1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定(新教材教师用书)
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
(教师独具内容)
课程标准：1.能写出命题的否定，并判断其真假.2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
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教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．
教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断.
【情境导学】(教师独具内容)
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美国作家马克·吐温除了以伟大的作家而闻名外，更以他的直言不讳出名．一次，马克·吐温在记者面前说：“有些国会议员是傻瓜！”记者把他说的话，只字未改地登在报纸上．这令国会议员们气愤不已，威胁马克·吐温收回那些话，否则要给他好看．这股威胁的力量太强，马克·吐温也不得不让步．几天之后，报纸刊登了马克·吐温的道歉文：“本人在几天前曾说：‘有些国会议员是傻瓜！’此言经报道后，受到国会议员的强烈抗议．本人经过仔细思考，发现本人的言论的确有误．于是，本人今天在此声明，修正日前所说的话为‘有些国会议员不是傻瓜！’”
马克·吐温道歉了吗他后面所说的话是前面所说话的否定吗这就需要我们这节课要学的知识——全称量词命题的否定与存在量词命题的否定．
【知识导学】
知识点一命题的否定
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“□01綈p”，读作“□02非p”或“□03p的否定”．
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如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是□04假命题；反之亦然．
知识点二存在量词命题的否定
(1)一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中□01每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立．
(2)一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“?x∈M，綈p(x)”．
知识点三全称量词命题的否定
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(1)一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到□01一个元素，使命题的□02结论不正确，即全称量词命题□03不成立．
(2)一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题“?x∈M，綈q(x)”．
【新知拓展】
1．对全称量词命题的否定及其特点的理解
(1)全称量词命题的否定实际上是把量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题，将全称量词调整为存在量词，并对结论进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称量词命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定．
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(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．
2．对存在量词命题的否定及其特点的理解
存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时既要改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
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(1)如果一个命题是假命题，那么这个命题的否定可能是真命题也可能是假命题．( )
(2)全称量词命题的否定只是对命题结论的否定．( )
(3)?x∈M，使x具有性质p(x)与?x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．( )
(4)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )
(5)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( )
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答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)“至多有一个”的否定为______________________________．
(2)已知命题p：?x∈R，x0＝1，则它的否定是__________________．
(3)命题“?x∈Q，x2＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)．
!
答案(1)至少有两个(2)?x∈R，x0≠1(3)真
题型一命题的否定
例1 写出下列命题的否定形式：
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(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
[解](1)面积相等的三角形不都是全等三角形．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．
！
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
金版点睛
綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的否定是“至少三个”等.
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[跟踪训练1]写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：3<2；
(2)q：空集是集合A的子集；
(3)s：5不是75的约数．
解(1)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题．
·
(2)綈q：空集不是集合A的子集．命题q是真命题，綈q是假命题．
(3)綈s：5是75的约数．命题s是假命题，綈s是真命题.
题型二全称量词命题的否定
例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
]
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
[解](1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋
4m<0，即m<－1
4
时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．
(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．
(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．
，
金版点睛
1．对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
—
2．全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
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[跟踪训练2]写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)?x∈R，|x|≥x；
(3)?x∈R＋，x为正数．
解(1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．"
(2)原命题的否定为“?x∈R，|x| (3)原命题的否定为“?x∈R＋，x≤0”，这个命题是假命题. 题型三存在量词命题的否定 例3 写出下列命题的否定，并判断其真假： - (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)?x∈R，|x＋1|≤1. [解](1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. ^ (3)题中命题的否定为“?x∈R，|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1. 金版点睛 1．对存在量词命题否定的两个步骤 ! (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． ) [跟踪训练3] 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假： (1)有的质数是偶数； (2)?x ∈R ，x 2 ＋x ＋1 4 <0； — (3)至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. 解 (1)题中命题的否定为“所有的质数都不是偶数”．这个命题是假命题，如2是质数 也是偶数． (2)题中命题的否定为“?x ∈R ，x 2＋x ＋1 4 ≥0”．这个命题是真命题，因为当x ∈R 时， x 2＋x ＋14＝? ?? ??x ＋122≥0. (3)题中命题的否定为“?x ∈R ，x 3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x ＝－1时，x 3＋1＝0. 》 1．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除 C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数 D ．存在一个奇数，不能被5整除 [ 答案 C 解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，而A ，B 是全称量词命题，所以A ，B 错误．因 为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D 错误，C 正确．故选C. 2．命题“?x ∈R ，x 2－2x －3≤0”的否定是( ) A ．?x ∈R ，x 2－2x －3≤0 B ．?x ∈R ，x 2－2x －3≥0 （ C ．?x ∈R ，x 2－2x －3>0 D ．?x ∈R ，x 2－2x －3>0 答案 D 解析 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“?”改为“?”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D. 3．对下列命题的否定，其中说法错误的是( ) 【 A ．p ：?x ≥3，x 2－2x －3≥0；p 的否定：?x ≥3，x 2－2x －3<0 B ．p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四个顶点共圆 C ．p ：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形 D ．p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；p 的否定：?x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 答案 C ` 解析 若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误． 4．若命题“?x ∈R ，x 2＋x ＋a －1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 ???? ??54，＋∞ 解析 依题意可得“?x ∈R ，x 2＋x ＋a －1≥0”为真命题，所以? ????x ＋122＋a －54≥0恒成立， 所以a ≥5 4 . 5．写出下列命题的否定，并判断其真假． 】 (1)菱形是平行四边形； (2)?x ≥0，x 2>0； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)?x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0. 解 (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题． > (2)题中命题的否定为“?x ≥0，x 2≤0”，这个命题为真命题． (3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题． (4)题中命题的否定为“?x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2 ＋x ＋14＋34＝? ? ???x ＋122＋34>0. A级：“四基”巩固训练 ( 一、选择题 1．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( ) A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0 ！ D．?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0 答案C 解析由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确． 2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是( ) A．有些三角形不是等腰三角形 ， B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形都是等腰三角形 答案C 解析存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C. 。 3．命题“?m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是( ) A．?m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．?m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 … 答案C 解析存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“?”改为“?”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C. 4．命题“?x∈R，?n∈N*，n≥x2”的否定形式是( ) A．?x∈R，?n∈N*，n B ．?x ∈R ，?n ∈N *，n ~ C ．?x ∈R ，?n ∈N *，n D ．?x ∈R ，?n ∈N *，n 解析 根据含有量词的命题的否定的概念可知选D. 5．已知命题p ：?x ∈R ，函数y ＝x 2＋x ＋a 的值小于0，若命题p 是假命题，则实数a 的 取值范围是( ) … C ．(－∞，0)∪? ???? 14，＋∞ D ．(－∞，0]∪?????? 14，＋∞ 答案 A 》 解析 ∵p 是假命题，∴命题p 的否定，即“?x ∈R ，函数y ＝x 2＋x ＋a 的值大于或等于 0”是真命题．∴Δ＝1－4a ≤0，∴a ≥1 4 . 二、填空题 6．命题p ：?x ∈R ，x 2＋3x ＋2<0，则命题p 的否定为________． 答案 ?x ∈R ，x 2＋3x ＋2≥0 解析 命题p 是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“? x ∈R ，x 2＋3x ＋2≥0”． ~ 7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________． 答案 任意一个三角形都有外接圆 解析 该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任 意一个三角形都有外接圆”． 8．若命题“?x ∈R,2x 2＋3x ＋a ＝0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ? ?? ??98，＋∞ 解析 因为命题“?x ∈R,2x 2＋3x ＋a ＝0”是假命题，所以其否定“?x ∈R,2x 2＋3x ＋ a ≠0”是真命题，即方程2x 2 ＋3x ＋a ＝0无实根，所以Δ＝32 －4×2×a <0，解得a >9 8 .故实数 a 的取值范围是? ?? ?? 98，＋∞. 三、解答题 9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)关于x 的方程ax ＝b 都有实数根； (2)有些正整数没有1和它本身以外的约数； (3)对任意实数x 1，x 2，若x 1 2＋1； (4)?x >1，x 2－2x －3＝0. 解 (1)这个命题的否定为“有些关于x 的方程ax ＝b 无实数根”，如0x ＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题． (2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题． (3)这个命题的否定为“存在实数x 1，x 2，满足x 1 2＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题． (4)这个命题的否定为“?x >1，x 2－2x －3≠0”，因为当x ＝3时，x 2－2x －3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题． 10．已知命题“?x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0”为假命题，求实数a 的取值范围． 解 题中的命题为全称量词命题，因为其为假命题，所以其否定“?x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＝0”为真命题，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根． 所以a ＝0或?? ? a ≠0， 4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0， 所以a ≤1. 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]． B 级：“四能”提升训练 1．a ，b ，c 为实数，且a ＝b ＋c ＋1，证明：两个一元二次方程x 2＋x ＋b ＝0，x 2＋ax ＋c ＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 证明 要证明结论的否定为两个方程都没有两个不相等的实数根，则有： Δ1＝1－4b ≤0，Δ2＝a 2－4c ≤0. 所以Δ1＋Δ2＝1－4b ＋a 2－4c ≤0. 因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1. 所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0. 但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以要证明结论的否定是假命题，则要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根． 2．已知命题p：?x∈R，函数y＝－x2－2x＋m的值不小于0，命题q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围． 解因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“?x∈R，函数y＝－x2－2x＋m的值小于0”为真命题． 则y＝－x2－2x＋m<0对任意x∈R恒成立． 所以Δ＝4＋4m<0，所以m<－1. 若命题q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题， 则方程x2＋2x－m－1＝0有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 所以m<－1且m≥－2， 所以m的取值范围为－2≤m<－1.