人教版九年级数学下册 相似三角形的判定教案

《相似三角形的判定》教案

课标要求

1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似；

3．了解相似三角形判定定理的证明．

教学目标

知识与技能：

1．了解相似三角形及相似比的概念；

2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论；

3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法；

4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题．

过程与方法：

类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．

情感、态度与价值观：

发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系．

教学重点

掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．

教学难点

探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题．

教学流程

一、知识迁移

类比相似多边形的相关知识回答下面的问题：

1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为

∵△ABC∽△DEF，

∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF

==．

如何判断两个三角形相似呢？反过来

∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF

k

EF

===

∴△ABC∽△DEF．

师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1

k

．

追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？

引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？

二、探究归纳

（一）平行线分线段成比例

探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度，

AB BC 与

DE

EF

相等吗？任意平移l5．

AB

BC

与

DE

EF

还相等吗？

当l3//l4//l5时，

有

AB DE

BC EF

=，

BC EF

AB DE

=，

AB DE

AC DF

=，

BC EF

AC DF

=等．

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中，

当DE//BC时，有

AD AE BD CE =，BD CE AD AE =，AD AE AB AC =，BD CE AB AC

=等． 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

应用：如图AB //CD //EF ，AF 与BE 相交于点G ，AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，求BC CE

的值．

（二）相似三角形的判定

思考：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点 D ，E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？

图1 图2 分析：用定义证明△ADE ∽△ABC , 需要具备的条件：角：∠A =∠A ，∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ；边：

AD AE DE AB AC BC ==． 如何证明AE DE AC BC

=呢？ 判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

变式：如图2，DE ∥BC ，且 DE 分别交 BA ，CA 的延长线于点 D ，E ，△ABC 与△ADE 相似吗？

符号语言：

∵DE //BC

∴△ABC ∽△ADE

应用：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且 AD ＝3，DB ＝2．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．

探究2：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍．度量这两个三角形的角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．

在△ABC 与△A′B′C′中，如果满足AB BC AC A B B C A C

==''''''，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′．

判定三角形相似的定理一：三边成比例的两个三角形相似．

符号语言： AB BC AC A B B C A C ==''''''

ABC A B C '''∴??∽

类比：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果

,AB AC A A A B A C

'=∠=∠''''，这两个三角形一定相似吗？

判定三角形相似的定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

符号语言：

,AB AC A A A B A C '=∠=∠''''

ABC A B C '''∴??∽

思考：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果

,AB AC B B A B A C '=∠=∠''''

，这两个三角形一定相似吗？试着画画看．

应用：例1根据下列条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由：

（1）AB =4 cm ，BC =6 cm ，AC =8 cm ，A ′B ′=12 cm ，B ′C ′=18 cm ，A ′C ′=24 cm ．

（2）∠A =120°，AB =7 cm ，AC =14 cm ，∠A ′=120°，A ′B ′=3 cm ，A ′C ′=6 cm ． 追问：这两个三角形的相似比是多少？

练习：判断图中的两个三角形是否相似．为什么？

探究3：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？试着说说理由．

迁移：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果,A A B B ''∠=∠∠=∠，这两个三角形一定相似吗？

判定三角形相似的定理三：两角分别相等的两个三角形相似．

符号语言：

,A A B B ''∠=∠∠=∠

ABC A B C '''∴??∽

应用：例2如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB=10，AC=8．E 是 AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为 D ．求 AD 的长．

问题：根据三角形相似的条件，判定两个直角三角形相似有哪些方法呢？

思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL ”来判定．那么，满足斜边和一条

直角边成比例的两个直角三角形相似吗？

判定直角三角形相似定理：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．

练习：如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，求证：（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC．

三、应用提高

1．如图，△ABC 中，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形．

第1题图第2题图

2．有一块三角形的草地，它们一条边长为25m．在图纸上，这条边长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两条边的实际长度．

3．底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．

四、体验收获

说一说你的收获．

1．三角形相似的定义；

2．平行线分线段成比例的基本事实、推论及在三角形中的运用；

3．三角形相似的判定方法．

五、拓展提升

1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4cm，5cm 和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm，它的另外两条边长应当是多少？说出你的制作方案．

2．如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证△ADE∽△EFC；

六、课内检测

1．根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

（1）∠A=40°，AB=8 cm，AC=15 cm，∠A′=40°，A′B′=16cm ，A′C′=30 cm．（2）AB=10 cm，BC=8 cm，AC=16 cm，A′B′=16cm ，B′C′=12.8cm ，A′C′=25.6cm．

2．如果Rt△ABC 中的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k（k为正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC 相似吗？为什么？

七、布置作业

必做题：教材42页习题27.2第2、3、7题．

选做题：教材44页习题27.2第13题．

附：板书设计

教学反思：§ 27．2．1 相似三角形的判定

一：相似三角形

二：平行线分线段成比例基本事实

1．推论

2．在三角形中的应用

三：相似三角形的判定定理

例题板演学生板演