(精选)线性代数-考研笔记

第一章行列式

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

性质3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一个数，等于用数乘以此行列式。第行（或者列）乘以，记作(或)。

推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行（或者列）提出公因子，记作(或)。

性质4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。

性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第列的元素都是两数之和，则等于下列两个行列式之和：

=

性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

定义在阶行列式，把元所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记作；记，叫做元的代数余子式。

引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即

定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

或

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

范德蒙德行列式

克拉默法则

①

如果线性方程组①的系数行列式不等于零，即

，

那么，方程组①有唯一解其中是把系数行列式矩阵中第列的元素

用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即

定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。

定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式

定理如果，则它的系数行列式必为零

第二章矩阵级其运算

定义1 由个数排成的行列的数表，称为行列矩阵；

以数为元的矩阵可简记作或矩阵也记作。

行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。

特殊定义：

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等，；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作；注意不同型的零矩阵是不同的。

特殊矩阵

阶单位矩阵，简称单位阵。特征：主对角线上的元素为，其他元素为；

对角矩阵，特征：不在对角线上的元素都是0，记作

定义2矩阵的加法

设有两个矩阵和，那么矩阵与的和记作，规定为

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；

矩阵加法满足运算律（设矩阵）

（i.）

（ii.）

定义3数与矩阵相乘

数乘矩阵满足下列运算规律（设矩阵，为数）

（i.）；

（ii.）；

（iii.）

（iv.）

定义4 矩阵与矩阵相乘

设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵

，其中，

并把此乘积记作

注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；

矩阵的乘法性质（不满足交换律）

（i.）（

（ii.）

（iii.）（）A =BA+CA

（iv.）

（v.）；

矩阵的转置

定义5 把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作。

性质：

（i.）；

（ii.）

（iii.）

（iv.）

定义6 由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵的行列式，记作det A；

（为阶方阵，为数）

（i.）=

（ii.）=

（iii.）=

伴随矩阵

定义：的各个元素的代数余子式

性质：

定义7 对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，使，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵。

定理1若矩阵可逆，则

定理2 若，则矩阵可逆，且其中为矩阵的伴随阵。

是可逆矩阵的充分必要条件是

推论若，则

方阵的逆阵满足下述运算规律：

（i.）若可逆，则亦可逆，且

（ii.）若可逆，数，则可逆，且

（iii.）若为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且

分块矩阵的运算法则

（i.）分块矩阵的加法矩阵的加法

（ii.）数与分块矩阵相乘数与矩阵相乘

（iii.）分块矩阵与分块矩阵相乘矩阵与矩阵相乘

（iv.）分块矩阵的转置:设

（v.）设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即

其中都是方阵，那么称为分块对角矩阵

克拉默法则对于个变量、个方程的线性方程组

如果它的系数行列式，则它有唯一解

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

（i.）对调两行（对调两行，记作）；

（ii.）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作）；

（iii.）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第行的倍加到第行上，记作；

把定义1中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把“”换成“”）

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

如果矩阵经有限次初等行变换变成矩阵，就称与行等价，记作；

如果矩阵经有限次初等列变换变成矩阵，就称与列等价，记作；

如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称与列等价，记作；

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

（i.）反身性；

（ii.）对称性若，则；

（iii.）传递性，则；

行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。

定理1 设为矩阵，那么：

（i.）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵；使；

（ii.）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵；使；

（iii.）的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使；

推论方阵可逆的充分必要条件是

行变换三个应用：

(1)

(2)

(3)

定义3 在矩阵中，任取行与列（），位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶行列式。

定义4 设在矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作；并规定零矩阵的秩序等于

定理2 若，则

推论若可逆矩阵使，则

矩阵秩的基本性质

1.

2.；

3.若，则

4.若可逆，则

5.，特别地，当为非零列向量时，有

6.

7.

8.若，则

定理3元线性方程组

（i.）无解的充分必要条件是

（ii.）有唯一解的充分必要条件是

（iii.）有无限多解的充分必要条件是

求解线性方程组的步骤

（i.）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵化成行阶梯形，从的行阶梯形可同时看出和。若，则方程组无解。

（ii.）若，则进一步把化成行最简形。而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵化成行最简形。（iii.）设，把行最简形中个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余个

未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于，由的行最简形，即可写出含个参数的通解。

定理4元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

定理5 线性方程组有解的充分必要条件是

定理6 矩阵方程有解的充分必要条件是

定理7 设，则

第四章向量组的线性相关性

定义1 n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个

数称为第i个分量。

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

定义2 给定向量组A:，对于任何一组实数，表达式

称为向量组A的一个线性组合，给定向量组A:和向量b，如果存在一组数，使得则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示

。也就是方程组有解

定理1向量b能由向量组A:线性表示的充分必要条件是矩阵A=的秩等于矩阵B=的秩。

定义 2设有两个向量组A:及B:若B组中的每个向量都能由向量A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

定理 2 向量组B:能由向量组A:线性表示的充分必要条件是矩阵A=的秩等于矩阵（A，B）=（，）

推论向量组A:与向量组B:等价的充分必要条件是，其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

定理 3 设向量组B:能由向量组A:线性表示，则

定义 4 给定向量组A:如果存在不全为零的数，使

则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。

定理4 向量组A:线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是。

定理5

(1)若量组A:线性无关，则向量组B:也线性相关。反言之，若向量

组B线性无关，则向量组A也线性无关。

(2)m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相

关。

(3)设向量组A:线性无关，而向量组B:，b线性相关，则向量b必能由向量

组A线性表示，且表示式是惟一的。

定义5 设有向量组，如果在中能选出个向量，满足

i.向量组线性无关；

ii.向量组中任意个向量（如果中有个向量的话）都线性相关

那么称向量组是向量组的一个最大线性无关组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作。

只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.

定理6矩阵的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩。

推论（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的一个部分组，且满足

向量组线性无关；

向量组的任一向量都能由向量组线性表示，

那么向量组便是向量组的一个最大无关组。

定理向量组能够由向量组线性表示的充分必要条件是

=

定理若向量组能由向量组线性表示，则

性质1 若为的解，则也是的解。

性质2若为的解，为实数，则也是的解。

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

定理7 设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的秩

性质3 若为的解，则为对应的齐次线性方程组的解。

定义6 设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间。

“封闭”，是指在集合中可以进行向量的加法及乘数两种运算，具体说，就是：若，则；若，，则

一般的，由向量组所生成的向量空间为

定义7设为向量空间，如果个向量，且满足

i.线性无关；

ii.中任一向量都可由线性表示，

那么，向量组就称为向量空间的一个基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间。

定义8 如果在向量空间中取一个基，那么中任一向量可惟一地表示为

，数组称为向量在基中的坐标。

特别地，在维向量空间中取单位坐标向量组为基，则以为分量的向量，可表示为，可见向量在基中的坐标就是该向量的分量。因此，叫做中的自然基。

第五章相似矩阵及二次型

定义1 设有维向量

令，称为与的内积，内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有

内积具有下列性质（其中为维向量，为实数）：

i.；

ii.；

iii.

iv.当时，

v.施瓦茨不等式

定义2 令，维向量的长度（或范数）。

=1时，称为单位向量。

向量的长度具有下述性质：

i.非负性当时，；当时，；

ii.齐次性；

iii.三角不等式

iv.当时，称向量与正交。

定理1 若维向量是一组两两相交的非零向量，则；

定义3设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是的一个规范正交基。

规范正交化：

单位化

定义4如果阶矩阵满足那么称为正交矩阵，简称正交阵。

方阵为正交阵的充分必要条件是①的列向量都是单位向量，②且两两正交；

定义5若为正交矩阵，则称为正交变换

定义6 设是阶矩阵，如果和维非零列向量使关系式成立，那么，这样的数称为矩阵的特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量。

特征方程为：

是矩阵的特征多项式，记作

设阶矩阵的特征值不难证明

（i.）；

（ii.）

定理 2 设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量，如果各不相等，则线性无关。

定义7 设都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称的相似矩阵，或说矩阵与相似。对进行运算称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把的相似变换矩阵。

定理3若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同。

推论若阶矩阵与对角阵

相似，则即是的个特征值。

定理4阶矩阵与对角阵相似（即能对角化）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。

推论如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似。

定理5对称阵的特征值为实数。

定理6 设是对称阵的两个特征值，是对应的特征向量。若，则正交；

定理7 设为阶对称阵，则必有正交阵，使，其中是以的个特征值为对角元的对角阵。

推论设为阶对称阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量。

对称阵对角化的步骤：

（i.）求出的全部互不相等的特征值，它们的重数依次为

（ii.）对每个重特征值，求方程的基础解系，得个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化，得个两两正交的单位特征向量。因，故总共可得个两两正交的单位特征向量。（iii.）把这个两两正交的单位特征向量构成正交阵，便有。注意中对角元的排列次序应与中列向量的排列次序相对应。

定义8 含有个变量的二次齐次函数

称为二次型，取则，于是

这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）

如果标准型的系数只在三个数中取值，则称为二次型的规范型。

定义9设是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称矩阵合同。

定理8 任给二次型，总有正交变换，使化为标准型其中是的矩阵的特征值。

定理9【惯性定理】：设有二次型，它的秩，有两个可逆交换及使

则中正数的个数与中正数的个数相等。

二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性系数。