 和圆O 所引的的切线的切点分别为 求动点

P 的轨迹方

程。

A 、

B ,则由题意有: PA PB,

PO 2 OA 2 PO 2 OB

设 P(x, y)

则x 2

y 2 2

(x 4)2 y 2

6

x

2即为动点

P

的轨迹方程。

13、已知抛物线 2px ，过顶点的两弦 OA 、OB 互相垂直, 以OA 、OB 为直径的两圆

A,B 为焦点的椭圆,

D

ei

2

所以，\i,y 可以看作是关于 z 的方程X o (X o —) y o ( y o z) 0的两根 2p

2 2 2

整理得 X o z 2py °z 2p(x 0 y 0) 0.

(另法)；解：设A(X 1,y 1), B(X 2, y 2)，直线AB 的方程为y kx b (显然b 0)

b (y )2 2p (y )2pk o ?/ OA 丄OB 则

X X

泌迴 1 b 2pk.

x 1x 2 b

k '

①、②式联立消去k ，得到P 的轨迹方程y 2 x(x 2p),( x o)

当AB 丄x 轴时，斜率k 不存在，此时 P 点为AB 中点，且在X 轴上，坐标为(2p,o)

满足上面的方程，因此 P 点的轨迹方程为 y 2 x(x 2p),(x o). 14、已知三点N (o , 2 a) ,P (t, 2 a), F (

o,a)，其中 a

o ，动点M 满足NP PM

且 PM MF 2.

(1) 求动点M 的轨迹方程；

(2) 过点F 作直线与动点 M 的轨迹交于A 、B 两点，求 AOB 的面积的最小

值。

解：(1)??动点 M 满足 NP PM 0,且 PM MF 2.

?动点M 的轨迹是以F(0,a)为焦点，以y a 为准线的抛物线。

由根与系数的关系，可知

2p(x ： y ：)

X o

结合①式，有

2 2 2 2 2

X o y o 2px o 即(X o

p)

y o

p

所以P 的轨迹方程为

(X p)1 2 y 2 p 2(X o).

点P 的轨迹是以(p,o )为圆心,

p 为半径的圆(去掉原点)

y kx b

则y 2

2px 1 2px

y kx b

2 2 2

by 2pxy 2pkx (两边同时除以 x )

代入直线AB 的方程：y k(x 2p)

??①

EP AB 0,求点E (X o ,O)的横坐标X o 的取值范围。

的部分?

(2)由题意可设直线I 的方程为y k(x 1)

uuu uuu

由EP AB 0可知EP 丄AB

所以点M 的轨迹方程是x 2 4ay .

(2)显然直线 AB 的斜率存在设为k ,则直线AB 的方程为y kx a 与抛物线方程联立消 去y 得: X 2 4akx 4a 2 0 设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2) 则X i

X 2 4ak,X i X 2

4a 2

AOB

1 — a % X

2 2

*a 、(X 1 X 2)2 4X 1X 2 2a 2 . k 2

1

所以

0时，AOB 面积的最小值为

2a 2.

15、已知点Q 位于直线X 3右侧，且到点 (1)求动点Q 的轨迹C 的方程；

F (-1,0)与直线X 3的距离之和为4.

(2)直线I 过点M ( 1,0)且交曲线C 于A 、

B 两点，点P 满足FP

■1(FA FB)，且

解：(1)设 Q(X , y)(X

3)由题意有

X 3 . (x 1)2

y 2

4

2

y 4X , X 3,0

???动点Q 的轨迹C 为以F ( 1,0)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线在直线

X 3右侧

设 A(X 1, yj, Bg, y 2)由

4X 可得

k(x 1)

k 2x 2

(4

2k 2

)x k 2 0, X 1 X 2

2k 2 4 2 , X 1X

2

k

1.

由题意 (4

(X 1

(X 1

4 k 4

uuu 由FP 2k 2)2

3)(X 2 3) (X 2 3)

3) 解之得

k 2 1.

1 uuu uuu

-(FA FB)可知：点

2

P 为线段 AB 的中点,

P (宁

2

k

2 k

k22

X O k 1 整理得xo ,

k 1.

--x0的取值范围是11

,3)

16、设双曲线C i的方程为

2

与1(a 0,b 0), b P是双曲线C i上的任意

A、B为其左、右两个顶点，

点，弓I QB丄PB, QA丄PA, AQ与BQ交于点Q.

(I)求Q点的轨迹方程；

(□)设(I)中所求轨迹为C2, C1、C2

的离心率分别为8、e2,当e12时, 02的取值范围.

(I)解法一：设P(x o,y o), Q(x ,y )

PB,QA

A( a,O),B(a,O),QB PA

y。

X O a

(1)

X O y o

a

由⑴⑵得:

2 _y。~2 X O

2 x

0 a

2

b2

1

,

代入(3)得b2y2即a2x2b2y2

2

a

2

y。

2 2

X O

a

2 2

x a

4

a

2

y

2

a

b2

~2

a

a4

经检验点(a,0), (a,0)不合

因此Q点的轨迹方程为a2x2-b2y2=a4(除点(—a,0) ,(a,0)外)

(I)解法二：设P(x o,y o), Q(x,y), ?/ A( - a, 0), B(a , 0), QB 丄PB, QA 丄PA

a x by a

Q 点轨迹方程为a 2x 2

b 2y 2 a 4(除点(a,0),(a,0)外)

(I )解法三：设 P(x o ,y o ), Q(x,y), ?/ PA 丄 QA ???」 匚1 (1)

x o a x a

连接PQ ，取PQ 中点R

x o a x a

1 (x a)x o yy o

ax 2

a

(1)

y o y 1

(x a)x o yy o

ax

2

a (2)

x o

a x a

由(1) (2)得 2ax o 2ax

x o x (3)

把⑶代入⑵解得 :y o

(x o

a)(x a) (x a)(x 2 2

a) x a

(4)

y o y y

y y

2 2 2/2 2

、2

把(3)(4)代入笃卑1得:笃(X 2a

2)

1

a b a y b 当x

a 时,不合题意,x 2 a 2

4

1

1 PA QA,QB PB, |RA| |PQ|,|RB|

| PQ |

2

2

| RA| | RB |, R 点在y 轴上 17、如右图，给出定点 A(a , 0)(a >0)和直线I : x =— 1. B 是直线I 上

的动点，/ BOA 的角平分线交AB 于C .求点C 的轨迹方程，并讨论 方程表示的曲线类型与a 值的关系.

依题意，记B(— 1, b)(b € R)，则直线OA 和OB 的方程分别为y=0 和y= — bx .设点C(x ，y)，则有0w x v a,由OC 平分/ AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得

(x — a).

将②式代入①式得

X o x

2 0,即 X o X 把(2)代入(1)得:

y o y ~2 a

x 2

2 2 X o a y o

y

2 把⑵(3)代入笃 a

2

y o

J X a 时,不合题意, 整理得:a 2X 2 b 2 y 2 Q 点轨迹方程为a 2X 2 1, 得笃 a 2

a

2 X

4

a

2 b 2 2 2 2

(X a )

2,2 y b

o (II )解:由(I)得C 2的方程为

2

y

2

X a

a 4(除去点(a,0), (a,0)外) 2

y a

e 2

2 e

2

a 2 2

a

2

c a

1 e

2 1

(、、2)2 1

2 |y|

|y_bx| .1 b 2

依题设，点C 在直线AB 上，故有

b =—

(1 a)y

2 2

(1 +a) y r (1 a)xy 2 —]=[y —]，

y2[1 +

(x a) x a

整理得y3[(1 —a)x2—2ax+ (1 + a)y2] = 0,

若y工0,则(1 —a)x2—2ax+ (1 + a)y2=0(0v x v a);

若y = 0,则b=0，/ AOB =n，点C的坐标为(0, 0),满足上式. 综上得点C

的轨迹方程为

(1 —a)x2—2ax+ (1 + a)y2=0(0 < x v a).

(i) 当a= 1时，轨迹方程化为y2二x(0

此时，方程③表示抛物线弧段；

(ii) 当a M 1时，轨迹方程为

a 2

(x C)y2

----- + — = 1(0< x v a).

a

2 a

(c)rv

所以，当0v a v 1时，方程④表示椭圆弧段；

3 2

18、已知椭圆笃￥=1(a> b > 0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点,

a b

/ F1PF2的外角平分线为I，点F2关于I的对称点为Q, F2Q交I于点R.

当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；?解：(1)v点F2关于I的对称点为Q,连接PQ,

???/ F2PR二/QPR, |F2R|=|QR|, |PQ|=|PF2| 又因为I为/ F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在

同一直线上，设存在R(X0,y0),Q(x1,y1),F1(—c,0),F2(c,0).

|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(X1+c)2+y12=(2a)2

x1c

2

y.

2

得X1=2x0—c,y1=2y0.

? (2x0)2+(2y0)2=(2a)2,「. X02+y02=a2 故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y M 0) 19、已知。M : x2 (y 2)21,Q是x轴上的动点，QA, QB分别切。M于A ,

B两点,

当a> 1时，方程④表示双曲线一支的弧段.

X0 又

y

。