(北京市)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)

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2014年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A

B =

（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2}

（D ）{0,1,2}

（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是

（A

）y （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -=

（D ）0.5log (1)y x =+

（3）曲线1cos ,

2sin x y θθ=-+??=+?

（θ为参数）的对称中心

（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上

（4）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输

出的S 值为 （A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840

（5）设{}n a 是公比为q 的等比数列．则“1q >”是“{}

n a

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为递增数列”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（6）若,x y 满足20,20,0,x y k x y y +-??

-+???

≥≥≥ 且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为

（A ）2 （B ）2-

（C ）

12

（D ）1

2

-

（7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C

,(1,1,D ．若1S ,2S ,3

S 分别是三棱锥D ABC –

在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 （A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠

（D ）32S S =且31S S ≠

（8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学

生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 （A ）2人 （B ）3人 （C ）4人

（D ）5人

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （ 9 ）复数2

1i (

)1i

+=- ． （10）已知向量,a b 满足||1=a ，(2,1)=b ，且λ+=0a b (λ∈R )，则||λ= ． （11）设双曲线C 经过点(2,2)，且与2

214

y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．

（12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = 时，{}n a 的前

n 项和最大．

（13）把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不

同的摆法有 种．

（14）设函数()sin()f x A x ω?=+（,,A ω?是常数，0,0A ω>>）．若()f x 在区间ππ

[,]62

上具

有单调性，且π2ππ

()()()236f f f ==-，则()f x 的最小正周期为 ．

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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

如图，在ABC △中，π

3

B ∠=

，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7

ADC ∠=

． （Ⅰ）求sin BAD ∠； （Ⅱ）求,BD AC 的长．

（16）（本小题13分）

李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：

（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场

不超过0.6的概率；

（Ⅲ）记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场

比赛中的命中次数．比较EX 与x 的大小．（只需写出结论）

（17）（本小题14分）

如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为,AM MD 的中点．在五棱锥P ABCDE –中，

F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点,

G

H ．

（Ⅰ）求证：//AB FG ；

（Ⅱ）若PA ⊥底面ABCDE ，且P A A E =，求直线BC 与

平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．

P

F G E A

C D

B H

B C

A

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（18）（本小题13分）

已知函数()cos sin f x x x x =-，π

[0,]2x ∈．

（Ⅰ）求证：()0f x ≤； （Ⅱ）若sin x a b x <

<对π

(0,)2

x ∈恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．

（19）（本小题14分）

已知椭圆22:24C x y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）设O 为原点．若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB

与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．

（20）（本小题13分）

对于数对序列1122:(,),(,),

,(,)n n P a b a b a b ，记

111()T P a b =+，112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=+++

+ (2)k n ≤≤，

其中112{(),ma }x k k T P a a a -++

+表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数．

（Ⅰ）对于数对序列:(2,5),(4,1)P ，求1()T P , 2()T P 的值；

（Ⅱ）记m 为,,,a b c d 四个数中最小的数，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列

:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b '，试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()

T P '的大小；

（Ⅲ）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对

序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值．（只需写出结论）

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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2014年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D

（6）D

（7）D

（8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-

（10

（11）22

1312

x y -

= 2y x =± （12）8 （13）36

（14）π

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）在ADC △中，因为1

cos 7

ADC ∠=

，所以sin ADC ∠=

所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠

sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠

1127=

-=． （Ⅱ）在ABD △中，由正弦定理得

8sin 3sin AB BAD BD ADB

?∠=

=

=∠． 在ABC △中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-??

221

85285492=+-???=． 所以7AC =．

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4．

所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.

（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，

事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过

0.6,一场不超过0.6”．

则C AB AB

=，,A B独立．

根据投篮统计数据，

3

()

5

P A=，

2

()

5

P B=．

()()()

P C P AB P AB

=+

3322

5555

=?+?

13

25

=．

所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,

一场不超过0.6的概率为13 25

．

（Ⅲ）EX x

=．

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（17）（共14分）

解：（Ⅰ）在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ．

又因为AB ?平面PDE ， 所以//AB 平面PDE ．

因为AB ?平面ABF ，且平面ABF 平面PDE FG =， 所以//AB FG ．

（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥．

如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，

(0,1,1)F ，(1,1,0)BC ??→

=．

设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则

0,0,

AB AF ??

→??→??=?

???=?

n n 即0,0.x y z =??+=? 令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)=-n ． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin |cos ,|||||

BC

BC BC α??→??→

??→

?=??=

n n n 1

2

=

． 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6

．

设点H 的坐标为(,,)u v w ．

因为点H 在棱PC 上，所以可设PH PC λ??→??→

= (01λ<<)， 即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-．所以2u λ=，v λ=，22w λ=-．

因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH ??→

?=n ，即(0,1,1)(2

,,22)0λλλ-?-=．

解得23λ=

，所以点H 的坐标为422

(,,)333

．

所以2PH =．

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（18）（共13分）

解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得

()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．

因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π

[0,]2上单调递减．

从而()(0)0f x f =≤．

（Ⅱ）当0x >时，“

sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“s i n x

b x

<”等价于

“sin 0x bx -<”．

令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．

当0c ≤时，()0g x >对任意π

(0,)2

x ∈恒成立．

当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π

[0,]2

上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π

(0,)2x ∈恒成立．

当01c <<时，存在唯一的0π

(0,)2

x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．

()g x 与()g x '在区间π

(0,)2

上的情况如下：

因为(g x 00．进一步，“()0g x >对

任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20π

c <≤．

综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π

(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥

时，()0g x <对任意π

(0,)2x ∈恒成立．

所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2

π

，b 的最小值为1．

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（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22

142

x y +

=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =

，c 故椭圆C

的离心率c e a =

=．

（Ⅱ）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：

设点,A B 的坐标分别为00(,),(,2)x y t ，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ??→??→

?=，即0020tx y +=，解得0

2y t x =-． 当0x t =时，2

02

t y =-，代入椭圆C

的方程，得t =

故直线AB

的方程为x =O 到直线AB

的距离d 此时直线AB 与圆222x y +=相切． 当0x t ≠时，直线AB 的方程为002

2()y y x t x t

--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=． 圆心O 到直线AB 的距离

d =

．

又220024x y +=，0

2y t x =-

，故

d =

==

此时直线AB 与圆222x y +=相切．

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（20）（共13分）

解：（Ⅰ）1()257T P =+=，

21()1max{(),24}1max{7,6}8T P T P =++=+=．

（Ⅱ）2()max{,}T P a b d a c d =++++，

2()max{,}T P c d b c a b '=++++．

当m a =时，2()max{,}T P c d b c a b c d b '=++++=++．

因为a b d c b d ++++≤，且a c d c b d ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 当m d =时，2()max{,}T P c d b c a b c a b '=++++=++．

因为a b d c a b ++++≤，且a c d c a b ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立．

（Ⅲ）数对序列:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)P 的5()T P 值最小，

12345()10,()26,()42,()50,()52T P T P T P T P T P =====．