高三数学理科仿真模拟卷
高三数学理科仿真模拟卷1
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若复数2()i
i
x x x z +-=(x ∈R )为纯虚数,则x 等于
(A )0 (B )1 (C )-1 (D )0或1 (2)给出下列三个命题:
①x ?∈R ,02>x ;
②0x ?∈R ,使得200x x ≤成立;
③对于集合,M N ,若x M N ∈I ,则x M ∈且x N ∈. 其中真命题的个数是
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3
(3)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为
(A ) (B ) (C ) (D )
(4)极坐标方程02sin =θ(0≥ρ)表示的图形是
(A )两条直线 (B )两条射线 (C )圆 (D )一条直线和一条射线
(5)已知正项数列{}n a 中,11=a ,22=a ,222112(2)n n n a a a n +-=+≥,则6a 等于
(A )16 (B )8 (C )22 (D )4
(6)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点,O 为坐标原
点.若OM ON ⊥,则双曲线的离心率为
(A
(B
(C
(D
(7)△ABC 外接圆的半径为,圆心为O ,且2OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r , ||||OA AB =u u u r u u u r
,则CA CB ?u u u r u u u r 等于
(A )
3
2
(B
(C )3 (D
)(8)已知函数21,
0,()log ,0,
x x f x x x +≤?=?
>?则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是
(A )4 (B )3 (C )2 (D )1
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
B
(9)251
()x x
+的展开式中,4x 的系数为 .(用数字作答)
(10)某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取
若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为 ;若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有人来自公务员的概率为 .
(11)在△
ABC 中,若π
,4
B b ∠=
=,则C ∠= . (12)如图,BC 是半径为2的圆O 的直径,点P 在BC 的延长线上,PA 是圆O 的切线,点A 在直径BC 上的射影
是OC 的中点,则ABP ∠= ;PB PC ?= .
(13)已知点(2,)P t 在不等式组40,
30x y x y --≤??
+-≤?
表示的平面区域内,则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值
为____________.
(14)对任意x ∈R ,函数()
f x 满足1
(1)2
f x +=
,设)()]([2n f n f a n -=,数列}{n a 的前15项的和为31
16
-
,则(15)f = . 三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共13分)
已知πsin()4A +
=
ππ
(,)42
A ∈. (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)求函数5
()cos 2sin sin 2
f x x A x =+的值域.
(16)(本小题共14分)
如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,5AB AC ==,D ,E 分别为BC ,1BB 的中点,四边形11B BCC 是边长为6的正方形. (Ⅰ)求证:1A B ∥平面1AC D ; (Ⅱ)求证:CE ⊥平面1AC D ; (Ⅲ)求二面角1C AC D --的余弦值.
(17)(本小题共13分)
甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5
9
. (Ⅰ)求p 的值;
(Ⅱ)设ξ表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ. (18) (本小题共13分)
已知函数x a x x f ln )(2
-=(R a ∈). (Ⅰ)若2=a ,求证:)(x f 在(1,)+∞上是增函数; (Ⅱ)求)(x f 在[1,e]上的最小值.
(19)(本小题共13分)
在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到定点1
(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大
1
4
,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N . (Ⅰ)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)证明:曲线C 在点N 处的切线与AB 平行;
(Ⅲ)若曲线C 上存在关于直线对称的两点,求k 的取值范围.
(20)(本小题共14分)
在单调递增数列}{n a 中,21=a ,不等式n a n )1(+n na 2≥对任意*n ∈N 都成立. (Ⅰ)求2a 的取值范围;
(Ⅱ)判断数列}{n a 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设1
1(11)(1)(1)22n n b =+++
L ,)2
11(6n n c -=, 求证:对任意的*n ∈N ,
012
≥--n n
n a c b .
参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)B (2)C (3)B (4)A
1
(5)D (6)D (7)C (8)A 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)10 (10)9
5
3 (11)
7π
12
(12)30o 12 (13)4
(14)3
4
注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分. 三、解答题(本大题共6小题,共80分) (15)(共13分) 解:
(Ⅰ)因为
ππ
42A <<,且πsin()4A +=
, 所以
ππ3π
244
A <+<
,πcos()4A += 因为ππππππ
cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444
A A A A =+
-=+++
35
=+=. 所以3
cos 5
A =
. ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得4sin 5
A =. 所以5
()cos 2sin sin 2
f x x A x =+
212sin 2sin x x =-+ 213
2(sin )22
x =--+
,x ∈R . 因为sin [1,1]x ∈-,所以,当1sin 2x =
时,()f x 取最大值32
; 当sin 1x =-时,()f x 取最小值3-.
所以函数()f x 的值域为3
[3,]2
-. ……………………13分
(16)(共14分)
(Ⅰ)证明:连结1AC ,与1AC 交于O 点,连结OD . 因为O ,D 分别为1AC 和BC 的中点,
所以OD ∥1A B .
又OD ?平面1AC D ,
1A B ?平面1AC D ,
所以1A B ∥平面1AC D . ……………………4分 (Ⅱ)证明:在直三棱柱111ABC A B C -中,
1BB ⊥平面ABC ,又AD ?平面ABC , 所以1BB AD ⊥.
因为AB AC =,D 为BC 中点, 所以AD BC ⊥.又1BC BB B =I , 所以AD ⊥平面11B BCC . 又CE ?平面11B BCC ,
所以AD ⊥CE .
因为四边形11B BCC 为正方形,D ,E 分别为BC ,1BB 的中点, 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ,1CC D BCE ∠=∠. 所以190BCE C DC ∠+∠=o .
所以1C D ⊥CE .
又1AD C D D =I ,
所以CE ⊥平面1AC D . ……………………9分 (Ⅲ)解:如图,以11B C 的中点G 为原点,建立空间直角坐标系. 则1(0,6,4),(3,3,0),(3,6,0),(3,0,0)A E C C --.
由(Ⅱ)知CE ⊥平面1AC D ,所以(6,3,0)CE =-u u u r
为平面1AC D 的一个法向量.
设(,,)x y z =n 为平面1ACC 的一个法向量,
(3,0,4)AC =--u u u r
,1(0,6,0)CC =-u u u u r .
由10,0.
AC CC ??=???=??u u u r u u u u r
n n 可得340,60.x z y --=??-=? 令1x
=,则3
0,4
y z ==-. 所以3(1,0,)4
=-n .
从而cos ||||CE CE,CE ?<>==?u u u r
u u u r u
u u r n n n . 因为二面角1C AC D --为锐角, 所以二面角1C AC D --.……………………14分
(17)(共13分)
解:(Ⅰ)当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止,
故225
(1)9
p p +-=, 解得13p =或23
p =. 又12p >
,所以2
3
p =. …………………6分 (Ⅱ)依题意知ξ的所有可能取值为2,4,6.
5(2)9
P ξ==,
5520
(4)(1)9981P ξ==-?=
, 52016
(6)198181
P ξ==--=,
所以随机变量ξ的分布列为:
所以ξ的数学期望2469818181
E ξ=?
+?+?=
.………………13分 (18)(共13分)(Ⅰ)证明:当2=a 时,x x x f ln 2)(2-=,
当),1(+∞∈x 时,0)
1(2)(2>-='x
x x f ,
所以)(x f 在),1(+∞上是增函数. ………………5分
(Ⅱ)解:)0(2)(2>-='x x
a
x x f ,当[1,e]x ∈,222[2,2e ]x a a a -∈--.
若2≤a ,则当x ∈[1,e]时,0)(≥'x f , 所以)(x f 在[1,e]上是增函数,
又1)1(=f ,故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为. 若22e a ≥,则当x ∈],1[e 时,0)(≤'x f , 所以)(x f 在[1,e]上是减函数,
又(e)f =2e a -,所以)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -. 若222e a <<,则当2
1a
x <
≤时,0)(<'x f ,此时)(x f 是减函数;
e x <≤时,0)(>'x
f ,此时)(x f 是增函数.
又ln 222
a a a f =-, 所以)(x f 在[1,e]上的最小值为
ln 222
a a a
-. 综上可知,当2≤a 时,)(x f 在[1,e]上的最小值为1; 当222e a <<时,)(x f 在[1,e]上的最小值为
ln 222
a a a -; 当22e a ≥时,)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -.………………13分
(19)(共13分)(Ⅰ)解:由已知,动点P 到定点1
(0,)4F 的距离与动点P 到直线1
4
y =-的距离相等. 由抛物线定义可知,动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点,直线1
4
y =-
为准线的抛物线.所以曲线C 的方程为2y x =. ………………3分
(Ⅱ)证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y .
由2,1,
y x y kx ?=?=+?得210x kx --=. 所以12x x k +=,121x x =-. 设00(,)M x y ,则02
k x =. 因为MN x ⊥轴, 所以N 点的横坐标为
2
k . 由2
y x =,可得'2y x = 所以当2
k
x =
时,'y k =. 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ,与直线AB 平行.…………8分 (Ⅲ)解:由已知,0k ≠. 设直线的垂线为'l :1
y x b k
=-+. 代入2
y x =,可得21
0x x b k
+
-= (*) 若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线对称,
则
34122x x k +=-,3421
22y y b k +=+又3434(,)22x x y y ++在上,
所以
211()122b k k k +=-+, 2
11
22b k =-
. 由方程(*)有两个不等实根
所以21()40b k ?=+>,即
221220k k
+->
所以
2
1
2k
<,解得k
(Ⅰ)解:因为}{n a 是单调递增数列,
所以12a a >,22>a .令1=n ,12a 2a ≥,42≤a ,
所以(]4,22∈a . ………………4分
(Ⅱ)证明:数列}{n a 不能为等比数列.
用反证法证明:
假设数列}{n a 是公比为q 的等比数列,021>=a ,12-=n n q a . 因为}{n a 单调递增,所以1>q . 因为*n ∈N ,n a n )1(+n na 2≥都成立. 所以*n ∈N ,n
1
1+
n q ≥ ① 因为1>q ,所以0n ?*∈N ,使得当0n n ≥时,2>n
q . 因为21
1≤+
n
*()n ∈N . 所以0n ?*∈N ,当0n n ≥时,n
q n 1
1+
>,与①矛盾,故假设不成立. ………………9分
(Ⅲ)证明:观察: 113b c ==,4152=
b 292=<
c ,321353=b 4
213= (1)当1n =时,31=b 31=≤c 成立; (2)假设当n k =时,k k c b ≤成立; 当时, )2 11(1 1+++ =k k k b b )2 11(1 ++≤k k c )211(6k -=)2 1 1(1++k )2121211(6121 ++-- + =k k k )21211(6121++--=k k )2 1 1(61+- 根据(1)(2)可知,对任意*n ∈N ,都有n n c b ≤,即0≤-n n c b . 由已知得,n n a n a )1 1(2+≤. 所以11221(1)2n n n a a --≤+ ≤≤L 11)11)(211()2 11(a n +++-Λ. 所以当2≥n 时,122-≤n n b a 12-≤n c )2 11(121 -- =n 12<. 因为1242< a .对任意n *∈N ,存在m *∈N ,使得m n 2<, 因为数列{n a }单调递增,所以122< n a a ,012<-n a .因为0≤-n n c b , 所以 012 ≥--n n n a c b . ………………14分 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图 高三上期第二次周练 数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}=0123A ,,,, {}=21B x x a a A =-∈,,则=( )A B ? A. {}12, B. {}13, C. {}01 , D. {}13-, 2.已知i 是虚数单位,复数z 满足()12i z i +=,则z 的虚部是( ) A. i - B. i C. 1- D. 1 3.在等比数列{}n a 中, 13521a a a ++=, 24642a a a ++=, 则数列{}n a 的前9项的和9S =( ) A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4.如图所示的阴影部分是由x 轴,直线1x =以及曲线1x y e =-围成, 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点,则该点落在阴影区域的概率是( ) A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5.在 52)(y x x ++ 的展开式中,含 2 5y x 的项的系数是( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6.已知一个简单几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7.已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) A. 11<<2018年高三数学模拟试题理科
2020-2021高考理科数学模拟试题
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题模拟试题一及答案